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20套数学答案
实战演练·高三数学参考答案与解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷
(一)
(南京市2016~2017学年第一学期高三期初调研试卷)1.{0,1} 解析:
集合B={x|x2-x≤0}=[0,1],而A={0,1,2},A∩B={0,1}.本题主要考查交集及其运算,以及一元二次不等式的解法等知识.本题属于容易题.
2.2 解析:
z=-i=3i+4-i=4+2i,则|z|=|4+2i|==2.本题主要考查复数的除法运算,以及复数的模等知识.本题属于容易题.
3.80 解析:
时速在区间[40,60)内的汽车有200×(0.01+0.03)×10=80(辆).本题主要考查频率分布直方图的知识.本题属于容易题.
4. 解析:
π=,则ω=2,f(x)=sin,则f=sin=.本题主要考查三角函数的周期公式,以及特殊角三角函数值.本题属于容易题.
5.5 解析:
循环时S,k值依次为S=3,k=2;S=8,k=3;S=19,k=4;S=42,k=5,S=89>80,此时不再计算k,而是直接输出k=5.本题考查流程图的基础知识,关键把握每一次循环体执行情况.本题属于容易题.
6.4 解析:
由题意得c=(-2,-4+3x).因为a∥c,所以8=-4+3x,解得x=4.本题考查了向量平行的坐标运算.本题属于容易题.
7. 解析:
在四名员工中随机选两名共有6种方法,甲、乙都没被选只有1种方法,则甲、乙两人中,至少有一人被选中有5种方法,则所求的概率是.本题考查了古典概型中对立事件概率的求法.本题属于容易题.
8.1 解析:
双曲线的渐近线为y=±,要与直线y=2x+1平行,则=2,a=1.本题考查了渐近线方程以及直线平行的条件.本题属于容易题.
9.-1 解析:
由圆的半径是4,△ABC是直角三角形,则圆心C到直线AB的距离为2,即2=,解得a=-1.本题考查了直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式.本题属于容易题.
10.6 解析:
设圆锥的高为h.由题意得π·22·6=hπ·,解得h=6.本题考查了圆柱和圆锥体积公式.本题属于容易题.
11.3n-1 解析:
设公比为q,则由q>0,则q=3,a1=1,所以an=3n-1.本题考查了等比数列的通项公式.本题属于容易题.
12.[-2,8] 解析:
由x≤0,y=12x-x3,y′=12-3x2=0,x=-2,f(-2)=-16;由-2x=-16⇒x=8,则当m<-2时,f(x)>-16;当-2≤m≤8时,f(x)≥-16;当m>8时,f(x)min<-16.所以实数m的取值范围是-2≤m≤8.本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的值域,以及分类讨论思想和数形结合思想的运用.本题属于中等题.
13. 解析:
由已知BD=2,AD=1,设DC=x,∠BDC=θ,则·=2xcosθ=3.又4=4+x2-4xcosθ,可得x=,cosθ=,则在△ADC中,AC2=12+()2-2×1××=10,故AC=.本题考查了平面向量数量积定义和三角形的边角关系的运用.本题是一道综合题,根据写出数量积的定义转化为三角形的边角关系.本题属于中等题.
14. 解析:
由f(x)+g(x)=可得f(-x)+g(-x)=,即-f(x)+g(x)=,则f(x)=(2-x-2x),g(x)=(2-x+2x).由x0∈,a=-,设h(x)=-(x∈[,1]),则h(x)=-==(2x-2-x)+.x∈[,1]时,2x-2-x∈[,].设t=2x-2-x,则t∈[,],而h(x)=t+,又y=t+在[,]上递减,在[,]上递增,则y最小=+=2,y最大=+=,所以h(x)∈[2,],即a∈[2,].本题考查函数的奇偶性和单调性,考查了换元法的应用及转化与化归思想.本题属于难题.
15.解:
因为锐角α的终边与单位圆交于点A,且点A的横坐标是,
所以由任意角的三角函数的定义可知,cosα=,
从而sinα==.(2分)
因为钝角β的终边与单位圆交于点B,且点B的纵坐标是,
所以sinβ=,从而cosβ=-=-.(4分)
(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=×+×=-.(8分)
(2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×=.(11分)
因为α为锐角,β为钝角,所以α+β∈,
所以α+β=.(14分)
16.证明:
(1)如图,连结A1C.
