1、最新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案北师大版 八年级下册数学第一章三角形的证明一.选择题（共12小题）1. （2014遂宁）如图，AD 是 ABC 中NBAC 的角平分线，DEJLAB 于点 E, SA abc=7, DE=2, AB=4,则 AC 长是（ ）2.（2014台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为N ABC的角平分线，L与M相交于P点.若NA=60。，Z ACP=24,则NABP的度数为何？（ ）3.（2014安顺）己知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足也三b+5+（2a+3b- 13） 2=0,则此等腰三角形的周长为（ ）A.
2、 7 或 8 B. 6 或 IO C. 6 或 7 D. 7 或 104.（2014宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1, CE=3, H是AF的中点，那么A. 2.5 B.近 C.g如 D. 25.（2014甘井子区一模）如图， ABC中，DE是AC的垂直平分线,AE=4cm, ABD的周长为14cm,则4 ABC6. （2014本溪一模）如图，ABC, Z C=90, Z B=15, AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D, E 为垂足，若 BD=10cm,7.（2013西宁）如图，已知 OP 平分N AOB, Z AOB=60% CP=2, CPU OA,
3、 PDOA 于点 D, PEJLOB 于点 E.如8.（2013滨城区二模）如图， ABC中，Z B=40, AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且N EAB： Z CAE=3：1,则NC等于（ ）9.（2013澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88。，则它的顶角是（ ）A. 88。或 2 B. 4。或 86。 C. 88或 4 D. 4。或 46。10.（2012泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2, BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、0, 连接CE,则CE的长为（ ）11.（2011成华区二模）如图，在RbABC中，Z ACB=30, CD=4, BD
4、平分N ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是（ ）在仆ABC中，Z C=90% AB=10, AD是 ABC的一条角平分线.若CD=3,则 ABD的14.（2013泰安）如图，在Rt/kABC中，Z ACB=90% AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若15.（2013沈阳模拟）如图， ABC的外角N ACD的平分线CE与内角N ABC平分线BE交于点E,若N BAC=70% 则 N CAE= .16.（2012通辽）如图， ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,贝lj Sa abo：Sa bco： Sa cao= .亲斤 *声品1
5、 资 .17.（2012广东模拟）在 ABC中，已知AB=AC, DE垂直平分AC, Z A=50。，则N DCB的度数是 18.（2009临沂）如图，在菱形ABCD中，Z ADC=72, AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则nCPB= 一度三.解答题（共12小题）19.（2014翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cnn BC=llcm求 ABD的周长.20.（2014长春模拟）如图，D为 ABC边BC延长线上一点，且CD=CA, E是AD的中点，CF平分NACB交 AB于点F.求证：CEJLCF.21.（2014顺义区一模）如图，在四边形ABCD中
6、,Z B=Z D=90, DB C22.（2013湘西州）如图,R3ABC 中,Z C=90% AD 平分N CAB, （1）求DE的长：（2）求a ADB的面积.A;C Z） B23. （2012重庆模拟）如图，己知 ABC和 ABD均为直角三角形, 求证：CE=DE.CA E B 最新精品资料推荐 Z C=60% BC=4, CD=3,求 AB 的长.DE_LAB 于 E,若 AC=6, BC=8, CD=3.其中N ACB=Z ADB=90% E为AB的中点, 524.(2010攀枝花)如图所示，在 ABC中，BCAC,点D在BC上，且DC=AC, N ACB的平分线CF交AD 于点F.
