中考数学一次函数经典例题.docx
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中考数学一次函数经典例题
中考数学
次函数典例剖析
【例】某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分:
一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例,当x=20时y=160O;当x=30时,y=2000.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)动果有50名运动员参加比赛,且全部费用由运动员分摊,那么每名运动员需要支付多少元?
[分析]设举办乒乓球比赛的费用y(元)与租用比赛场地等固定不变的费用b(元)和参加比赛的人数x(人)的函数关系式为y=kx+b(k工0).
把x=20,y=1600;x=30,y=2000代入函数关系式,求出k,b的值,进而求出y与x之间的函数关系式,当x=50时,求出y的值,再求得y宁50的值即可.
解:
(1)设yi=b,y2=kx(k工0,x>0),
y=kx+b.
又•••当x=20时,y=1600;当x=30时,y=2000,
.160020kb,.k40,
…200030kb,b800.
y与x之间的函数关系式为y=40x+800(x>0).
(2)当x=50时,y=40X50+800=2800(元).
.每名运动员需支付2800弋0=56(元〕
答:
每名运动员需支付56元.
【例】已知一次函数y=kx+b,当x=-4时,y的值为9;当x=2时,y
的值为-3.
(1)求这个函数的解析式。
(2)在直角坐标系内画出这个函数的图象.
[分析]求函数的解析式,需要两个点或两对x,y的值,把它们代入y=kx+b中,即可求出k在的值,也就求出这个函数的解析式,进而画出这个函数的图象.
解:
(1)由题意可知
94kb,,k232kb,…b1.
这个函数的解析式为x=-2x+1.
(2)列表如下:
描点、连线,如图11—26所示即为y=-2x+1的图象.
【例】如图11—27所示,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称
为指距•某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数,下表是测得的指距与身高的一组数据.
指距d/cm
20
21
22
23
身高h/cm
160
169
178
187
(1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围)
(2)某人身高为196cm,—般情况下他的指距应是多少?
[分析]设h与d之间的函数关系式是h=kd+b(k工0)
当d=20时,h=160;当d=21时,h=169.
把这两对d,h值代人h=kd+b得
16020kb,.k9,
16921kb,b20.
时,即可求出d.
解:
(1)设h与d之间的函数关系式为h=kd+b(k丰0)
由题中图表可知当d=2O时,h=160;当d=21时,h=169.
s”千亲
把它们代入函数关系式,得
16020kb,,k9,
16921kb,…b20.
•••h与d之间的函数关系式是
h=9d-20.
(2)当h=196时,有196=9d-20.
•d=24.
•••当某人的身高为196cm时,一般情
况下他的指距是24cm.
【例】汽车由重庆驶往相距400千米的成都,如果汽车的平均速度是
100千米/时,那么汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关系用图象(如图11—28所示)表示应为()
[分析]本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识,由题意可知:
汽车距成都的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式是s=400-100t,其中自变量t的取值范围是0Wt<4,所以有0Ws<400,因此这个函数图象应为一条线段,故淘汰掉D.又因为在S=400-100t中的k=-100v0,:
s随t的增大而减小,所以正确答案应该是C.
答案:
C
小结画函数图象时,要注意自变量的取值范围,尤其是对实际问题.
【例】已知函数:
(1)图象不经过第二象限;
(2)图象经过点(2,-5).
请你写出一个同时满足
(1)和
(2)的函数关系式:
.
[分析]这是一个开放性试题,答案是不惟一的,因为点(2,-5)在第四象
限,而图象又不经过第二象限,所以这个函数图象经过第一、三、四象限,只需在第一象限另外任意找到一点,就可以确定出函数的解析式•设经过第一、
34kb,
52kb,
4,•••y=4x-13.
13.
y=kx+b(kMO),另外的一点为(4,3),把这两
答案:
y=4x-13
【注意】后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析
【例】人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关•如果用a表示一个
人的年龄,用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数,另么b=0.8(220-a).
(1)正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少?
(2)—个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次,他有危险吗?
[分析]
(1)只需求出当a=16时b的值即可.
(2)求出当a=50时b的值,再用b和20X60=120(次)相比较即可.10
解:
(1)当a=16时,
b=0.8(220-16)=163.2(次).
•••正常情况下,在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数
是163.2次.
(2)当a=50时,
b=0.8(220-50)=0.8X170=136(次),表示他最大能承受每分136次.而20X60=120<136,所以他没有危险.
10
•••一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次,他没有危险.
【例】某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该
市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知
C,D两县运化肥到A,B两县的运费(元/吨)如下表所示.
目、
C县
A县
55
40
30
45
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
[分析]利用表格来分析C,D两县运到A,B两县的化肥情况如下表.
地
A#(盹吨)
(帥吨)
C具(他吨)
100-K
D1(60吨)
则总运费W(元)与x(吨)的函数关系式为
W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45[60-(100-x)]=10x+4800.
自变量x的取值范围是40Wx<90.
解:
(1)由C县运往A县的化肥为x吨,则C县运往B县的化肥为(100-x)吨.
D县运往A县的化肥为(90-x)吨,D县运往B县的化肥为(x-40)吨.
由题意可知
W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)=10x+4800.
自变量x的取值范围为40Wx<90.
