届中考数学一轮复习讲义第32讲平移变换.docx
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届中考数学一轮复习讲义第32讲平移变换
2018届中考数学一轮复习讲义第32讲平移变换
【知识巩固】
1.平移的定义:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质:
(1)平移后,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等;
(2)平移后,对应角相等;
(3)平移后,对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等.
(4)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,即平移后的图形与原图形全等.
3.平移的两个要素:
平移的方向和距离.(方向为前后对应点射线方向,距离为对应点之间的线段的长度)
4.简单图形的平移作图:
(1)确定图形中的关键点;
(2)将关键点沿指定的方向移动指定的距离;
(3)连结各点,得到原图形平移后的图形.
【典例解析】
典例一、平移的定义
将图形平移,下列结论错误的是()
A.对应线段相等B.对应角相等
C.对应点所连的线段互相平分D.对应点所连的线段相等
解析:
根据平移的性质,将图形平移,对应线段相等、对应角相等、对应点所连的线段相等,而对应点所连的线段不一定互相平分,故选C.
答案:
C
【变式训练】
4.如图,面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移的距离是边BC长的两倍,则图中的四边形ACED的面积为( )
A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.无法确定
答案:
B
解析:
由题意可知根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积,依此计算即可.
∵平移的距离是边BC长的两倍,
∴BC=CE=EF,
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积;
∴四边形ACED的面积=12×3=36cm2.
考点:
平移的性质.
典例二、平移的性质
(2017毕节)把直线y=2x﹣1向左平移1个单位,平移后直线的关系式为( )
A.y=2x﹣2B.y=2x+1C.y=2xD.y=2x+2
【考点】F9:
一次函数图象与几何变换.
【分析】根据“左加右减”的函数图象平移规律来解答.
【解答】解:
根据题意,将直线y=2x﹣1向左平移1个单位后得到的直线解析式为:
y=2(x+1)﹣1,即y=2x+1,
故选B.
【变式训练】
(2017广西百色)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,0),将正方形OABC沿着OB方向平移
OB个单位,则点C的对应点坐标为 (1,3) .
【考点】Q3:
坐标与图形变化﹣平移.
【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移
OB个单位,即将正方形OABC沿先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,根据平移规律即可求出点C的对应点坐标.
【解答】解:
∵在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,0),
∴OC=OA=2,C(0,2),
∵将正方形OABC沿着OB方向平移
OB个单位,即将正方形OABC沿先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,
∴点C的对应点坐标是(1,3).
故答案为(1,3).
典例三、简单图形的平移作图
(2016·黑龙江龙东·3分)如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过2016次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 .
【考点】翻折变换(折叠问题);等边三角形的性质;坐标与图形变化-平移.
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.
【解答】解:
解:
∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2,
∴点C到x轴的距离为1+2×
=
+1,
横坐标为2,
∴A(2,
+1),
第2016次变换后的三角形在x轴上方,
点A的纵坐标为
+1,
横坐标为2-2016×1=-2014,
所以,点A的对应点A′的坐标是(-2014,
+1)
故答案为:
(-2014,
+1).
【变式训练】
(2016·山东省菏泽市·3分)如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为( )
A.2B.3C.4D.5
【考点】坐标与图形变化-平移.
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.
【解答】解:
由B点平移前后的纵坐标分别为1、2,可得B点向上平移了1个单位,
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3,可得A点向右平移了1个单位,
由此得线段AB的平移的过程是:
向上平移1个单位,再向右平移1个单位,
所以点A、B均按此规律平移,
由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,
故a+b=2.
故选:
A.
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:
横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
典例四、平移的综合应用
(2017广西河池)直线l的解析式为y=﹣2x+2,分别交x轴、y轴于点A,B.
(1)写出A,B两点的坐标,并画出直线l的图象;
(2)将直线l向上平移4个单位得到l1,l1交x轴于点C.作出l1的图象,l1的解析式是 y=﹣2x+6 .
(3)将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2,l2交l1于点D.作出l2的图象,tan∠CAD=
.
【考点】F9:
一次函数图象与几何变换;F3:
一次函数的图象.
