1、超级总结吐血推荐考研数学二经典知识点题型技巧总结高数线代综合网上及个人线代心得高等数学(数二) 整理人：刘 超说明：本文只适合内部流传，严禁外传，来源于网各个专家分析，其中线性代数为本人的心得感悟理解，另附网上9个大题的猜测：必考题型及2013可能会考的题型；及李永乐，王式安的基础导学班题型分析。一. 重点知识标记高等数学科目 大纲章节 知识点 题型 重要度等级高等数学 第一章 函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式 求函数的极限 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型 第二章 一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系
2、按定义求一点处的导数，可导与连续的关系 2 .函数的单调性、函数的极值 讨论函数的单调性、极值 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理 微分中值定理及其应用 第三章 一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数 变限积分求导问题 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分 第四章 多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系 3 .多元复合函
3、数、隐函数的求导法 求偏导数，全微分 第五章 多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用 第六章 常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程，2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题 一、 函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则)、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理)，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。二、 微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础
4、亦是重点。一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。三、积分学部分：一元函数积分学一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积
5、分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求)，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。四、微分方程：这里有两个重点：一阶线性微分方程;二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。线 性第一章 行列式 1.行列
6、式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式 第二章 矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵 与初等变换有关的命题 第三章 向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性 3. 线性组合与线性表示 判定向量能否由向量组线性表示 第四章 线性方程组 1. 齐次线性方程组的基础解系和通解的求法 2. 求齐次线性方程组的基础解系、通解 第五章 矩阵的特征值和特征向量 1. 实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法 2. 有关实对称矩阵的问题 3. 相似变换、相似矩阵的概念及性质 相似矩阵的判定及逆问题 第六章 二次型 1. 二
7、次型的概念 求二次型的矩阵和秩 2. 合同变换与合同矩阵的概念 判定合同矩阵 二.高数（数学二）各种题总结复习阶段1. 基础阶段（7月之前）（从薄到厚）全面复习，打好基础书本为主，以本为本2. 强化阶段（7月-11月底）（从厚到薄） 总结归纳：知识点，重点，难点，题型，方法把握整体，形成体系3. 冲刺阶段（12月开始）（查缺补漏，实战演练）【踩点复习】高等数学（整本书三大块：极限，导数，积分）第一章：函数，连续，极限1.函数1.函数的概念（定义域，对应法则，值域）2.函数的性态（单调性，奇偶性，周期性，有界性）3.复合函数 和 反函数4.基本初等函数和初等函数2.极限【每年必考大题】1. 极限
