1、例4 如图，数轴上有 、 两点，分别对应的数为 、 ，已知 与 互为相反数点 为数轴上一动点，其对应的数为 （1）若点 到点 、点 的距离相等，求点 对应的数（2）数轴上是否存在点 ，使点 到点 、点 的距离之和为 ？若存在，请求出 的值；若不存在，说明理由；（3）当点 以每分钟 个单位长度的速度从 点向左运动时，点 以每分钟 个单位长度的速度向左运动，点 以每分钟 个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点 到点 、点 的距离相等？试一试 由绝对值的几何意义建立关于 的绝对值方程例 讨论关于 的方程 的解的情况分析与解 与方程中常数 、 有依存关系，这种关系决定了方程解的情况故寻求这种关系是解本
2、例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具数轴上表示数 的点到数轴上表示数 和 的点的距离和的最小值为 ，由此可得原方程的解的情况是：（1）当 时，原方程有两解；（2）当 时，原方程有无数解 ；（3）当 时，原方程无解数学冲浪知识技能广场1若 是方程 的解，则 _；又若当 时，则方程 的解是_2方程 的解是_； _是方程 的解；解方程 ，得 _3如果 ，那么 的值为_4已知关于 的方程 的解满足 ，则 的值为（ ）A 或 B 或 或 D 或 若 ，则 等于（ ）6方程 的解的个数为（ ）A 个 B 个 无数个 D不确定7解下列方程 （2） ；（3） ； （4） 8求关于
3、的方程 的所有解的和9解方程 10已知 、 、 、 都是整数，且 ，则 _11若 、 都满足条 ，且 ，则 的取值范围是_12满足方程 的所有 的和为_13若关于 的方程 有三个整数解，则 的值为（ ）14方程 的整数解的个数有（ ）1若 是方程 的解，则 等于（ ）16解下列方程（2） 17当 满足什么条时，关于 的方程 有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园18如图，若点 在数轴上对应的数为 ，点 在数轴上对应的数为 ，且 ， 满足 （l）求线段 的长；（2）点 在数轴上对应的数为 ，且 是方程 的解，在数轴上是否存在点 ，使得 ?若存在，求出点 对应的数；（3）在（1）、（2）的条下，
4、点 ， ， 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分剐以每秒 个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 请问： 的值是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值19已知 ，求 的最大值和最小值微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出，就是一个 阶幻方，也就是在 的方阵中填入 ，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在 的方阵图中，每行、每列
5、、每条对角线上 个数的和都相等，就称它为三阶幻方可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在 的方格中填入 个不同的数，使得各行各列及两条对角线上 个数的和都相等，且为 ，若最中间数为 ，则 （2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解例1 如图，有 个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等问：图中左上角的数是多少？试一试 虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条还与其他的数相关故为充分运用已知条，需引入不同
6、的字母表示数（如图）例2 如图，在 的方格表中填入九个不同的正整数： ， ， ， ， ， ， ， 和 使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定 的值，并给出一种填数法试一试 如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即 为正整数，又 ，从估计 和 的最小值入手整体核算法整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理例3 如图， 、 、 、 、 、 、 、 、 分别代表 ， ， ， ， ， ， ， ， 中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内 个数的和都相等，那么 的值是多少？分析与解 设这个
7、相等的和是 ，现将这 个小圆中 个数求和，可得：，故 先从 所在的小圆看， 至少是 ， 最多只能是 ，再从 所在的小圆看， 最多只能是 ，由于 ，所以必须 ， ，由此可以求得图对照图与图中各数的位置，可看到 当然也可以有另一解法将含 、含 、含 、含 、含 与含 的 个小圆内 个数求和，可得：，即，所以 练一练1将 到 这 个自然数填入图中的 个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_，对应的每一条直线上的 个数的和是_2请构造“幻角”，将 这 个整数填入图中的小三角形内（ 和 已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于 3请将 ， ， ， ， ，
8、， ， ， ，这 个数分别填入图中方阵的 个空格，使 行、 列、 条对角线上的 个数的和都是 4如图， 、 、 、 、 、 均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求 的值如图是一个 的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求 的值6图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列 个数： ， ， ， ， ， ， ， ， 填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求 的值7幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图，洛书中 行、 列以及 条对角线上的点数之和都等于 ，是一种“ 阶幻方”（如图）我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第
9、一人，他在续古摘奇算法一书中给出从 阶到 阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想例如，用 ， ， ， 构造 阶幻方的方法是：先将 ， ， ， 依次排成图，然后以外四角对换，即 与 对换， 与 对换，再以内四角对换请你在图中填写用这种“对换”方法得出的 阶幻方8把数字 ， ， ， 分别填入图中的 个圈内，要求三角形 和三角形 的每条边上三个圈内数字之和都等于 （1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论微探究商品的利润商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础（2）利润=售价-进
10、价；（3）售价=进价+利润=进价（ 利润率）例1 一家商店将某商品按成本价提高 后，标价为 元，又以 折出售，则售出这商品可获利润_元试一试 从求出成本价切入例2 某商店出售某种商品每可获利 元，利润率为 若这种商品的进价提高 ，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利 元，则提价后的利润率为（ ）试一试 利用获利不变建立方程例3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原增加了 ，为了赚钱，开发商把售价提高了 倍，利润率比原增加了 ，求开发商原的利润率试一试 因售价=成本（ 利润率），故还需设出成本例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于 元，则不予优惠；（2）若一