7、点E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EFII BC：(2)若 ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.25.（2009大连二模）如图，四边形 ABCD 中，ADll BC, Z A=90, BD=BC, CEJLBD 于点 E. 求证：AD=BE.26.(2007宜宾)己知：如图，在 ABC中，AB=BC, Z ABC=90度.F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF, 连接AE、EF和CF.(1)求证：AE=CF：(2)若NCAE=30,求NEFC 的度数.27.(2006韶关)如图，在 ABC中，ABMC, N BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DEJ_AB, DFAC
8、分别交直线AB, AC于E, F,连接EF.(1)求证：EFAD：(2)若 DEII AC,且 DE=1,求 AD 的长.28.如图，RSABC中，Z C=90, AC=6, Z A=30% BD平分N ABC交AC于点D,求点D到斜边AB的距离.nn 资 木l . .29.如图，在 ABC 中，Z CAB=90% AB=3, AC=4, AD 是N CAB 的平分线，AD 交 BC 于 D,求 BD 的长. C30.如图，四边形 ABCD 中，AB=BC, AB II CD, z D=90% AE_LBC 于点 E,求证：CD=CE.北师大版 八年级下册数学第一章 三角形的证明参考答案与试题
9、解析一.选择题（共12小题）1.（2014遂宁）如图，AD 是 ABC 中/BAC 的角平分线，DEJLAB 于点 E, SA Abc=7, DE=2, AB=4,则 AC长是（ ）考点：角平分线的性质.专题：几何图形问题.分析：过点D作DFJ_AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据Sa abc=Sa abd+Sa acd列出方程求解即可.解答：解：如图，过点D作DFJ_AC于F, AD是 ABC中NBAC的角平分线，DE_LAB,DE=DF,由图可知，Sa abc=Sa abd+Sa acd，x4x2+-ixACx2=7 2 2解得AC=3.故选：A.点评：本题
10、考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.2.（2014台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为N ABC的角平分线，L与M相交于P点.若NA=60。，Z ACP=24,则NABP的度数为何？（ ）考点：线段垂直平分线的性质.分析：根据角平分线的定义可得N ABP=Z CBP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP,再根据等边对等角可得NCBP=/BCP,然后利用三角形的内角和等于180。列出方程求解即可.解答：解：.直线M为N ABC的角平分线， Z ABP=Z CBP.直线L为BC的中垂线，BP=CP,z CBP=z BCP
11、,z ABP=Z CBP=Z BCP,在 ABC 中，3/ABP+N A+N ACP=180。，即 3z ABP+600+24=180%解得N ABP=32.故选：c.点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理, 熟记各性质并列出关于N ABP的方程是解题的关键.3.（2014安顺）己知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足也&二部+5+（2a+3b- 13） 2=0,则此等腰三角形的周长为（ ）A. 7 或 8 B. 6 或 IO C. 6 或 7 D. 7 或 10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方：非负数的性质：算术平
12、方根；解二元一次方程组；三角形三 边关系.分析：先根据非负数的性质求出a, b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长.解答: 解：, 12a - 3b+5l+ （2a+3b - 13） 2=0,f2a- 3b+5=02a+3b-13=0，解得产2 ,lb二 3当a为底时，三角形的三边长为2, 3, 3,则周长为8：当b为底时，三角形的三边长为2, 2, 3,则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8.故选：A.点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握.4.（2014宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，B
13、C=l, CE=3, H是AF的中点，那么D. 2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理.专题：几何图形问题.分析：连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF, Z ACD=Z GCF=45%再求出N ACF=90。，然后利用勾股定理列式求出AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可. 解答：解：如图，连接AC、CF,:正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1, CE=3,.AC=V, CF=36,z ACD=z GCF=45。，z ACF=90%由勾股定理得，af=ViC2+CF2=7V22+（372）,H是AF的中点，CHjAFx2a/=V.2 2b点评
14、：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作 辅助线构造出直角三角形是解题的关键.5.（2014甘井子区一模）如图, ABC中,DE是AC的垂直平分线，AE=4cm, ABD的周长为14cm,则4 ABC 的周长为（ ）A. 18cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm考点：线段垂直平分线的性质.分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出 ABD的周长=AB+BC,再 求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.解答：解：:DE是AC的垂直平分线，AD=CD,: & ABD 的周长=AB