8、的概念（数列极限和函数极限） 函数极限：左极限，右极限2. 极限性质：1. 局部有界性2. 保号性3. 有理运算的性质4. 极限值与无穷小之间的关系3. 极限存在准则1. 夹逼准则2. 单调有界准则4.无穷小量1.无穷小的比较（选择）2. 常用等价无穷小代换及其原则（混合）3.连续 1.左连续，右连续 2.间断点及其分类（1）第一类间断点（左右极限均存在） 1. 可去间断点（左右极限都存在且相等） 2. 跳跃间断点（左右极限都存在但不相等） （2）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）3.连续函数的性质有界闭区间上连续函数的性质 1.有界性，最值性，介值性，零点定理总结：第一章常考题型（三类
9、题核心实质：就是求极限）1. 求极限2. 无穷小量的比较（阶的比较）3. 讨论函数的连续性及间断点的类型补充：第二章 一元函数微分学1.导数和微分的概念（左导数，右导数） 连续，可导，可微之间的关系2.微分法 1.求导法则（核心：有理运算法则和复合函数求导法则） 复合函数求导法，隐函数求导法，参数方程求导法3.微分中值定理（实质：建立了f（x）和f（x）的关系） 罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理f（x）和f（x） 泰勒公式（高阶）4.导数应用 1.洛比达法则 2.单调性 3.函数的极值与最值（充分条件和必要条件） 4.曲线的凹向与拐点 5. 渐近线（水平，垂直，斜渐近线）6.曲率和曲率半径（数
10、二考）第二章常考题型 1.导数定义 2.求导法：复合函数，隐函数，参数方程，高阶导数（难点） 3.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点 4.求渐近线 5.方程的根 6.不等式的证明 7.微分中值定理证明补充：第三章 一元函数积分学1.基本积分公式2.三种主要积分法（考研不考特殊技巧的题目，下面三类即可）（1）第一类换元法（凑微分法）（2）第二类换元法（3）分部积分法3.定积分的应用（可积性的充分条件，必要条件）4.定积分的性质：（1）不等式 （2）积分中值定理5.变上限积分（必考）5反常积分（只要求掌握定义，会最基本的就好，计算是重点）6定积分的应用（实质：掌握 微元法）1. 几何应用（面
11、积，体积，曲线弧长，旋转体体积）2. 物理应用（1.压力 2.变力做功 3引力）补充：第四章 多元微分学 1. 一元和多元 连续，可导，可微的判定，联系和区别2. 偏导数求导法（1.复合函数求导法 2.隐函数求导法）3. 多元极值和最值1.（无条件）极值的充分条件和必要条件2.（条件极值）：拉格朗日乘法3. 最大最小值补充：第五章 二重积分（直角坐标和极坐标，及奇偶性，对称性）补充：第六章 微分方程（掌握定理就好）补充：线性代数：（自己的总结）总体来说，这部分内容相对容易，考试的时候出题的套路比较固定。但线代的考题对考生对基本概念的理解要求很高，很多考生往往是读完了题却不知道题目的实际含义是什
12、么。总论：线性代数实质上只讲了矩阵（我只讲实质） （为了不变化改用图片）一、行列式行列式的性质、行列式按行(列)展开定理是重点，但不是难点。在行列式的计算题目中，尤其是抽象行列式的计算，常用到矩阵的相关知识，应提高对知识的综合运用能力。 题型分析：1. 行列式求解：按行展开，每行和相等；拉普拉斯；范德蒙德；分块含O题；爪型；2或3斜对角线2. 抽象行列式计算：1.E的活用；AA*=|A|E应用 【难点：A=-A 等价于 AxA=0】 2.|A|=aii aii=ii 3.相似 4. 矩阵T的R=1 迹（对角线之和）=T3.某行代数余子式Aij之和的计算补充：二、矩阵逆矩阵、矩阵的初等变换、矩阵
13、的秩是重点。逆矩阵的计算，以及矩阵是否可逆的判定属于常考内容。矩阵的初等变换常以选择题形式出现，如2012考研。（kA）*=kn-1A （A*）-1=A/|A| （A*）*=|A|n-2 A* 题型分析：1.矩阵T的R=1 迹（对角线之和）=T2.求An：（1） A=T 做法 R（A）=1，An=（aii）n-1A （2）拆 A=E+B 而B是对角线及其以上（下）均为0，若斜k行，则Bk=O，二项展开An=（E+B）n （3）分块应用 和 相似 *（4）若An+Ak+cE=0形式 其特征方程为：n+k+c=0，并A的特征值只能在这结果中可能有重根3.A的逆 两种方法：1.伴随矩阵 2.初等行变
