1、高等数学第六版同济版第九章复习资料 第九章 多元函数微分法及其应用 引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学 由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集的相关概念 1. 平面点集：具有性质P 例如：，其中点表示点 2. 邻域： (1
2、). 邻域： (2). 去心邻域： 3. 坐标面上的点与平面点集的关系： (1). 内点：若，使，则称为的内点. (2). 外点：若，使，则称为的外点 (3). 边界点：若，且，则称为的边界点 边界：的边界点的全体称为它的边界，记作. (4). 聚点：若，则称为的聚点 导集：的聚点的全体称为它的导集 注：1. 若为的聚点，则可以属于，也可以不属于 2. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：；. 4. 一些常用的平面点集： (1). 开集：若点集的点都是其内点，则称为开集 (2). 闭集：若点集的边界，则称为闭集. (开集加边界 (3). 连通集：若中任
3、何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集. (4). 开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域. (5). 闭区域：开区域加上其边界称为闭区域 例如：为区域. 为闭区域. (6). 有界集：若，使，则称为有界集. (7). 无界集：若，使，则称为无界集 二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为. 注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间. 三、多元函数的概念 1. ，或，其中 因 映 自 变 变 量 射 量 定义域：D 值 域： 注：可推广：元函数：，. 例: 1. ， 2. ， 2. 几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:. 四、二元函数的极限 1.定义：设函数的
4、定义域为，点若，为 ，满足，则称为当 ，称之为的二重极限 例1. 设证明：，要使不等式 ，求证 成立，只须取， 于是，总有 ，即 例2. 不存在，其中 证明：当沿直线趋于时，总有 ， 随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在 例3. 求极限 五、二元函数的连续性 1. 二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且 ，则称在点连续 2. 二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点. 注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点. 3. 性质：设D为有界闭区域 (1). 有界性：， ，有 (2). 最值性：，使得，有 (3). 介值性：，使得. 4
5、. 二元连续函数的运算性质 (1). 和、差、积仍连续； (2). 商 (分母不为零) 连续； (3). 复合函数连续. 5. 二元初等函数及其连续性 (1). 二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. (2). . 例4. ，则 解：令 例5. . . (分子有理化) 第二节 偏导数 引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例
6、来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数. 一、偏导数的相关概念 1. 偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而 处有增量时，相应地有增量.若极 存在，则称此极限值为函数在点处对的 ； 或 注: 1. . 2. . 2. 偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或. 注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为 例1. 求在处的偏导数. ，. 例2. 求的偏导数. ，. 例3. 求的偏导数. ，. . 3. 偏导数的几何意义 (1). 偏导数是曲线在点处的切线关于轴的
7、斜率 (2). 偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率. 4. 函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系. (1). 函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续 例如：函数在点的两个偏导数都存在，即 ， . 不存在，故在点不连续 (2). 函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数 例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为： ， ， 即在点对及的偏导数都不存在. 二、高阶导数 1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数 记作：； ；(二阶纯偏导数) ；. (二阶混合偏导数) (二阶纯偏导数 注：1. 一般地