15、+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,AE=4cm,AC=2AE=2x4=8cni, ABC 的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm.故选B.点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出 ABD的周长=AB+BC是解题的 关键.6. （2014本溪一模）如图，在aABC, Z C=90, z B=15% AB的中垂线DE交BC于D, E为垂足，若BD=10cm,则AC等于（ ）考点：线段垂直平分线的性质：勾股定理.专题：探究型.分析：连接AD,先由三角形内角和定理求出NBAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出N DAB的度数， 根据线段垂直平分线的性质
16、可求出AD的长及N DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长.解答：解：连接AD,DE是线段AB的垂直平分线，BD=15, Z B=15%AD=BD=10,Z DAB=Z B=15。，z ADC=Z B+z DAB=150+15=30%, Z C=90,ACAD=5cm. 2故选C.点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂宜平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键.7.（2013西宁）如图，已知 OP 平分N AOB, Z AOB=60% CP=2, CPU OA, PDJLOA 于点 D, PEJLOB 于点 E.如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）A. 2 B
17、. 2 C. M D. 273考点：角平分线的性质：含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线：勾股定理.分析：由OP平分NAOB, Z AOB=60% CP=2, CPU OA,易得 OCP是等腰三角形，Z COP=30,又由含30。角 的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半，即可求得DM的长.解答：解：0P平分NAOB, Z AOB=60,，z AOP=Z COP=30。，cpii oa,. Z AOP=Z CPO, z COP=z CPO,OC=CP=2,； Z PCE=Z AOB=60% PEJLOB,. Z CPE=3
18、0%CE=lcP=h 21- PE=VcP2 -CE,. OP=2PE=2,.PDJ_OA,点M是OP的中点，DMOP=V.2b故选：c.点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30。直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难 度适中，注意掌握数形结合思想的应用.8.（2013滨城区二模）如图， ABC中，Z B=40。，AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且N EAB： Z CAE=3：1,则NC等于（ ）考点：线段垂直平分线的性质.专题：计算题.分析：设N CAE=x,则N EAB=3x.根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE,再根据等边对等角，得N C=Z CAE=x
19、, 然后根据三角形的内角和定理列方程求解.解答：解：设NCAE=x,则nEAB=3x.1/ AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,AE=CE.z C=z CAE=x.根据三角形的内角和定理，得zc+z BAC=180-zB,即 x+4x=140,x=28.则N C=28.故选A.点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理.9.（2013澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88。，则它的顶角是（ ）A. 88。或 2 B. 4或 86 C. 88。或 4 D. 4或 46考点：等腰三角形的性质.分析：分88。内角是顶角和底角两种情况讨论求解.解答：
20、解：88。是顶角时，等腰三角形的顶角为88。，88。是底角时,顶角为180 - 2x88=4,综上所述，它的顶角是88。或4。.故选C.点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论.10.（2012泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2, BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O, 连接CE,则CE的长为（ ）A E D考点：线段垂直平分线的性质：勾股定理；矩形的性质.专题：计算题.分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE,设CE=x,表示出ED的长度，然 后在R3 CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解.解答：解：:EO
21、是AC的垂直平分线，AE=CE,设 CE=x,则 ED=AD-AE=4-x,在 RS CDE 中，CE2=CD2+ED2,即 x2=2?+ （4-x） 2,解得x=2.5,即CE的长为2.5.故选：C.点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为 同一个直角三角形的边是解题的关键.11.（2011成华区二模）如图，在RbABC中，Z ACB=30, CD=4, BD平分N ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是（ ）考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形：勾股定理.分析：根据直角三角形两锐角互余求出N ABC=60。，再根据角平分