【分析】
(1)分别令x=0求得y、令y=0求得x,即可得出A、B的坐标,从而得出直线l的解析式;
(2)将直线向上平移4个单位可得直线l1,根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式;
(3)由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标,待定系数法求得直线l2的解析式,继而求得其与y轴的交点,根据tan∠CAD=tan∠EAO=
可得答案.
【解答】解:
(1)当y=0时,﹣2x+2=0,解得:
x=1,即点A(1,0),
当x=0时,y=2,即点B(0,2),
如图,直线AB即为所求;
(2)如图,直线l1即为所求,
直线l1的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6,
故答案为:
y=﹣2x+6;
(3)如图,直线l2即为所求,
∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2,
∴由图可知,点B(0,2)的对应点坐标为(3,1),
设直线l2解析式为y=kx+b,
将点A(1,0)、(3,1)代入,得:
,
解得:
,
∴直线l2的解析式为y=
x﹣
,
当x=0时,y=﹣
,
∴直线l2与y轴的交点E(0,﹣
),
∴tan∠CAD=tan∠EAO=
=
=
,
故答案为:
.
【变式训练】
(2017浙江湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.从一个格点移动到与之相距
的另一个格点的运动称为一次跳马变换.例如,在4×4的正方形网格图形中(如图1),从点A经过一次跳马变换可以到达点B,C,D,E等处.现有20×20的正方形网格图形(如图2),则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N,最少需要跳马变换的次数是( )
A.13B.14C.15D.16
【考点】RA:
几何变换的类型;KQ:
勾股定理.
【分析】根据从一个格点移动到与之相距
的另一个格点的运动称为一次跳马变换,计算出按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后点M的位置,再根据点N的位置进行适当的变换,即可得到变换总次数.
【解答】解:
如图1,连接AC,CF,则AF=3
,
∴两次变换相当于向右移动3格,向上移动3格,
又∵MN=20
,
∴20
÷3
=
,(不是整数)
∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后,相当于向右移动了10÷2×3=15格,向上移动了10÷2×3=15格,
此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处,再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处,
∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N,最少需要跳马变换的次数是14次,
故选:
B.
【能力检测】
1.学校对学生寝室进行了整顿,并举行了文明寝室评比,结果七年级班被评为文明寝室.你看她们的牙刷、牙杯放得多整齐,你能说说她们用了数学中的什么知识?
答案:
平移
解析:
根据平移的基本性质即可判断结果。
她们用了数学中的平移知识.
2.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,将△ABC向下平移5个单位,再向左平移2个单位,则平移后C点的坐标是( ).
A.(5,-2) B.(1,-2)C.(2,-1) D.(2,-2)
答案:
B
解析:
观察图可知,点C的坐标是(3,3),所以将△ABC向下平移5个单位,再向左平移2个单位,则平移后点C的坐标是(3-2,3-5),即(1,-2).故选B.
3.将点向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,可以得到对应点_______.
答案:
(1,3
本题主要考查图形的平移及平移特征.根据向右平移,横坐标相加,向上平移,纵坐标相加,进行计算即可得解.
解:
-3+4=1,
1+2=3,
∴点A′的坐标是(1,3).
4.(2016·山东省济宁市·3分)如图,将△ABE向右平移2cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16cm,那么四边形ABFD的周长是( )
A.16cmB.18cmC.20cmD.21cm
【考点】平移的性质.
【分析】先根据平移的性质得到CF=AD=2cm,AC=DF,而AB+BC+AC=16cm,则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD,然后利用整体代入的方法计算即可
【解答】解:
∵△ABE向右平移2cm得到△DCF,
∴EF=AD=2cm,AE=DF,
∵△ABE的周长为16cm,
∴AB+BE+AE=16cm,
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD
=AB+BE+AE+EF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm.
故选C.
5.(2016·贵州安顺·3分)如图,将△PQR向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则顶点P平移后的坐标是( )
A.(﹣2,﹣4)B.(﹣2,4)C.(2,﹣3)D.(﹣1,﹣3)
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.
【解答】解:
由题意可知此题规律是(x+2,y﹣3),照此规律计算可知顶点P(﹣4,﹣1)平移后的坐标是(﹣2,﹣4).
故选A.
【点评】本题考查了图形的平移变换,平移中点的变化规律是:
横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
6.(2017湖北荆州)将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,点A(﹣1,2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上,则b的值为 4 .