8、，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数 2. 二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数. 3. 二元函数的阶偏导数至多有个. 例4. 设，求它的二阶偏导数. ； ； ；. 总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无 关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如： ，在点， 有，事实上， ； 而 ， ， 于是， ， ， 即 那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理： 2. 二阶混合偏导数的性质 定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即 注：1. 可推广：高阶混合偏导数在
9、连续的条件下与求导顺序无关. 2. 一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个 第三节 全微分 一、全微分的相关概念 1. 偏增量：称为函数对的偏增量 称为函数对的偏增量 2. 偏微分：称与为对及的偏微分. 注：， 但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量. 3. 全增量：称为函数在点 、的全增量 一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分 4. 全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增 不依赖于
10、、，可表示为，其中 而仅与、有关，则称在点可微分，而称 为在点的全微分，记作，即 若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分. 注： 我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值. 二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系 1函数可微分的必要条件 定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数 必定存在，且在点的全微分 证明：由于在点可微分，则有，其 ，当时，有，从而 ， 即，同理可得，于是 特殊地，令，有，从而有，同理令，有，从而有.于是有，也称之为二元函数微分学的叠
11、加原理 注：定理说明：函数可微分，一定可偏导，且全微分可用偏导数表示. 但反之未必，即偏导数存在，函数未必可微分 例如：在点处两个偏导数都存在， ，但在点却不可微分 事实上，假设在点可微分，则， ，当时. 而 ，有 不存在，更谈不上等于0，从而假设 不成立，即在点不可微分. 2. 函数可微分的必要条件 定理2若函数在点可微分，则它在点连续 证明：由于在点可微分，有，其中，于是有，.又的全增量为，从而 ， ，这说 在点连续 注：函数连续，未必可微分 例如：函数在点连续，但由于偏导数不存在，从而不可微分. 3. 函数可微分的充分条件 定理3若函数的偏导数与在点都连续，则 可微分 注：反之未必 例如
12、：在点可微分，但 在点都不连续 (1).先说明在点可微分. 设， 因为 ， ， 令 ， 由于 ，其中，于是 ，由全微分的定义知在 微分 (2). 再说明偏导数及在点不连续. 易知 , 从而在点 不连续 同理可知 在点也不连续. 例1. 计算函数的全微分. 解： . 例2. 计算函数在点处的全微分. ，有 ，所以 例3. 计算解： 的全微分. . 第四节 多元复合函数的求导法则 一、一元函数与多元函数复合的情形 定理1.若函数及在点都可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点 .(全导数公式) 复合而成的函数注：可推广：，在点 . 二、多元函数与多元函数复合的情形 定理2. 若函数及在点具
13、有对及的偏导数，函数 对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存 ；. 注：可推广：由，复合而成的函 在点两个偏导数都存在，且 ；. 三、其它情形 1. 函数在点对及的偏导数都存在，函数及在点可导 在点具有连续偏导数，则复合函数在点 存在，且 ； . 2. 函数在点具有对及的偏导数，在点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且 ； . 例1. 设，而，求 及. ； . 例2.设 ，而 及. ； . 例3. 设，而，求求导数 . 四、全微分形式不变性:若函数 . 若函数及也具有连续偏导数，则复合函数的全微 有称此性质为全微分形式不变性. ， . 与，其中，. 例4. 解：由
14、于， 而 ， 于是，即 ， 比较两端、dy ， . 第五节 隐函数的求导公式 一、隐函数：称对应关系不明显，而是隐含在方程(方程组)中的函数(函数组)为由方程(方程组)确定的隐函数(隐函数组 注：并不是每一个方程都能确定一个隐函数，例如：. 二、隐函数存在定理 1.由一个方程确定的隐函数 定理1.若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续可导的函 数，满足 . 注：若的二阶偏导数也连续，则有 定理2. 若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且 ，则方程在点 且具有连续偏导数的函数，满足 例1. 设，求及 ，. 解：令，则， . . 例2.设，求 解：设
