高等数学课后习题答案第六章.docx
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高等数学课后习题答案第六章
1求图621中各画斜线部分的面积
⑴
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[01]所求的面积为
心(頁7加=[|■肩-|^2Jo=|-
解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[01]所求的面积为解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[le]所求的面积为
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[31]所求的面积为
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[13]所求的面积为
2.求由下列各曲线所围成的图形的面积
(1)尸卜二与2应俩部分都要计算)
解
⑵尸丄与直线yx及x2X
解
所求的面积为(3)yexyex与直线xl
解
所求的面积为
(4)y=lnx,y轴与直线y=\na,y=\nb(b>a>0).
解
Imo
V
尸Lnb
/
O
/'
X
所求的面积为
3求抛物线yx24x3及其在点(03)和(30)处的切线所围成的图形的面积解
y2x4
过点(0,3)处的切线的斜率为4切线方程为y4(x3)
过点(3,0)处的切线的斜率为2切线方程为y2x6
两切线的交点为(务3)所求的面积为
4求抛物线y2=2px及其在点(£,/;)处的法线所围成的图形的面积
解
2yy2p
在点(牛P)处碍刃=1法线的斜率kl
法线的方程为y-/;=-(A-|)即x=^-y求得法线与抛物线的两个交点为(殳p)和法线与抛物线所围成的图形的面积为
5求由下列各曲线所围成的图形的面积
(l)2acos
解
所求的面积为
A=*焉(2acos0)2d0=4a2^cos2Odea2
(2)xacos3t,yasin3t;解
所求的面积为
(3)=2a(2+cos)
解
6求由摆线xa(rsin/jya(:
lcosr)的一拱(0⑵与横轴所围成的图形的面积
所求的面积为
7求对数螺线ae()及射线所围成的图形面积解
所求的面积为
8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积
(l)3cos及lcos
解
曲线3cos与lcos交点的极坐标为B©,-彳)由对称性所求的面积为
(2)p=dsin8及p2=cos2&解
形的面积
解设直线ykx与曲线ye*相切于A(xoyo)点则有
因此抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
11把抛物线y24ax及直线xxo(xoO)所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体
的体积
解所得旋转体的体积为
12由yx3x2y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转
算所得两个旋转体的体积
解绕x轴旋转所得旋转体的体积为
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
13把星形线Q3+)S=和3所围成的图形绕X轴旋转计算
得旋转体的体积
解由对称性所求旋转体的体积为
14用积分方法证明图中球缺的体积为
证明衣(曲)工龙L(疋一)')心
15求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋
所产生的旋转体的体积(l)y=x2x=y2绕y轴解—心dy_〃[(y2)2d尸碍护*侃=詁⑵y=ach兰xOxayO绕x轴
a
解V=]©2(x)必=兀[<72ch2—dx®
(3)疋+(y—5尸二16绕x轴
解V=打F+龙JF-a/IS-x2)2^
体
18计算底面是半径为/?
的圆而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是
条
值
19证明由平面图形OaxbOyf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
证明如图在X处取一宽为dx的小曲边梯形小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋
转体的体积近似为2xf(x)dx这就是体积元素即
dV2xf(x)dx
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
20利用题19和结论计算曲线ysinx(Ox)和x轴所
成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积
解V=2叮xsiiixdx=-27T^xdcosx=27r(-xcosx+sin=2龙?
21计算曲线ylnx上相应于y/3 解T;卜(护*<-^dx 令Jl+护=/•即x=y]t2~i则 V 戶¥(37 0 1 3、x 段弧 22计算曲线y=#(3-x)上相应于1x3的一 的长度 ^y=4x-^x4x所求弧长为 23计算半立方抛物线心|(_1尸被抛物线心专截得的一段弧的长度y2=|(x-l)3r 解由彳3得两曲线的交点的坐标为(2,芈)(2,- Z3 所求弧长为s=2(^/1+y2dx因为 所以 24计算抛物线y22px从顶点到这曲线上的一点M(xy)的弧长 25计算星形线x=acos3t尸dsinh的全长 解用参数方程的弧长公式 26将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直使细线 圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐线它的方程为计算这曲线上相应于t从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式 27在摆线xa(tsint)ya(lcost)上求分摆线第一拱成13的点的坐标 解设r从o变化到to时摆线第一拱上对应的弧长为s(r。 )则 当to2时得第一拱弧长5 (2)80为求分摆线第一拱为13的点为&(xy)令 解得4=乎因而分点的坐标为纵坐标y=a(l—cos¥)=^d 故所求分点的坐标为((乎-¥加,詁) 28求对数螺线相应于自0到的一段弧长 解用极坐标的弧长公式 29求曲线1相应于自&导至&諾的一段弧长 43 解按极坐标公式可得所求的弧长 30求心形线a(lcos的全长 解用极坐标的弧长公式 习题63 1由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F(单位N)与伸长量s(单位cm减正比即Fks(k为比例常数)如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所作的功解将弹簧一端固定于&另一端在自由长度时的点O为坐标原点建立坐标系功元素为dWksds所求功为 心/s=£tQ(=i8k(牛厘米) 2直径为20cm>高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽设温度保 持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功? 