在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.
因为N为线段AC1的中点,
所以A1C与AC1相交于点N,
即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.(2分)
因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.(4分)
又MN⊄平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.(6分)
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.(8分)
因为AD⊥DC1,DC1⊂平面BB1C1C,
CC1⊂平面BB1C1C,CC1∩DC1=C1,
所以AD⊥平面BB1C1C.(10分)
又BC⊂平面BB1C1C,所以AD⊥BC.(12分)
又由
(1)知,MN∥BC,所以MN⊥AD.(14分)
17.解:
(1)因为扇形AOC的半径为40m,∠AOC=xrad,
所以扇形AOC的面积S扇形AOC==800x,0<x<π.(2分)
在△COD中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x,
所以△COD的面积S△COD=OC·OD·sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx.(4分)
从而S=S△COD+S扇形AOC=1600sinx+800x(0<x<π).(6分)
(2)由
(1)知,S(x)=1600sinx+800x,0<x<π.
S′(x)=1600cosx+800=1600.(8分)
由S′(x)=0,解得x=.
从而当0<x<时,S′(x)>0;当<x<π时,S′(x)<0.
因此S(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.(11分)
所以当x=时,S取得最大值.
综上,当∠AOC=时,改建后的绿化区域面积S最大.(14分)
18.解:
(1)因为F1,F2为椭圆C的两焦点,且P,Q为椭圆上的点,
所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,
从而△PQF2的周长为4a.
由题意,得4a=8,解得a=2.(2分)
因为点P的坐标为,
所以+=1,解得b2=3.
所以椭圆C的方程为+=1.(5分)
(2)(解法1)因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.设Q(x1,y1).
因为P在椭圆上,
所以+=1,解得y0=,即P.(7分)
因为F1(-c,0),
所以=,=(x1+c,y1).
由=λ,得-2c=λ(x1+c),-=λy1,
解得x1=-c,y1=-,
所以Q.(11分)
因为点Q在椭圆上,所以e2+=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1.
因为λ+1≠0,
所以(λ+3)e2=λ-1,从而λ==-3.(14分)
因为e∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范围是.(16分)
(解法2)因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,
故设P(c,y0),y0>0.
因为P在椭圆上,
所以+=1,解得y0=,即P(c,).(7分)
因为F1(-c,0),故直线PF1的方程为y=(x+c).
由得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P,
设Q(x1,y1),
则x1+c=-,即-c-x1=.(11分)
因为=λ,
所以λ=====-3.(14分)
因为e∈,所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范围是.(16分)
19.解:
(1)设数列{an}的公差为d,则d>0.
由a2·a3=15,S4=16,得
解得或(舍去).
所以an=2n-1.(4分)
(2)①因为b1=a1,bn+1-bn=,
所以b1=a1=1,
bn+1-bn==
=,(6分)
即b2-b1=,
b3-b2=,
…
bn-bn-1=(n≥2),
累加得bn-b1==,(9分)
所以bn=b1+=1+=.
又b1=1也符合上式.
故bn=,n∈N*.(11分)
②假设存在正整数m,n(m≠n),使得b2,bm,bn成等差数列,
则b2+bn=2bm.
又b2=,bn==-,bm=-,
所以+=2,
即=+,
化简得2m==7-.(14分)
当n+1=3,即n=2时,m=2(舍去);
当n+1=9,即n=8时,m=3,符合题意.
所以存在正整数m=3,n=8,使得b2,bm,bn成等差数列.(16分)
20.
(1)解:
因为a=b=1,所以f(x)=x2-x+lnx,
从而f′(x)=2x-1+.
因为f
(1)=0,f′
(1)=2,故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.(3分)
(2)解:
因为b=2a+1,所以f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,
从而f′(x)=2ax-(2a+1)+==,x>0.(5分)
当a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,
所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.(7分)
当0<a<时,由f′(x)>0,得0<x<1或x>,由f′(x)<0,得1<x<,
所以f(x)在区间(0,1)和上单调递增,在区间上单调递减.