15、，则， . ，从而 2.由方程组确定的隐函数组 定理3. 若函数与在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且函数行列式 在点不等于零，则方程组在点 确定唯一一组连续且具有连续偏导数的函数组，且 ， ； ， 例3. 设， 、和. 解：设方程组，两端对求导得： 或， 在 的条件下，有 ， 同理可得 ，. ； 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 1. 一元向量值函数的定义： ，(数集)，. 注：1. 在R3中， 2. 向量值函数称为曲线的向量方程 2. 一元向量值函数的极限：设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义，若存在常向量，：满足，总有，则称为当 时的极限，记作
16、 注：存在、都存在 . 3. 一元向量值函数的连续性：设向量值函数在点的某一邻域内有定义， ，则称向量值函数在点连续 注：在点连续、点连续 4.一元向量值函数的导数(导向量)：设向量值函数在点 存在，则称此极限值为在点的导数或导向量，记作 . 注：1. 在点可导、点都可导 2. 是向量值函数 曲线在点处的一个切向量,其指向与的增长方向一致 例1.设，求 解： . 例2.设空间曲线的向量方程为，求曲线在点相应的点处的单位切向量 解：由于，有，进而，于 为指向与的增长方向一致的单位切向量 为指向与的增长方向相反的单位切向量 二、空间曲线的切线与法平面 1. 参数式情形：设空间曲线的参数方程为，假设
17、、以及 在上可导，且三个导数不同时为零 (1). 切线：曲线上的一点处的切线方程为：应点 推导：由于曲线的参数方程为，记向量值函数， ，参数对 函数导数的几何意义知：向量即为曲线在其上的 处的一个切向量，从而曲线在其上的点处的切线方程为： . (2). 法平面：通过曲线上的点而与曲线在点处的切线垂直的平面方程称为曲线在点处的法平面，方程为.其中法向量为 2. 特殊式情形：设空间曲线的方程为，且、在点 的方程可改写为，为参数，从而曲线在点 程分别为： (1). . (2). 法平面方程： 3. 一般式(隐函数)情形：设曲线的方程为，为曲线 又设、 ，这时方程组在点 某一邻域内确定了一组隐函数，从
18、而曲线的参数方程为， 于是切向量为 (1). . . (2). 法平面方程： 例3. 求曲线在点处的切线与法平面方程 解：在方程组两端对求导，得 ，整理得， 于是， ，故切向量为 ； ，或，从而所求切线方程为：. 法平面方程为或 三、曲面的切平面与法线 1.定义 (1). 切平面：若曲面上通过点的一切曲线在点 面为曲面在点的切平面 (2). 法线：通过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点的法线. 2. 切平面与法线方程 (1). 一般式情形：设曲面的方程为，点 的偏导数在点连续 切平面方程：； . 推导：在曲面上过点任意引一条曲线，设其参数方程为，且函数 以及在都可导，有方程， 对应点 两端对求
19、导，在处，有. 记.又为曲线在 处的切向量，由上式可知，即曲面上通过点的任意一条曲线的切向量都垂直于同一个向量，从而这些切线都在同一平面上，即曲面 的且平面存在，该切平面以向量为一法线向量 (2). 特殊式 (显函数) 情形：曲面：，且函数的偏导数在点连续 切平面方程： 法线方程：. 推导：记，有 ， 故有法向量 例4. 求球面在点处的且平面及法线方程 解：设，有，故所求切平面的法向量为， 于是所求切平面方程为：，即， 法线方程为：，即 例5. 求旋转抛物面在点处的切平面即法线方程 解：设，有，于是所求切平面的法向量为 从而所求切平面方程为，即， 法线方程为. 第七节 方向导数与梯度 引入:由
20、函数在点的偏导数的几何意义可知：偏导数、只是函数过点沿平行坐标轴法线的变化率.但在实际应用中，往往要求我们知道函数在点沿任意确定的方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大，这就涉及到函数的方向导数和梯度. 一、方向导数 1. 定义：设函数在点的某个邻域内有定义， 为过点)上另一点，且.若极限的射线( 存在，则称此极限为函数在点沿 方向 注：若函数在点，则 的偏导数存在，且 若函数在点，则 的偏导数存在，且 2. 方向导数的存在性 定理：若函数在点可微分，则函数在点沿任意方向的方向 ，其中、的方向余弦 注：1. 可推广：若函数在点可微分，则在点 的方向导数为 2. 方向导数存在，函数未必可微
21、分 例如：在点沿方向的方向导数都存在，但 点不可微分 事实上：由于 ，从而 沿方向的方向导数都存在 但在点的两个偏导数都不存在，从而不可微分. 例1. 求函数在点处从点到方向的方向导数 解：由题可知方向就是向量的方向，有 又 ， . 例2.求在点沿方向的方向导数，其中 解：由题可知与方向同向的单位向量为， 又故所求方向导数为二、梯度 ， ， ， 1.梯度的定义：设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，对每一个 ，称向量为函数在点 ，或，即. 注：可推广：. 2.梯度与方向导数的关系 (1).沿梯度方向，方向导数达到最大值； (2).梯度的模为方向导数的最大值 推导：设，若函数在点则在点可微分，
