考虑T(x,n)随n减少而变化的趋势:
n从A/12开始一直减小到0(x相应地从0增加到A/M)的过程,可以分成如下3个阶段:
n>x,且n与x不在同一税率区间;n与x在同一税率区间;n这是3个前后相继的阶段,分别称为过程
(1)、过程
(2)和过程(3)。
在过程
(1)中,T(x,n)的值总是随着n的减小而减小的。
在过程
(2)中,T(x,n)的值保持不变。
在过程(3)中,如果保持x与x+△x在同一税率区间,n与n-△n在同一税率区间,则总有T(x,n)因此,从n离开过程
(2)那一刻起,只要尚未触及左边第一个税率临界点,T(x,n)的值都在增大,设这个增大量为D,—旦n
触及左边第一个税率临界点,T(x,n)=Mf(x)+g(n)中
的g(n)会有一向下的跳跃度G如果C>D则表明n当取这个税率临界点时,T(x,n)获得新的最小值。
同样,继续让n减小,T(x,n)还有可能在n取下一个更小的税率临界点时达到新的最小值。
当A,M已知时,n从A/12开始一直减小到0(x相应地从0增加到A/M)的过程称为变量推移。
这种变量推移的方法是本文解决问题的主要方法。
税率区间值保持不变可最优配置
根据条件2可以设计一个最优配置的计算方法。
当M给定时,A的值对应了一个最优配置是(x,n),由于Mx+12n=AA所对应的最优配置由n的值决定,故n可看作A的函数,记这个函数为n(A)(可能多值)。
对任意给定的A和令x和n相等得x=n=A/(12+M),记其为k。
由于A=(12+M)k,可知在给定M的条件下,k与A是
对应的,因而当M给定时,函数n(A)可转化为函数n(k)
进行讨论。
并称n(k)为最优配置函数。
于是只要对任意
1对于给定的A和M将上面所述的(k=A/(12+M))放到由税率区间构成的正实轴上,若k€(ai-1,ai),由必
要条件2可知,n(k)的值要么为ail以下的税率临界点,要么为(ai1,ai)内的某一子区间。
通过进一步的讨论可知,对任意1(ail,ai),任意k€(ail,ai),n(k)取值税率临界点的条件:
(1)设(ai1,ai)为税率区间,ajT(z0,j),这里
Mai1+12ai仁Mz0+12aj即zO=ai1+(12ai1-aj)/M。
(2)设(ai-1,ai)为任一税率区间,若当M=12时,T(ai-1,ai-1)>T(z0,aj)则当M<12时,也有T(ai1,ai1)>T(z0,aj)。
由此可知,对任意M任意区间(ai1,和任意k€(ai1,i),n(k)的值有以下3种情形:
n(k)=ai2;n(k)=ai1;n("为(ai1,i)内某一区间。
因此要对(ai1,ai)中的任意k计算n(k),就是要分别找出(ai1,ai)中使得n(k)=ai2和n(k)=ai1的点。
取E(x)=T(x,ai1)-T(z,aj)(x>ai-1,z=x+[12
(ai1,ai-2)/M],x>ai-1时E(x)是单调不减连续的,
可找到x0使得E(x0)=0。
取y1为(ail,x0)的M:
12分点。
实际计算表明,对任意1i),当且仅当k€(ail,y1)时,T(z1,ail)>T(z2,ai2)。
取t0为(ai-1,ai)的M:
12分点,则对任意k€(ail,t0),让n和x从k处出发相向方向运动(n减少,x相应增大),若仍记n运动到ail时x的位置为z1,显然有zlai因而有T(k,k)>T(z1,ai1)[实际上,T(k,k)-T(z1,i1)=ci1],从而对任意k€SQ(ail,0)(其中S={k|k€(ai1,ai),T(z1,ai1)>T(z2,ai2)})都有T(k,k)>T(z1,i1)>T(z2,i2),从而n(k)=ai2。
由于g(n)在ail右方有一个跳跃度ci1,由f(x)及g(n)的连续性,可知当k在t0的右方附近取值时仍有T
(k,k)>T(z1,ai1)。
为求出在t0右方满足这个不等式的所有k值,把k看成是区间(mai)的M:
12分点,其中t0记n从m继续向左运动到达ail时,x的位置为z1,计算使得T(ai,m>T(z1,ai1)的最大值m0。
为此,作函数n(m)=T(aim)-T(z1,ail),
不难看出n(m)当m>t0时也是单调不减连续函数,
且n(t0)=ci1>0,通过计算可知,对任意1wMK12和税率区间(ail,ai),函数n(^)在(ai-1,i)上有且仅有一个零点mQ若令y2为区间(i)的M:
12分点,贝U有T(k,k)>T(z1,ail)当且仅当k€(ail,y2)。
实际计算还表明,对任意M和(ail,ai),若y1存在,则必有y1因此,对任意1当k€(ail,y1)时,由于y1(k)的取值为一个包含k的区间时,总可以让x取ai,即让月度工资发放数尽可能取最大值,这样做显然对职工是有利的。
对任意税率区间(ai1,ai),如果T(ai1,ai1)>T
(zO,i-2),贝y1,y2都存在,称(ai-1,y1),(y1,y2)及(y2,ai)为配置优化区间。
若T(ail,ail)(zO,ai2),贝y1不存在,(ai-1,ai)上只有两个配置优化区间(ai1,2)和(y2,i)。
七个税率区间的十种操作