解由玻马定律知 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变高度减小x厘米时压强为P(x)牛/厘米 2则 功元素为dW=(兀•1 所求功为 C(71•102)•80000^f40—=800^-1112(J) 3 (1)证明把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 其中g是地面上的重力加速度R是地球的半径 (2)—颗人造地球卫星的质量为173kg在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630的高空处克服地球引力要作多少功? 已知g98m/s2地球半径/? 6370km 证明⑴取地球中心为坐标原点把质量为m的物体升高的功元素为 所求的功为 (2)W=6.67x107・173x>98x10Ax630x103=9.75xl()5(kJ) ')6370x103(6370+630)x103') 4一物体按规律x=c户作直线运动媒质的阻力与速度的平方成正比计算物 体由x0移至xa时克服媒质阻力所作的功 解因为2C户所以 v=y(r)=3cx2|®^J/二一kv2=-9^c2Z4而t=(―)y所以 C 功元素dWfgdx所求之功为 5用铁锤将一铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比在击第一次时将铁钉击入木板lcm如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等问锤击第二次时铁钉又击入多少? 解设锤击第二次时铁钉又击入hem因木板对铁钉的阻力/与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比即fkx功元素dWfdxkxdx 击第一次作功为 击第二次作功为因为函=吒所以有 解得/? =V2-l(cm) 6设一锥形贮水池深15m口径20m盛满水今以唧筒将水吸尽问要作多少 功? 解在水深x处水平截面半径为r=10-|x功元素为 所求功为 1875(吨米)57785.7(kJ) 7有一闸门它的形状和尺寸如图水面超过门顶2m求闸门上所受的水压力 解建立x轴方向向下原点在水面 水压力元素为 闸门上所受的水压力为 尸=2『;^*界|;=21(吨)二205&kN) 8洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体尺寸如图 水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力 解建立坐标系如图则椭圆的方程为 压力元素为所求压力为 =肿2加=劭(吨)17・3(kN)(提示积分中所作的变换为= 9有一等腰梯形闸门它的两条底边各长10m和6m高为20m较长的底边与 水面相齐计算闸门的一侧所受的水压力解建立坐标系如图直线AB的方程为 压力元素为 所求压力为 「20| P=\r(10—Zx)dx=1467(吨)1438&千牛)10—底为8cm、高为6cm的等腰三角形片铅直地沉没在水中顶在上底在下 且与水面平行而顶离水面3cm试求它每面所受的压力 解建立坐标系如图 腰&C的方程为y=|x压力元素为 所求压力为 心+3)d*扌(护+|但=168(克)件) 11设有一长度为/、线密度为的均匀细直棒在与棒的一端垂直距离为a单 位处有一质量为m的质点M试求这细棒对质点M的引力解建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy引力元素为〃在x轴方向和y轴方向上的分力分别为 12设有一半径为/? 、中心角为的圆弧形细棒度为常数在圆心处有一质量为m的质点F试棒对质点M的引力 解根据对称性Fy0 引力的大小为经如譬方向自M点起指向 K2 中占 I八、、 总习题六 1一金属棒长3m离棒左端xm处的线密度为诒 (kg/m)问x为何值时[Ox]—段的质量为全棒质量的一半 解X应满足『命加弍命/ 因为Jo靑^力=[2皿囲=2佑^-2*Jo船fd心*[2皿1]祐1 所以2府)—2=1 兀今(m) 2求由曲线asina(cossin)(a>0)所围图形公共部分的面积 11广3/r 解S=£•龙(耳)2+^f4,(cos。 +sill0)2d0 2ZZ 3设抛物线y=ax2+bx+c通过点(00)且当 时y0试确定a、b、c的值使得抛物线 y=ax2^bx+c与直线xlyO所围图形的面积 a \y 尸q(cos外sinQ /7 、/\ ( Ap=as\xW Vs 心丿一 o ax x[01] 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小 解因为抛物线尸曲+加+c通过点(00)所以c0从而 抛物线y^+bx与直线xlyO所围图形的面积为 令禹得齐 该图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积为 令乎=空+导罟+挣_翊“得心|于是坨 4求由曲线)=辽与直线x4x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积 解所求旋转体的体积为 5求圆盘(x-2)2+y2 解”=2・2龙[x-yjl-(x-2)2dx 6抛物线y=^x2被圆疋+护=3所需截下的有限部分的弧长 fx2+y2=3 解由Q1,解得抛物线与圆的两个交点为(-V2,1)(V2,1)于是所求的弧 长为 7半径为r的球沉入水中球的上部与水面相切球的比重与水相同现将球从水中取出需作多少功 解建立坐标系如图将球从水中取出时球的各点上升的高度均为"在x处取一厚度为dx的薄片在将球从水中取出的过程中薄片在水下上升的高度为厂x在水上上升的高度为rx在水下对薄片所做的功为零在水上对薄片所做的功为 对球所做的功为 8边长为a和b的矩形薄板与液面成角斜沉于液体内长边平行于液面而位于深h处设a>b液体的比重为试求薄板每面所受的压力 解在水面上建立x轴使长边与x轴在同一垂面上长边的上端点与原点对应 a 长边在x轴上的投影区间为[Obcos]在x处x轴到薄板的距离为hxtan压力元素为 薄板各面所受到的压力为 9设星形线x=acos3ty=as^t±每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方在原点0处有一单位质点求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力 解取弧微分ds为质点则其质量为 其中ds=J[(ocos卄)丫+[(asin3f)'Fdf=3asintcostdt 设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、&则有 所以F=(? Gd2上G,)
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- 高等数学 课后 习题 答案 第六
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