1、相交线平行线与平移整合提升密码专训1几何计数的四种常用方法名师点金：1.对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数2计数的原则是不重复、不遗漏 按顺序计数问题1如图，两条直线相交于一点O，则图中共有（）对邻补角A2 B3 C4 D5（第1题）（第2题）2如图，在同一平面内有A，B，C，D，E五个点，以其中任意两点画直线最多有条 按画图计数问题3请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？4平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图
2、 按基本图形计数问题5如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？（第5题） 按从特殊到一般的思想方法计数问题6观察如图所示的图形，寻找对顶角（不含平角）.（第6题）（1）两条直线相交于一点，如图，共有对对顶角；（2）三条直线相交于一点，如图，共有对对顶角；（3）四条直线相交于一点，如图，共有对对顶角；.（4）根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有对；（5）根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数7平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？专训2相交线与平行线中的思想方法名师点金：1.
3、本章体现的主要方法有：基本图形（添加辅助线）法、分离图形法、平移法2几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等 基本图形（添加辅助线）法1已知ABCD，探讨图中APC与PAB、PCD的数量关系，并请你说明成立的理由（第1题） 分离图形法2若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？ （第2题） 平移法3如图，在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶，它们的总宽度是3米，总高度是2米，图中所成角度均为直角，现要在从A到B的台阶上铺上地毯，求地毯的总长度【导学号：19752088】（第3题）4如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在
4、长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？（第4题） 方程思想5如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AOOB，OF平分BOC，OE平分AOD，若EOF170，求COD的度数（第5题） 转化思想6如图，ABCD，1B，2D，试说明BEDE.（第6题） 数形结合思想7如图，直线AB，CD被EF所截，12，CNFBMN180.试说明：ABCD，MPNQ.（第7题） 分类讨论思想8如图，已知直线l1l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究1，2，3之间的关系（第8题）专训3
5、全章热门考点整合应用名师点金：本章知识是中考的必考内容，也是后面学习有关几何中计算和证明的基础其常见的题目涉及角度的计算、垂线段及其应用、平行线的判定和性质，命题形式有填空题、选择题、解答与说理题，题目难度不大其热门考点可概括为：五个概念，两个判定，两个性质，两种方法，两种思想 五个概念相交线1图中的对顶角共有（）A1对 B2对 C3对 D4对（第1题）（第2题）2如图，直线AB与CD相交于点O，EOAB，则1与2（）A是对顶角 B相等 C互余 D互补3如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分AOC，COF35，BOD60，求EOF的度数（第3题）三线八角（第4题）4如图，如果140，2100
6、，那么3的同位角等于，3的内错角等于，3的同旁内角等于.5如图，点E在AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？（第5题）（1）A和D；（2）A和CBA；（3）C和CBE.平行线6在同一平面内，直线a与b满足下列条件，写出其对应的位置关系（1）a与b没有公共点，则a与b；（2）a与b有且只有一个公共点，则a与b（第7题）7如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线BE.平移8图中的4个小三角形都是等边三角形，边长为1
7、cm，你能通过平移三角形ABC得到其他三角形吗？若能，请说出平移的方向和距离（第8题） 两个判定垂线9如图，直线AB，CD相交于点O，OMAB.（1）若120，220，则DON度；（2）若12，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；（3）若1BOC，求AOC和MOD的度数【导学号：19752089】（第9题）平行线10如图，已知BEDF，BD，那么AD与BC有何位置关系？请说明理由（第10题）11如图，已知CFAB于点F，EDAB于点D，12，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由（第11题） 两个性质垂线段的性质12如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的
8、方案：方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？（忽略河流的宽度）（第12题）平行线的性质13（中考雅安）如图，已知ABCD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分FEB，150，则2等于（）A50 B60 C70 D80（第13题）（第14题）14（中考抚顺）如图，分别过等边三角形ABC的顶点A，B作直线a，b，使ab.若140，则2的度数为15如图，在四边形ABCD中，ABCD，BCAD，那么A与C，B与D的大小关系如何？请说明理由（第15题） 两种方
9、法作辅助线构造“三线八角”16如图，EBD，猜想AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由（第16题）作辅助线构造“三线平行”17如图，已知ABCD，试说明BDBED360.（第17题） 两种思想方程思想18如图，ABCD，123123，判断BA是否平分EBF，并说明理由（第18题）转化思想19如图，在五边形ABCDE中，AECD，A107，ABC121，求C的度数（第19题）答案1C方法规律：此题是按一定顺序来计数，将满足条件的图形按一定顺序一一列举，并最终求出总对数，此类方法适合于简单的几何图形的计数210点拨：如图，可作直线AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条