当a=时,因为f′(x)≥0(当且仅当x=1时取等号),
所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a>时,由f′(x)>0,得0<x<或x>1,由f′(x)<0,得<x<1,
所以f(x)在区间和(1,+∞)上单调递增,在区间上单调递减.(10分)
(3)证明:
(证法1)因为a=1,所以f(x)=x2-bx+lnx,从而f′(x)=(x>0).
由题意知,x1,x2是方程2x2-bx+1=0的两个根,故x1x2=.
记g(x)=2x2-bx+1,
因为b>3,所以g=<0,g
(1)=3-b<0,
所以x1∈,x2∈(1,+∞),且bxi=2x+1(i=1,2).(12分)
f(x1)-f(x2)=(x-x)-(bx1-bx2)+ln=-(x-x)+ln.
因为x1x2=,所以f(x1)-f(x2)=x--ln(2x),x2∈(1,+∞).(14分)
令t=2x∈(2,+∞),φ(t)=f(x1)-f(x2)=--lnt.
因为φ′(t)=≥0,所以φ(t)在区间(2,+∞)上单调递增,
所以φ(t)>φ
(2)=-ln2,即f(x1)-f(x2)>-ln2.(16分)
(证法2)因为a=1,所以f(x)=x2-bx+lnx,从而f′(x)=(x>0).
由题意知,x1,x2是方程2x2-bx+1=0的两个根.
记g(x)=2x2-bx+1,因为b>3,所以g=<0,g
(1)=3-b<0,
所以x1∈,x2∈(1,+∞),且f(x)在[x1,x2]上为减函数.(12分)
所以f(x1)-f(x2)>f-f
(1)=(-+ln)-(1-b)=-+-ln2.
因为b>3,故f(x1)-f(x2)>-+-ln2>-ln2.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷
(二)
(苏州市2016~2017学年第一学期高三期初调研试卷)1.{-1,0} 解析:
由N={x|-1≤x≤0},M={-1,0,1},得M∩N={-1,0}.本题主要考查交集及其运算等知识.本题属于容易题.
2.∀x>1,使得x2<2 解析:
本题主要考查特称命题的否定是全称命题.本题属于容易题.
3.2-i 解析:
设z=a+bi,由已知条件,得2a+2bi=a+2-(b+3)i,则2a=a+2,2b=-(b+3),则a=2,b=-1,则z=2-i.本题主要考查共轭复数及复数相等知识,属于容易题.
4. 解析:
4名学生A,B,C,D平均分乘两辆车,有(A+B,C+D),(A+C,B+D),(A+D,B+C),(C+D,A+B),(B+D,A+C),(B+C,A+D)共6个基本事件,A,B两人恰好乘坐在同一辆车共有(A+B,C+D),(C+D,A+B)2个基本事件,则所求事件的概率为.本题考查了古典概型的概率求法.本题属于容易题.
5.y=x+1 解析:
k=y′=e0=1,切点坐标为(0,1),则切线方程为y=x+1.本题考查了导数的几何意义.本题属于容易题.
6.30 解析:
这列数的第一项是3,第二项是6,第三项是30.本题考查流程图的基础知识,关键把握每一次循环体执行情况.本题属于容易题.
7.-1 解析:
f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,f(-1)=-f
(1)=-1,f(0)+f(-1)=0-1=-1.本题考查了函数的奇偶性和求值.本题属于容易题.
8.±2 解析:
a1,a2,a3,a4,a5的平均数为a3,而a1,a2,a3,a4,a5的方差为8,由方差公式,得4d2+d2+d2+4d2=40,d2=4,则d=±2.本题考查了等差数列通项公式和方差公式.本题属于容易题.
9.3 解析:
三棱锥AB1D1D的体积=×××2×3=3(cm3).本题主要考查三棱锥的体积公式.本题属于容易题.
10.- 解析:
由α∈,cosα=,得sinα=.又β∈,α∈,sin(α+β)=-,得cos(α+β)=-,则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-.本题主要考查和差角公式以及同角三角函数关系.本题属于中等题.
11. 解析:
方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,说明y=k(x+1)与y=f(x)的图象有两个交点,画出函数f(x)的图象,y=k(x+1)是过(-1,0)的动直线,可得k的取值范围是.本题主要考查分段函数的图象,斜率公式以及直线过定点等内容,本题属于中等题.