二总运费W(元)与x(吨)之间的函数关系式为
w=10x+4800(40 (2)v10>0, •••W随x的增大而增大. •••当x=40时, W最小值=10X40+4800=5200(元). 运费最低时,x=40,90-x=50(吨),x-40=0(吨). •当总运费最低时,运送方案是: C县的100吨化肥40吨运往A县,60 "万弟 吨运往B县,D县的50吨化肥全部运往A县. 【例】2006年夏天,某省由于持续高温和连日无雨,水库蓄水量普遍下降,图11-29是某水库的蓄水量V(万米2)与干旱持续时间t(天)之问的关系图,请根据此图回答下列问题. (1)该水库原蓄水量为多少万米2? 持续干旱10天后.水库蓄水量为多少万米3? (2)若水库存的蓄水量小于400万米3时,将发出严重干旱警报,请问: 持续干旱多少天后,将发生严重干旱警报? (3)按此规律,持续干旱多少天时,水库将干涸? [分析]由函数图象可知,水库的蓄水量V(万米2)与干旱时间t(天)之间的函数关系为一次函数,设一次函数的解析式是V=kt+b(k,b是常数,且k工0).由图象求得这个函数解析式,进而求出本题 (1) (2)(3)问即可. 解: 设水库的蓄水量V(万米3)与干旱时间t(天)之间的函数关系式是 V=kt+b(k,b是常数,且k=0). 由图象可知,当t=10时,V=800;当t=30时,V=400. 把它们代入V=kt+b中,得 80010kb,•k20, 40030kb,b1000. •V=-20t+1000(0 (1)当t=0时,V=-20X0+1000=1000(万米2); 当t=10时,V=-20X10+1000=800(万米3). •••该水库原蓄水量为1000万米3,持续干旱10天后,水库蓄水量为800万米3. (2)当VV400时,有-20t+1000v400, •••t>30, •••当持续干旱30天后,将发生严重干旱警报. (3)当V=0时,有-20t+1000=0, •t=50, •••按此规律,持续干旱50天时,水库将干涸. 【说明】解决本题的关键是求出V与t之间的函数关系式. 【例】图11—30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程),根据图象回答下列问题. (1)当比赛开始多少分时,两人第一次相遇? (2)这次比赛全程是多少千米? (3)当比赛开始多少分时,两人第二次相遇? [分析]本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力.解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中,路程y(千米)随时间x(分)变化的函数关系式,其中: 乙的函数图象为正比例函数,而甲的函数图象则是三段线段,第一段是正比例函数,第二段和第三段是一次函数,需分别求出. 解: (1)当15 110110 =—x+.•yAB=x+. 9393 当y=6时,有6=9x+号, •x=24。 93 •••比赛开始24分时,两人第一次相遇. 1 (2)设yoD=mx,把(4,6)代入,得m=—, 4 — 当X=48时,yoD=>48=12(千米) 4 •••这次比赛全程是12千米. (3)当33Wx<43时,设yBc=k2x+b2,把(33,7)和(43,12)代入, 1 解得k2=-, 2 b2=d. 2 1 •yBC=-x- 2 19 2. 1 19 yx x 38, 解方程组得 2 2得 得 19 1 y y-x. 2 4 •x=38. •当比赛开始38分时,两人第二次相遇. 【例】如图11—31所示,已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A, B两点,直线I经过原点,与线段AB交于点。 ,把厶 AOB的面积分为2: 1的两部分,求直线I的解析式. [分析]设直线I的解析式为y=kx(k工0),因为I分厶 AOB面积比为2: 1,故分两种情况: ①SaAOC: SaBOC=2: 1;②Saaoc: Saboc=1: 2.求出C点坐标,就可以求出直线l的解析式. 解: •••直线y=x+3的图象与x,y轴交于A,B两点. •A点坐标为(-3,0),B点坐标为(0,3). 1 .•SaAOB=|OA| |OB|=1X3>3=9. 22 •|OA|=3,|OB|=3. 设直线l的解析式为y=kx(k工0) •••直线l把△AOB的面积分为2: 1,直线l与线段AB交于点C •分两种情况来讨论: ①当Saaoc: S^boc=2: 1时,设C点坐标为(XI,yi) •SaAOB= 92c =3. 23 即SaAOC= 11 =-l0A|lyi|=-X3>|yi|=3. 22 又••• SaAOB=SaAOC+SaBOC= •••yi=±2,由图示可知取yi=2. 又•••点C在直线AB上, •2=xi+3,: xi=-1. •C点坐标为(-i,2). 把C点坐标(-i,2)代人y=kx中,得 2=-i•k,•k=-2. •直线I的解析式为y=-2x. ②当SaAOC: SaBOC=i: 2时,设C点坐标为(X2,y2). 9 又vSaAOC=SaAOC+SaBOC=— SaAOB= SaAOC= i3 32、 i3 |oai|y2|=2•3•ly2l=2. •y2=±i,由图示可知取y2=i. 又v•点C在直线AB上, •i=X2+3,.・.X2=-2. 把C点坐标(-2,i)代入y=kx中,得 i=-2k,•k=-y2. •直线I的解析式为y=」x. 2 1 •直线I的解析式为y=-2x或y=-x. 2
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