11、次购物满 元，但不超过 元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过 元，其中 元部分给予九折优惠，超过 元部分给予 折优惠小明两次去该超市购物，分别付款 元与 元现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解 第一次付款 元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论情形l 当 元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为 元，又 ，其中 元为购物 元打九折付的钱， 元为购物打八折付的钱， （元）因此， 元所购物品的原价为 （元），于是购买小明花 （元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付 （元）情形2 当 元为购物打九折付的
12、钱时，所购物品的原价为 （元）仿情形1的讨论，购 （元）物品一次性付款应为 （元）1某商品的进价为 元，售价为 元，则该商品的利润率可表示为_2某商店老板将一进价为 元的商品先提价 ，再打八折卖出，则卖出这商品所获利润为 _元3某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为 元的商品，共带省 元，则用贵宾卡又享受了_折优惠4某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为 元，打七折售出后，仍可获利 ”，你认为售货员应标在标签上的价格为_一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每按原销售价的八折销售，售价为 元，则这款羊毛衫每的原销售价为_元
13、6甲用 元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利 而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了 ，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（ ）A盈亏平衡 B盈利 元 盈利 元 D亏损 元7 年爆发的世界金融危机，是自 世纪 年代以世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为 元，连续两次降价 后售价为 元，下列所列方程正确的是（ ）8某商店出售某种商品每可获利 元，利润率为 若这种商品的进价提高 ，而商店将这种商品的售价提高到每仍可获利 元，则提价后的利润率为（ ）9某种商品的进价为 元，出售标价为 元，后由于该商品积压，商店准备打
14、折销售，但要保证利润率不低于 ，则最多可打（ ）A 新 B 折 折 D 折10某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过 元，则不予折扣；如一次购物超过 元但不超过 元，按标价给予九折优惠；如一次购物超过 元，则其中 元按第条给予优惠，超过 元的部分则给予八折优惠某人两次去购物，分别付款 元和 元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（ ）A 元 B 元 元 D 元11某商场用 元购进 、 两种新型节能台灯共 盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示： 类别价格 型型进价（元/盏） 标价（元/盏） （1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若 型台灯按标价的九折出售， 型台灯按标价的八折出售，那么
15、这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？12某公司销售 、 、 三种产品，在去年的销售中，高新产品 的销售金额占总销售金额的 由于受国际金融危机的影响，今年 、 两种产品的销售金额都将比去年减少 ，因而高新产品 是今年销售的重点若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品 的销售金额应比去年增加多少？13某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过 元的不给优惠，超过 元而不超过 元时，按该次购物全额 折优惠，超过 元的其中 元仍按 折优惠，超过部分按 折优惠小美两次购物分别用了 元和 元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？多变的行程问题行程问题按
16、运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：1相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离2追及问题两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离例1 （1）在公路上，汽车 、 、 分别以 、 、 的速度匀速行驶， 从甲站开往乙站，同时， 、 从乙站开往甲站 在与 相遇 小时后又与 相遇，则甲、乙两站相距_ （2）
17、小王沿街匀速行走，他发现每隔 从背后驶过一辆 路公交车；每隔 迎面驶一辆 路公交车假设每辆 路公交车行驶速度相同，而且 路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_ 试一试 对于（2），“背后驶过与迎面驶”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距例2 （1）一艘轮船从 港到 港顺水航行，需 小时，从 港到 港逆水需 小时，若在静水条下，从 港到 港需（ ）小时（2）甲、乙两动点分别从正方形 的顶点 、 同时沿正方形的边开始移动甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 倍，则它们第 次相遇在边（ ）A 上 B 上 上 D 上试一试 对于（2），设正
18、方形边长为 ，甲的速度为 ，相遇时甲行的路程为 ，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把 用 的代数式表示例3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔 分钟相遇一次现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了 圈，此时它们行驶了多少分钟？试一试 当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比例4 甲、乙二人分别从 、 两地同时出发，在距离 地 千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达 地、 地后，又在距 地 千米处相遇，求 、 两地相距多少千米