12.(x±1)2+=1 解析:
抛物线2y=x2,则该抛物线的准线方程为y=-.设圆心坐标为(a,b),由题意知解得则圆的半径r=1,圆的标准方程为(x±1)2+=1.本题主要考查圆的标准方程和圆的有关性质,以及抛物线的准线等内容,本题属于中等题.
13. 解析:
点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,可得作出可行域,可知点E(2,2)到可行域的最小距离为,最大距离为2,则(m-2)2+(n-2)2的取值范围是.本题主要考查平面向量在几何中的运用,以及利用线性规划求最值.本题属于中等题.
14.-2 解析:
+=+=++≥-+2=,当且仅当a=-2,b=4时等号成立.本题主要考查基本不等式的运用,以及代数式的变形,本题属于难题.
15.解:
(1)(解法1)在△ABC中,由正弦定理及bcosC+ccosB=2acosA,
得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,(3分)
即sinA=2sinAcosA,
因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=,(6分)
所以A=.(8分)
(解法2)在△ABC中,由余弦定理及bcosC+ccosB=2acosA,
得b·+c·=2a·,(3分)
所以a2=b2+c2-bc,
所以cosA==.(6分)
因为A∈(0,π),所以A=.(8分)
(2)由·=cbcosA=,得bc=2,(11分)
所以△ABC的面积为S=bcsinA=×2sin60°=.(14分)
16.证明:
(1)连结AC,因为正方形ABCD中,F是BD的中点,则F是AC的中点.
又E是PC的中点,所以在△CPA中,EF∥PA.(3分)
因为PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,
所以EF∥平面PAD.(6分)
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,
又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD.(8分)
又PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA.
因为EF∥PA,所以EF⊥CD.(10分)
又PA=PD=AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD.
又EF∥PA,所以EF⊥PD.(13分)
而CD∩PD=D,所以EF⊥平面PDC.(14分)
17.解:
(1)①由条件,点P(3,1)在椭圆+=1上,△PF1F2的面积为2,得+=1,c=2.(2分)
又a2=b2+c2,所以a2=12,b2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1.(4分)
②当∠PQF1=时,
有(6分)
所以QF1·QF2=.(8分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得4x2+6kx+3k2-12=0.(10分)
x1+x2=-,x1x2=,y1y2=.(12分)
因为以AB为直径的圆经过坐标原点,则·=x1x2+y1y2=k2-6=0,解得k=±,此时Δ=120>0,满足条件.
因此k=±.(14分)
18.解:
(1)过N作AB的垂线,垂足为F;过M作NF的垂线,垂足为G.
在Rt△BNF中,BF=16cosθ,则MG=20-16cosθ.
在Rt△MNG中,MN=.(4分)
由题意得=16,(6分)
因此,W(θ)=2a·+16a,(7分)
cosθ∈.(9分)
(2)W′(θ)=-16a+8a·
=8a·.
令W′(θ)=0,得cosθ=,设锐角θ1满足cosθ1=,θ1∈,
因为θ∈,所以θ=,(12分)
当θ∈时,W′(θ)<0,W(θ)单调递减;
当θ∈时,W′(θ)>0,W(θ)单调递增.(14分)
所以当θ=时,总造价W最小,最小值为a,此时MN=8,NG=4,NF=8,
因此当AM=4m时,能使总造价最小.(16分)
19.
(1)证明:
∵an+1=3an+2n-1,∴an+1+n+1=3(an+n).
又a1=2,∴an>0,an+n>0,故=3,
∴{an+n}是以3为首项,公比为3的等比数列.(4分)
(2)解:
由
(1)知an+n=3n,∴bn=3n-nλ.(6分)
∴Tn=31+32+…+3n-(1+2+3+…+n)λ
=(3n-1)-λ.(8分)
若T3为数列{Tn}中的最小项,则对∀n∈N*有(3n-1)-λ≥39-6λ恒成立,
即3n+1-81≥(n2+n-12)λ对∀n∈N*恒成立.(10分)
1°当n=1时,有T1≥T3⇒λ≥;
2°当n=2时,有T2≥T3⇒λ≥9;(12分)
3°当n≥4时,n2+n-12=(n+4)(n-3)>0恒成立,
∴λ≤对∀n≥4恒成立.