10、(第2题)3解：图有0个交点，图有1个交点，图、图有3个交点，图、图有4个交点，图有5个交点，图有6个交点 (第3题) 4解：如图所示(第4题)5解：此题可以按基本图形进行计数，以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5432115(个)6解：(1)2(2)6(3)12(4)n(n1) (5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016(2 0161)2 0162 0154 062 240.方法规律：本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可
11、以直接数出对顶角的对数根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题7解：首先画图如下，列表如下：(第7题)直线条数1234平面最多被分成的部分个数24711当n1时，平面被分成2个部分；当n2时，增加2个，最多将平面分成224(个)部分；当n3时，增加3个，最多将平面分成2237(个)部分；当n4时，增加4个，最多将平面分成223411(个)部分；所以当n条直线时，最多将平面分成2234n11234n1(个)部分(第1题)1分析：要探究三个角的数量关系，可找出联系这三个角的平行线，因此联想到作平行线解：APCPABPCD.理由如下：如图，过点P作PEAB.因为ABCD，所以
12、PEABCD.所以PABAPE，PCDCPE(两直线平行，内错角相等)因为APCAPECPE，所以APCPABPCD(等量代换)2解：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角 (第2题) 3解：由平移的性质可知，地毯的总长度为325(米)方法规律：此题运用了平移法，这些台阶不均匀，无法具体计算每级台阶的宽度和高度，但若把所有台阶的宽平移至BC上，发现总和恰好与BC相等，若把所有台阶的高平移到AC上，发现总和恰好与AC相等(第4题)4解：如图，把两条小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是长方形因为 CF3
13、2230(m)，CG20218(m)，所以长方形EFCG的面积3018540(m2)答：绿化的面积为540 m2.5解：设CODx.因为OF平分BOC，OE平分AOD，所以COFBOC，EODAOD.因为EOFxCOFEOD170，所以COFEOD170x.又因为x2COF2EOD90360，所以x2(170x)90360，所以x70，即COD70.方法规律：有些复杂的求角度的问题用方程思想求解非常简单，注意方程思想的应用6解：如图，过点E作EFAB.(第6题)因为ABCD，所以EFCD.所以DEFD(两直线平行，内错角相等)又因为D2，所以DEF2(等量代换)同理：由EFAB，1B，可得BE
14、F1.又因为12BEFDEF180(平角的定义)，所以12BEFDEFBED90.所以BEDE.方法规律：解该类问题需转化为比较简单、熟悉的几何问题，通过在“拐点”处作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与已知角建立联系，这种转化思想在解题时经常用到7解：由对顶角相等，得CNFEND.又CNFBMN180，所以ENDBMN180.所以ABCD.因为CNFBMN180，EMBBMN180，所以EMBCNFEND.又因为12，所以END2EMB1，即ENQEMP.所以MPNQ.点拨：平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定，而性质则是由“形”到“数”的说理，研究两条直线的垂直或平行的共
15、同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的关系8解：当点P在C，D之间时，过P点作PEAC，则PEBD，如图.因为PEAC, 所以APE1(两直线平行，内错角相等)因为PEBD，所以BPE3(两直线平行，内错角相等)因为2APEBPE，所以213.当点P与点C重合时，10，如图.因为l1l2(已知)，所以23(两直线平行，内错角相等)因为10， 所以213.当点P与点D重合时，30，如图.因为l1l2(已知)，所以21(两直线平行，内错角相等)因为30，所以213.综上所述，当点P在线段CD上运动时，1，2，3之间的关系为213. (第8题) 1B2.C3解：根据对顶角的性质，得AOCB
16、OD60.因为OE平分AOC，所以COEAOC6030，所以EOFEOCCOF303565.480；80；1005解：(1)A和D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角；(2)A和CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角；(3)C和CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角6(1)平行(2)相交7解：如图(第7题)8解：将三角形ABC沿着射线AF的方向平移1 cm得到三角形FAE；将三角形ABC沿着射线BD的方向平移1 cm得到三角形ECD；将三角形ABC平移不能得到三角形AEC.9解：(1)90(2)ONCD.理由：因为OMAB，所以1AO
17、C90.又12，所以2AOC90，所以CON90，所以ONCD.(3)因为1BOC，所以BOC41，即BOM31.因为BOM90，所以130，所以AOC90160，MOD1801150.10解：ADBC.理由：因为BEDF(已知)，所以EAGD(两直线平行，内错角相等)又因为BD(已知)，所以EAGB(等量代换)，所以ADBC(同位角相等，两直线平行)11解：FGBC.理由如下：因为CFAB，EDAB，所以CFDE，所以1BCF.又因为12，所以2BCF.所以FGBC.12解：按方案一铺设管道更节省材料理由如下：因为CEAB，DFAB，CD不垂直于AB，根据“垂线段最短”可知，CEPC，DFP
18、D，所以CEDFPCPD.所以按方案一铺设管道更节省材料13D14.8015解：AC，BD.理由如下：因为ABCD，BCAD，所以BC180，AB180(两直线平行，同旁内角互补)所以AC(同角的补角相等)同理得BD.16解：ABCD.理由如下：如图，过E点作EFAB，则BBEF.又因为BEDBD，所以BEDBEFD，即BEFDEFBEFD，所以DEFD，所以EFCD，所以ABCD.(第16题)17解：方法1：如图，过点E作EFAB.因为ABCD，EFAB，所以EFCD，所以2D180.因为EFAB，所以1B180.所以1B2D360.所以BDBED360.(第17题)方法2：如图，过点E作E
19、FAB.因为ABCD，EFAB，所以EFCD，所以2D.因为EFAB，所以1B.因为12BED360，所以BDBED360.点拨：本题还有其他解法，如连接BD、延长DE交AB的延长线于点F等18解：BA平分EBF.理由如下：因为123123，所以可设1k，则22k，33k.因为ABCD，所以23180，即2k3k180，解得k36.所以136，272，则ABE1802172.所以2ABE，即BA平分EBF.点拨：当问题中角的数量关系出现倍数、比例时，可根据其数量关系建立方程，通过方程解决问题(第19题)19解：如图，过点B作BFAE交ED于点F.因为BFAE，A107，所以ABF18010773.又因为ABC121，所以FBC1217348.因为AECD，BFAE，所以BFCD.所以C180FBC132.点拨：本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系