19、？解法一 第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是 、 两地相距的路程，即当甲、乙合走完 、 间的全部路程时，乙走了 千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的 倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为 （千米）考虑到乙从 地走到 后又返回了 千米，所以 、 两地间的距离为 （千米）解法二 甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例到第一次相遇，甲走了（全程 ）千米，乙走了 千米；到第二次相遇，甲走了（ 全程 ）千米，乙走了（全程 ）千
20、米设全程为 ，易得到下列方程 ，解得 ， （舍去），所以 、 两地相距 千米解法三 设全程为 千米，甲、乙两人速度分别为 ， 则，得 ，解得 或 （舍去）乘车方案例 老师带着两名学生到离学校 千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为 千米时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为 千米时，学生步行的速度为 千米时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过 个小时分析 若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键解 要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能
21、短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆如图，设老师带甲乘摩托车行驶了 千米，用了 小时，比乙多行了 （千米）这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了 （小时）乙遇到老师时，已经步行了 （千米），离博物馆还有 （千米）要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有 ，解得 即甲先乘摩托车 千米，用时 小时，再步行 千米，用时 小时，共计 小时因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 个小时另解：设乙先步行的时间为 小时，步行的路程为
22、，则 （千米），此时老师带甲走的路程为 （千米），老师返回接乙走的路程为 故有 ，解得 ，甲乘车的时间为 （小时），故甲从学校到博物馆共用 （小时）练一练1甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则 小时相遇；若同向而行，则 小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_2一轮船从甲地到乙地顺流行驶需 小时，从乙地到甲地逆流行驶需 小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_小时3甲、乙两列客车的长分别为 和 ，它们相向行驶在平行的轨道上已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为 秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是_4甲、乙分别自 、 两地同时相向步行， 小时后中途相遇，相遇后，甲、乙
23、步行速度都提高了 千米时，当甲到达 地后立刻按原路向 地返行，当乙到达 地后也立刻按原路向 地返行甲、乙两人在第一次相遇后 小时 分又再次相遇，则 、 两地的距离是_千米甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从 到 ，甲需要 分钟，乙需要 分钟如果乙比甲早出发 分钟，则甲出发后经_分钟可以追上乙6甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有 米，丙距终点还有 米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有_米7小李骑自行车从 地到 地，小明骑自行车从 地到 地，两人都匀速前进已知两人在上午 时同时出发，到上午 时，两人还相距 千米，到中午 时，两人又相距 千米，
24、求 、 两地间的路程8目前自驾游已成为人们出游的重要方式“五一”节，林老师驾轿车从舟出发，上高速公路途经舟跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了 小时；返回时平均速度提高了 千米时，比去时少用了半小时回到舟（1）求舟与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称舟跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度 千米千米过桥费 元元据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费 （元）的计算方法为： ，其中 （元千米）为高速公路里程费， （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长）， （元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟到嘉兴所花的高速公路通行费为 元，求轿车的高速公路里程费 9
25、铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为 千米时，骑车人的速度为 千米时，如果有一列火车从他们背后开过，它通过行人用了 秒，通过骑车人用了 秒问这列火车的车身长为多少米？10如图，甲、乙两人分别在 、 两地同时相向而行，于 处相遇后，甲继续向 地行走，乙则休息了 分钟，再继续向 地行走甲和乙到达 和 后立即折返，仍在 处相遇已知甲每分钟行走 米，乙每分钟行走 米，则 和 两地相距多少米？11某单位有 人要到 千米外的某地参观，因为步行时速只有 千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人 名、时速 千米的大客车于是早晨 时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案
26、，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图12 、 、 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻， 在前， 在后， 在 、 正中间 分钟后， 追上 ；又过了 分钟， 追上 问再过多少分钟， 追上 ?̳例1 由 ，得 或 ，所以 或 经检验知 时，方程左右两边不等，故舍去从而原方程的解为 例2 A ， ， ，由题意得 ， ， ，从而 ， 例3 （1） 或 原方程化为 或 ，即 或 （2）当 时，原方程化为 ，得 当 时，原方程化为 ，得 综上知原方程的解为 ， ， （3）由绝对值的几何意义得原方程的解为 例4 （1） ；（2）存在，
27、 或 （3） 或 1 ； 或 2 或 ； ； 或 3 4A D 67（1） 或 ；（3） 或 ；（4） 或 8 ， ， ，得 ， ， ， ，故 9当 ，原方程无解；当 时，原方程有两解： 或 ；当 时，原方程化为 ，此时原方程有四解：当 时，原方程化为 ，此时原方程有三解： 或 或 ； 10 或 ，又 、 都是整数，得 ， ， 当 ，则 ，即 矛盾；若 ，令 ， 满足题意；若 ，令 ， 满足题意11 12 1314B 由数轴知 ，且 为偶数 1D 16（1） 或 可以得到 ；17由绝对值几何意义知：当 时，方程有一解；当 时，方程有无穷多个解，当 或 时，方程无解18（1） ， ， ；（2）存在点 ，点 对应的数为 或 ；（3） ，为常数19 ，同理 ， ，得 当且仅当 ， ， 时，上面各式等号成立又 ，由 得+ ， ，因此， 的最大值为 ，最小值为 从三阶幻方谈起（微