22、线的定义求出N ABD=NDBC=30。，从而得到 z DBC=z ACB,然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30。角所对的直角边等于 斜边的一半求出AD,过点D作DEBC于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即 可.解答:解：,.比ABC 中，Z ACB=30,z ABC=60% BD平分N ABC,z ABD=Z DBC=30,Z DBC=Z ACB,BD=CD=4,在 Rt/kABD 中，NABD=30。,ADBDx4=2,2 2过点D作DEJLBC于点E, 则 DE=AD=2.故选B.点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30。
23、角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以 及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键.12. (2006威海)如图，在 ABC 中，NACB=100, AC=AE, BC=BD,则N DCE 的度数为( )考点：等腰三角形的性质.专题：几何图形问题.分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程.解答：解：. AC=AE, BC=BD设N AEC=Z ACE=x。，Z BDC=Z BCD=y。，.Z A=180-2x,z B=180 - 2y,Z Z ACB+Z A+Z B=180。，100+ (180- 2x) + (180- 2
24、y) =180,得 x+y=140,.zDCE=180- (Z AEC+Z BDC) =180- (x+y) =40.故选 D.点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180。的定理，列出方程，解决此题.二.填空题(共6小题)13.(2014长春)如图，在 ABC中，Z C=90% AB=10, AD是 ABC的一条角平分线.若CD=3,则 ABD的 面积为15.考点：角平分线的性质.专题：几何图形问题.分析：要求aABD的而积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DEJ_AB于E.根据 角平分线的性质求得DE的长，即可求解.解答：解：作DELAB
25、于E.AD 平分nBAC, DEAB, DCAC, DE=CD=3. ABD 的面积为1x3x10=15.2故答案是：15.点评：此题主要考查角平分线的性质：熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上 的高时解答本题的关键.14. （2013泰安）如图，在RS ABC中，Z ACB=90% AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若考点：含30度角的直角三角形：线段垂直平分线的性质.分析：根据同角的余角相等、等腰 ABE的性质推知N DBE=30。，则在直角 DBE中由“30度角所对的直角边是 斜边的一半”即可求得线段BE的长度.解答： 解：NACB=9O。，
26、FDAB,z ACB=Z FDB=90, z F=30。，.nA=nF=30。（同角的余角相等）.又二AB的垂直平分线DE交AC于E, z EBA=Z A=30。，直角 DBE 中,BE=2DE=2.故答案是：2.点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知N EBA=30。.5 （2013沈阳模拟）如图， ABC的外角N ACD的平分线CE与内角N ABC平分线BE交于点E,若N BAC=70% 则 N CAE= 55。.考点：角平分线的性质.分析：首先过点E作EFJ_BD于点F,作EG_LAC于点G,作EH_LBA于点H,由 ABC的外角N ACD的平分线
27、CE与内角/ABC平分线BE交于点E,易证得AE是N CAH的平分线，继而求得答案. 解答：解：过点E作EFJ_BD于点F,作EG_LAC于点G,作EH_LBA于点H,1. ABC的外角/ ACD的平分线CE与内角N ABC平分线BE交于点E,EH=EF, EG=EF,EH=EG,AE是N CAH的平分线，Z BAC=70。，ZCAH=11O%A zCAE=lzCAH=55.2点评：此题考查了角平分线的性质与判定.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.16.（2012通辽）如图， ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,贝ij abo
28、：Sa bco： Sa cao= 4： 5： 6 .考点：角平分线的性质.专题：压轴题.分析：首先过点。作OD_LAB于点D.作OE_LAC于点E,作OFJLBC于点E由OA, OB, OC是 ABC的三 条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF,又由 ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、 60,即可求得 Saabo： Sa bco： Sacao 的值.解答：解：过点O作OD_LAB于点D,作OE_LAC于点E,作OFJ_BC于点F,.,OA, OB, OC是 ABC的三条角平分线， OD=OE=OF, 一 ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,A Sa
29、 abo： Sa bco： Sa cao= （ABOD）： （BOOF）： （AOOE） =AB： BC： AC=40： 50： 60=4： 5： 6.2 2 2故答案为：4： 5： 6.点评：此题考查了角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.17.（2012广东模拟）在 ABC中，已知AB=AC, DE垂直平分AC, Z A=50%则N DCB的度数是.15。考点：线段垂直平分线的性质：等腰三角形的性质.分析：由DE垂直平分AC, Z A=50%根据线段垂直平分线的性质，易求得NACD的度数，又由AB=AC,可求 得NACB的度数，继而可求得N DCB的度数.解答：解：:DE垂直平分AC,AD=CDz ACD=Z A=50。，AB=AC, Z A=50%z ACB=z _ 4_65。,2z DCB=Z ACB - Z ACD=15.故答案为：15。.点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形