14、化（不能掺杂列变换且向量按列排，初等行变换）4. 求某抽象表达式的逆或可不可逆：只要构造AB=E的形式5.相关证明用解题思路模板就好，其他特殊不好直接证明的可用 定义法，元素法（每个均为0），反证法补充：三、向量向量组的线性相关与线性无关是一个重点，要求掌握向量组线性相关、线性无关的性质及判别法，常以选择题、解答题形式出现。正交矩阵也可以作为一个重点掌握。考查最多的是施密特正交化法。题型：本质看有多少个有效向量，即R（A)=极大线性无关组中向量个数1. 矩阵等价（秩相同）不同于向量组等价（不仅秩相同，而且要“对应”）2. 证明题两个思路：1.定义k1+k2+ks=0，根据条件做成A或A-E或T
15、等使k全为0；2.设出各自极大线性无关组，用极大线性无关组去相关证明 3.特殊公式：若AB=O，则R（A）+R(B)=n（n为A的列） 4.R(AAT)=R(A)：AATX和AX同解； 3.将C的列向量看着BX=O的解和ABX=O（A可逆）的解；同解；R(解空间)0 例如：AX （AX）T05.是对称矩阵一定可以对角化，又R（A）=R（），所以R（A）=非0特征值得个数（其他矩阵不行）6.注意不同矩阵的不同特征值的特征向量一定线性无关（要Schmidt正交化），其中正交矩阵不同特征值的特征向量是正交！补充：四、线性方程组方程组解的讨论、待定参数的解的讨论问题是重点考查内容。掌握用初等行变换求解
16、线性方程组的方法。实质：AX=O和AX=（注意 R（A|）=R(A)）有效方程的个数R（A）与变量n（n为A的列向量个数）关系题型分析：1. A的行分块和列分块，来转化为 向量组线性相关，无关问题2. AX=O的解R=n-R（A）和AX=的解R=n-R(A)+1因为多了个特解3. 这是前提：R（A|）=R(A)补充：五、矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值、特征向量的计算以及矩阵的对角化是重点。对于抽象矩阵，要会用定义求解;对于具体矩阵，一般通过特征方程 求特征值，再利用 求特征向量。相似对角化要掌握对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别。题型分析：1.|A|=aii a
17、ii=ii 快速确定对角线上的参数a；2.实对称矩阵的对角化：注意（E-A）X=0；若为k重根，必有R（E-A）=n-k个线性无关的特征向量；3.为什么求实对称矩阵的正交矩阵补充：六、二次型这部分需要掌握两点：一是用正交变换和配方法化二次型为标准形，重点是正交变换法。需要注意的是对于有多重特征值时，解方程组所得的对应的特征向量可能不一定正交，这时要正交规范化。二是二次型的正定性，掌握判定正定性的方法。重点分析：1.二次型是一个数值，而不是矩阵（矩阵是二次型所对应的矩阵），所以（XTAX）T=（XTAX） 2.正定性判别：1.定义法：构造 XT ATAX=(AX) T =0 2.特征值：正定则所
18、有特征值都大于0 3.各阶顺序主子式均大于0 4.合同于E（注意：不一定是正交矩阵）5.合同于已知矩阵6.正惯性指数p=n（可用配方法：本质还是因为定义，因为平方和大于0（对于任意非0向量） 3.求二次型的标准型：1.配方法 2.特征向量矩阵法：什么时候求正交矩阵？当需要求P-1时，因为正交矩阵有如下性质：P-1=PT2013大题考试题型预测2013考研高等数学二六大必考题型总结第一：求极限。每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法。另外，分段函
19、数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数。一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数，证明不等式成立，一般都要求到3阶的时候;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上
20、每年都会考查是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。第四：二重积分的几何应用。主要是积分顺序不同变换和奇偶性，对称性应用，面积计算与旋转体积计算及直角坐标，极坐标的应用求解第五：微分方程问题。解常微分方程方法固定，无论是一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程还是高阶常系数齐次与非齐次方程，记住常用形式.注意：研究生考试对微分方程的考查常有一种反向方式，即平常给出方程求通解或特解，现在给出通解或特解求方程。这需要考生对方程与其通解、特解之间的关系熟练掌握。第六：线性代数（3选2）1.向量组线性相关性及无关性证明1.特征值特征向量 ：通过条件先求带参矩阵的参数（注意其中不为0的k阶子式），再求特征值特征向量2.二次型应用。这六大题型可以说是考试的重点考查对象，考生可以根据自己的实际情况围绕重点题型复习，争取达到高分甚至满分!