根据文中的方法,对任意M所对应的个人所得税的7个
税率区间逐一进行计算、归并。
当已知M和A时,只需通过查表方式找到A所对应的区间,即可找到月度工资与一次性年终奖的筹划方案。
具体筹划方案为(A的金额单位为“万
元”):
1.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(0,0.15),(0,0.3),(0,0.45),(0,0.6),(0,0.75),(0,
0.9),(0,1.05),(0,1.2),(0,1.35),(0,1.5),
(0,1.65),(0,1.8),可采取月度工资按月平均发放;不发放一次性年终奖。
2.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(0.15,1.95),(0.3,2.1),(0.45,2.25),(0.6,2.4),
(0.75,2.55),(0.9,2.7),(1.05,2.85),(1.2,
3),(1.35,3.15),(1.5,3.3),(1.65,3.45),(1.8,3.6),可采取月度工资按每月0.15万元发放;剩余部分用于发放一次性年终奖。
3.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(1.5,3.17),(2.,3.7),(2.25,4.050),(2.4,4.55),(2.5,5.205),(2.7,5.655),(2.5,6.105),(3,6.555),(3.500,7.005),(3.,7.55),(3.5,7.905),(3.6,8.55),可采取发放一次性年终奖1.;剩余部分作为月度工资,按月平均发放。
4.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(3.7,5.5),
(3.77,6.),(4.05,6.5),(4.55,7.),(5.050,
7.500),(5.55,8.),(6.05,8.5),(6.555,9),(7.05,9.5),(7.55,9.),(7.05,10.5),(8.355,
10.),可采取月度工资按每月0.5万发放;剩余部分发放一次性年终奖。
5.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(5.85,
12.5),(6.,16.65),(6.75,20.4),(7.2,23.9),(7.65,27.),(8.,30.),(8.55,34.4),(9,37.9),
(9.45,41.),(99,44.9),(10.35,48.4),(10.,
51.),可采取发放一次性年终奖5.4万元;剩余部分作为月度工资,按月平均发放。
6.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(12.5,19.25),(16.5,24.5),(20.,29.25),(23.,33.5),
(27.4,38.2),(30.9,41.),(34.4,45.),(37.9,48.7),(41.4,52.2),(44.9,55.),(48.4,59.),
(51.9,62.7),可采取发放一次性年终奖10.8万元;剩
余部分作为月度工资,按月平均发放。
7.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(19.25,
45.5),(24.5,49),(29.25,52.5),(33.75,56),(38.2,59.),(41.7,63),(45.2,66.5),(48.7,
70),(52.2,73.),(55.7,77),(59.2,80.5),
(62.7,84),可采取月度工资按每月3.5万元发放;剩余
部分发放一次性年终奖。
8.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(45.5,
62),(49,69.1667),(52.5,76.3333),(56,83.5),(59.5,90.6667),(63,97.8333),(66.5,105.250),
(70,113.25),(73.5,121.25),(77,129.25),(80.5,
137.25),(84,145.25),可采取发放一次性年终奖42万元;剩余部分作为月度工资,按月平均发放。
9.当M为1至6时,对应的A区间分别为:
(62,71.5),(69.1667),(76.3333,82.5),(83.5,88),(90.6667,
93.5),(97.8333,99),可采取月度工资按每月5.5万元发放;剩余部分发放一次性年终奖。
10.当M为1至12时,对应的A区间分别为:
(71.5,+8),(77,+8),(82.5,+8),(88,+^),(93.5,
+8),(99,+8),(105.25,+8),(113.25,+TO),
(121.25,+8)(129.25,+8)((137.25,+8)(145.25,+8)
可采取发放一次性年终奖66万元;剩余部分作为月度工资
按月平均发放。