22、沿方向的 1. 当 这说明函数在一点的梯度是这样一个向量，它的方向是在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值 2. 当时，有与的方向相反，函数减小最快，在这个方向上的方向导数达到最小值，3. 当 时，有与的方向正交，函数的变化率为零，即 例3. 求 解：令 ，有，于是 例4.设，求 (1). 在处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数； (2). 在处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数； (3). 在处变化率为零的方向 解：(1). 在点处沿的方向增加最快，由于 ， 故所求方向可取为 (2). 在点处沿的方向减少最快，故所求方向可取 (3). 在点处沿垂直于的方向变化率
23、为零，故所求方向为 或. 第八节 多元函数的极值及其求法 引入：在一元函数微分学中，我们讨论了一元函数的极值和最值问题，但在许多实际问题中，往往会遇到多元函数的极值和最值问题，我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值与最值问题 一、二元函数的极值与最值 1. 极值：二元函数的定义域为，为的内点，若存在 ，且，都有 ( 则称在点称为函数的极大值点(极小值点). 有极大值(极小值).点统称极大值、极小值为极值；使函数取得极值的点称为函数的极值点 2. 最值：设函数的定义域为D，若存在，都 ( 则称为在D上的最大值(最小值). 注：1. 极值是一个局部概念，最值是一个整体概念. 2. 极值与最值的关系
24、：极值可以是最值，但最值未必是极值. 例1. 函数在点取得极小值，也是最小值. 例2. 函数在点取得极大值，也是最大值. 例3.函数在点既不取得极大值，也不取得极小值 由此可见，并不是每一个函数在其定义域上都有极值点，那么什么样的点可能是函数的 点的必要条件和充分条件，从中得到这些问题的答案. 二、极值点的条件 定理1. 若函数在点具有偏导数，且在点 ， 注：1. 称使成立的点为的驻点或稳定点 2. 可偏导函数的极值点一定是其驻点，但反之未必 例如：函数，在点是其驻点，但在点却不取得极值 那么什么样的驻点才能是极值点呢？下面的极值点的充分条件回答这一问题，并给出求极值的方法 定理2. 设函数在
25、点的某一邻域内连续且具有一阶以及二阶连续偏导数，又，令 ， 则在处是否取得极值的条件如下： (1). 时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值. (2). 时没有极值 (3). 时是否取得极值不定，需另行讨论. 3.求极值的步骤 第一步：求偏导数，解方程组，得的所有驻点 第二步：对每一驻点，求二阶偏导数的值、 第三步：考察的符号，判断是否为极值，若是极值，判断出是极大值还是极小值 例4.求函数的极值 解：解方程组，得驻点，. 又， (1). 在点处，且，故在 (2). 在点处，故不是极值. (3). 在点处，故不是极值 (4). 在点处，且，故在 值 例5. 求函数的极值 解：由方程组得两个驻
26、点， . 又； (1). 在点处， ， ，故在点取极小值 (2). 在点处，有 ，而在的某个邻域内既有大于0的值，也有小于0 ，而.故在取不到极值 注：可偏导函数的极值点一定是其驻点，但函数的极值点也可以在其不可偏导点处取得， 例如：在取得极大值，但不是的驻点. 三、函数最值的求法 在一元函数微分学中，我们利用函数极值求函数的最值，这一方法仍然适用于多元函数. 设函数在有界闭区域D上连续，在D内可微且有有限多个驻点，则在D上具有最大值和最小值，将在D内的所有驻点的函数值与D边界上的最大值和最小值相比较，其中最大的就是函数在上的最大值，最小值就是函数在上的最小值. 在D的边界上的最值往往很困难，
27、如果考虑问题的实际意义，的最值一定在 内部取得，且函数在D内具有一个驻点，则必在该驻点处取得最值 例5.某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问长、宽、 取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱的长为，宽为 ，水箱所用材料面积为 ， 令 ，解得函数的唯一驻点 由问题的实际意义，水箱所用材料面积的最小值一定存在，且在区 内部取得，而函数在内只有一个驻点，则函数 取得最小值，即水箱长为，宽为，高为时，水箱用料最省. 四、条件极值 拉格朗日乘数法 前面讨论的函数的极值问题，除了把函数的自变量限制在函数的定义域内没有其他条件，但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.
28、例如：求表面积为而体积为最大的长方体的体积问题 我们可以设长方体的三个棱长分别为，则问题转化为求在限制下，函数的最大值，即条件极值 1. 条件极值：称函数在满足附加条下件的所有极值点的极值为条件极值. 普通极值：称函数在没有附加条件下的极值为无条件极值或普通极值. 2. 求条件极值的方法 (1). 化条件极值为普通极值 (2). 拉格朗日乘数法：求函数在附加条件下的极值. .作辅助函数 .辅助函数两端对及求偏导数，并令，与附加条件联立得 . .解出，其中就是函数在附加条件 由问题的实际意义判定 说明：若在取得极值，则有，方程确定，有 在处对 .又有 . 代入上式有 . ，有，也有 注：1. 可推广：求函数在附加条件下的极值，辅助函数设为： 2. 也称函数或为目标函数. 例6.求表面积为而体积为最大的长方体的体积 解：设长方体的三棱长分别为，其体积为，而面积为.所求问题就是在附加条件下求目标函数的最大值 设辅助函数为 ， 令，与附加条件联立，有，解得 . 由问题的实际意义， .