令f(n)=,
则f(n+1)-f(n)=>0对∀n≥4恒成立,
∴f(n)=在n≥4时为单调递增数列.
∴λ≤f(4),即λ≤.(15分)
综上,9≤λ≤,即λ的取值范围为.(16分)
20.解:
(1)f′(x)=1-,令f′(x)=0,得x=1.
当t≥1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
f(x)的最小值为f(t)=t-lnt;(1分)
当0<t<1时,f(x)在区间(t,1)上为减函数,在区间(1,t+1)上为增函数,
f(x)的最小值为f
(1)=1.
综上,当0<t<1时,m(t)=1;当t≥1时,m(t)=t-lnt.(3分)
(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,对于任意的x1,x2∈(0,+∞),不妨取x1<x2,则x1-x2<0,则由>1,可得h(x1)-h(x2)<x1-x2,
变形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.(5分)
令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,
则F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上单调递增,
故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(0,+∞)上恒成立,(7分)
∴2x+≥a+2在(0,+∞)上恒成立.
∵2x+≥2,当且仅当x=时取“=”,
∴a≤2-2,即a的取值范围为(-∞,2-2].(10分)
(3)∵f(x)≥,
∴a(x+1)≤2x2-xlnx.
∵x∈(0,1],∴x+1∈(1,2],
∴存在x∈(0,1],使得a≤成立.
令t(x)=,则t′(x)=.(12分)
令y=2x2+3x-lnx-1,则由y′==0可得x=或x=-1(舍).
当x∈时y′<0,则y=2x2+3x-lnx-1在上单调递减;
当x∈时y′>0,则y=2x2+3x-lnx-1在上单调递增.
∴y>ln4->0,
∴t′(x)>0在x∈(0,1]上恒成立.
∴t(x)在(0,1]上单调递增.
∴a≤t
(1),即a≤1.(15分)
∴实数a的最大值为1.(16分)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)
(苏州市2016~2017学年第一学期高三期中调研试卷)1.{x|0≤x≤1} 解析:
由A={x|0≤x≤2},B={x|-1<x≤1},则A∩B={x|0≤x≤1}.本题主要考查交集及其运算等知识.本题属于容易题.
2.∀x∈R,x2+ax+1≥0 解析:
本题主要考查利用特称命题的否定是全称命题.本题属于容易题.
3.(-2,1] 解析:
由≥0,得-2<x≤1,所以函数的定义域为(-2,1].本题主要考查函数的定义域求法,以及不等式的解法.本题属于容易题.
4.2 解析:
由题知y′=1+sinx,x=时,y′=1+sin=2,即切线斜率为2.本题主要考查导数的几何意义.本题属于容易题.
5.7 解析:
tan===7.本题主要考查两角和与差的正切公式.本题属于容易题.
6.9 解析:
由an>0,且a1a9=4,则a=a1a9=4,得a5=2.log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1a2…a9)=log2a=9log2a5=9log22=9.本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的性质以及对数的运算性质.本题属于容易题.
7.-2 解析:
f=f=-f=-8=-2.本题主要考查函数奇偶性和周期性.本题属于容易题.
8. 解析:
由正弦定理,得c=3b,代入a2-b2=2bc,得a2-b2=6b2,即a=b,代入余弦定理公式,得cosA=,则A=60°.本题主要考查正弦定理和余弦定理.本题属于容易题.
9. 解析:
函数g(x)=f(x)-m有三个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点,作出函数y=f(x)的图象和直线y=m,有三个交点,则必有-<m≤0.本题主要考查函数与零点的关系及将函数转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合进行求解.本题属于中等题.
10.2 解析:
y=tanθ+=tanθ+=tanθ+≥2,当且仅当θ=时,函数y的最小值为2.本题主要考查二倍角公式,基本不等式.本题属于中等题.
11.3 解析:
平移后得g(x)=sin=sin.由题意-=2kπ,k∈Z,得ω=-3k(k∈Z且k<0),则ω的最小值为3.本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.本题属于中等题.
12. 解析:
由an+1=an(1-an+1),得-=1,所以得到数列是以1为首项,1为公差的等差数列,得=1+(n-1)=n,则an=,bn=anan+1==-,则S10=b1+b2+…+b10=1-
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