【考点】F9:
一次函数图象与几何变换.
【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式,再把点A(﹣1,2)关于y轴的对称点(1,2)代入,即可求出b的值.
【解答】解:
将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,得直线y=x+b﹣3.
∵点A(﹣1,2)关于y轴的对称点是(1,2),
∴把点(1,2)代入y=x+b﹣3,得1+b﹣3=2,
解得b=4.
故答案为4.
7.(2017湖北襄阳)将抛物线y=2(x﹣4)2﹣1先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后所得抛物线的解析式为( )
A.y=2x2+1B.y=2x2﹣3C.y=2(x﹣8)2+1D.y=2(x﹣8)2﹣3
【考点】H6:
二次函数图象与几何变换.
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式.
【解答】解:
抛物线y=2(x﹣4)2﹣1先向左平移4个单位长度,得到的抛物线解析式为y=2(x﹣4+4)2﹣1,即y=2x2﹣1,再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2﹣1+2,即y=2x2+1;
故选A.
8.(2016·山东省滨州市·3分)如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(﹣3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐标是( )
A.(2,﹣3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,﹣2)
【考点】坐标与图形性质.
【专题】常规题型.
【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置,再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了.
【解答】解:
∵点A坐标为(0,a),
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上,
∵点C、D的坐标为(b,m),(c,m),
∴点C、D关于y轴对称,
∵正五边形ABCDE是轴对称图形,
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴,
∴点B、E也关于y轴对称,
∵点B的坐标为(﹣3,2),
∴点E的坐标为(3,2).
故选:
C.
9.(2017湖北荆州)如图,在矩形ABCD中,连接对角线AC、BD,将△ABC沿BC方向平移,使点B移到点C,得到△DCE.
(1)求证:
△ACD≌△EDC;
(2)请探究△BDE的形状,并说明理由.
【考点】LB:
矩形的性质;KD:
全等三角形的判定与性质;Q2:
平移的性质.
【分析】
(1)由矩形的性质得出AB=DC,AC=BD,AD=BC,∠ADC=∠ABC=90°,由平移的性质得:
DE=AC,CE=BC,∠DCE=∠ABC=90°,DC=AB,得出AD=EC,由SAS即可得出结论;
(2)由AC=BD,DE=AC,得出BD=DE即可.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,AC=BD,AD=BC,∠ADC=∠ABC=90°,
由平移的性质得:
DE=AC,CE=BC,∠DCE=∠ABC=90°,DC=AB,
∴AD=EC,
在△ACD和△EDC中,
,
∴△ACD≌△EDC(SAS);
(2)解:
△BDE是等腰三角形;理由如下:
∵AC=BD,DE=AC,
∴BD=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
10.对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A的坐标为(1,0).
(1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标.
(2)如图,点M是直线l上的一点,点A惯有点M的对称点的点B,点B关于直线l的对称轴为点C.
①若A、B、C三点不在同一条直线上,判断△ABC是否是直角三角形?
请说明理由.
②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值.
【考点】几何变换综合题.
【分析】
(1)根据平移的性质得出点A平移的坐标即可;
(2)①连接CM,根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可;
②延长BC交x轴于点E,过C点作CF⊥AE于点F,根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可.
【解答】解:
(1)∵点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),点A的坐标为(1,0),
∴点A经1次平移后得到的点的坐标为(2,2),点A经2次平移后得到的点的坐标(3,4);
(2)①连接CM,如图1:
由中心对称可知,AM=BM,
由轴对称可知:
BM=CM,
∴AM=CM=BM,
∴∠MAC=∠ACM,∠MBC=∠MCB,
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°,
∴∠ACM+∠MCB=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形;
②延长BC交x轴于点E,过C点作CF⊥AE于点F,如图2:
∵A(1,0),C(7,6),
∴AF=CF=6,
∴△ACF是等腰直角三角形,
由①得∠ACE=90°,
∴∠AEC=45°,
∴E点坐标为(13,0),
设直线BE的解析式为y=kx+b,
∵C,E点在直线上,
可得:
,
解得:
,
∴y=﹣x+13,
∵点B由点A经n次斜平移得到,
∴点B(n+1,2n),由2n=﹣n﹣1+13,
解得:
n=4,
∴B(5,8).
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