高中数学选修23导学案 组合包含3个课时.docx
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高中数学选修23导学案组合包含3个课时
组合(第1课时)
【教学目标】
1.理解组合意义;能判断一个问题是组合问题还是排列问题;
2.明确排列与组合的区别和联系,了解组合数Cnm的意义,理解排列数Anm和组合数Cnm的联系.会用组合数公式进行计算或求值.
【问题情境】
问题1:
从甲、乙、丙三人中选出两人分别担任班长和副班长,共有多少种选法?
2:
从甲、乙、丙三人中选出两人作为学生代表,共有多少种选法?
思考:
两个问题有什么联系和区别?
定义:
①一般地,从,叫做从n个元素中取出m个元素的一个;
②从n个不同的元素中取出m个(m≤n)个元素的所有,叫做组合数;记作.
问题3:
从a、b、c、d四个元素中任选三个元素,填表:
(1)试写出所有选出的三个元素的组合;
(2)写出所有选出的三个元素的排列.
所有组合
所有排列
思考:
(1)
与
在数量上有什么关系?
(2)分析选出的三个元素的组合与排列有什么关系?
推广到一般情形,
与
有什么关系?
【合作探究】
一般地,从n个不同元素中取出m个元素的排列数
,可以分为两步:
第一步:
;
第二步:
;
根据分步计数原理,
,因此可以可到组合数公式:
==.
【展示点拨】
例1.指出下列问题是排列问题还是组合问题?
为什么?
(1)从甲乙丙丁四个旅游景点选出三个去游览,有多少种选法?
(2)从26个英文字母中选出10个按照字母顺序排成一排,有多少种选法?
(3)从5人中选出两人去参加两个会议有多少种选法?
(4)10人见面,每两人握一次手,共握手多少次?
(5)空间5个点(任意3点不共线),最多能构成多少个平面?
例2.利用组合数公式计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
例3.
(1)若
,求n.
(2)若
,求不等式的解集.
例4.
(1)凸五边形有多少条对角线?
(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线?
【学以致用】
1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?
(1)从正方体的顶点中任选2个作直线,能作多少条直线?
(2)从集合{2,3,4,5,6}中任选两个数分别作为logab的底数和真数,有多少种选法?
(3)从集合{2,3,4,5,6}中任选两个数分别作为a,b的值计算
,有多少种结果?
2.以一个正方体顶点为顶点的四面体共有个.
3.集合{0,1,2,3,4}共有子集.
4.
(1)平面内有10个点,以其中2个点为端点的线段共有条;
(2)平面内有10个点,以其中2个点为端点的有向线段共有条.
5.
(1)解方程:
;
(2)
.
组合(第1课时练习)
【基础训练】
1.在10名学生中选出3名学生参加数学竞赛,不同的选法有种.
2.有下列问题:
①在北京、上海、南京3个民航站之间的直达航线,共有多少种不同的飞机票?
②3名同学相聚后,每2人握1次手,一共握手多少次?
③学校图书馆有10本不同的数学竞赛参考书,任取4本借给甲同学,共有多少种不同的取法?
④高二
(1)班的45名同学,在春节时互相通电话问候1次,他们之间一共通话多少次?
其中属于组合问题的是_____(填序号).
3.在10名女生和15名男生中,选2名性别相同的学生参加一个活动,不同的选法有____种.
4.有下列式子:
①
②
③
④
其中一定成立的是.
5.设集合
如果
,且
中有3个元素,那么满足条件的集合
共有_______个.
6.已知甲、乙两组各有8人,现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛,比赛人员的组成共有种可能.
【思考应用】
7.现有4名男生和5名女生,从中选出5名代表,要求男生不少于3名,共有多少种不同的选法?
8.已知
成等差数列,求
的值.
9.解下列方程或不等式:
(1)
(2)
10.正方体六个表面的中心所确定的直线中,异面直线共有多少对?
【拓展提升】
11.6本不同的书分给甲、乙、丙3位同学.
(1)若甲、乙、丙每人各得2本,则有多少种不同的分法?
(2)若甲得1本,乙得2本,丙得3本,则有多少种不同的分法?
12.某餐厅供应饭菜,每位顾客可在餐厅提供的菜肴中任意选择2荤2素共4种不同的品种,现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还要准备多少种不同的素菜?
组合(第2课时)
【教学目标】
1.理解并掌握组合数的两个重要性质;会用组合数公式及其性质进行计算、求值;
2.能运用组合知识分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
【问题情境】
1.排列、排列数,组合、组合数的概念.
2.排列数公式;组合数公式:
3
(1)从a,b,c,d,e五个元素中取出三个元素,共有多少种不同的取法?
(2)从a,b,c,d,e五个元素中取出两个元素,共有多少种不同的取法?
(3)以上两种取法的种数相等吗?
(4)由以上练习得出组合数的性质:
4.一个口袋里有大小相同的7个白球(有不同的编号)和1个黑球.
(1)从口袋里取出3个球,共有多少种不同的取法?
(2)从口袋里取出3个球,使其中含一个黑球,共有多少种不同的取法?
(3)从口袋里取出3个球,使其中不含黑球,共有多少种不同的取法?
(4)以上3个组合数有什么关系?
你能由此得出什么结论?
组合数的两个重要性质:
______________________________________________________________________【合作探究】
例1.1)满足方程
的t=_______;2)满足方程
的x=_________
3)
=________;4)
=________;
5)
=_______;6)
=________;
7)
=________.
例2.在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需要从5个试题中任意选答3题,问:
(1)有几种不同的选题方法?
(2)若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法?
(3)若其中有一题不选,有几种不同的选题方法?
例3.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件,问:
(1)共有多少种不同的抽取方法?
(2)抽出的3件产品中恰有一件是不合格品的抽法有多少种?
(3)抽取的3件产品中至少有一件是不合格品的抽法有多少种?
思考:
抽取的3件产品中至多有一件是不合格品的抽法有多少种?
例4.a,b,c,d,e,f共6人排成一排,其中a必须排在b的右边(不一定相邻),c必须排在d的左边(不一定相邻),不同的排法共有多少种?
【学以致用】
1.1)
=________________;
=________________;
2)若
,则n=________________,
=________________
2.有不同的语文书7本,不同的数学书5本,不同的英语书3本,
(1)从中选出不同种类的书2本,共有多少种不同的选法?
(2)从中选出相同种类的书2本,共有多少种不同的选法?
3.从12人中选5人参加数学竞赛,按下列要求,有多少种不同的选法?
(1)A、B、C三人必须入选.
(2)A、B、C三人不能入选.
(3)A、B、C三人只能一人入选.
(4)A、B、C三人至少一人入选.
(5)A、B、C三人至多一人入选.
4.设集合
B是A的三元子集,且至少有两个元素是偶数,这样的集合B共有多少个?
5.由1,1,1,2,2,3,3,4这八个数字卡片能组成多少个不同的八位数?
组合(第2课时练习)
【基础训练】
1.某科技小组有6名同学,现从中选出3人,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为________.
2.若
则
________.
3.若
则
________.
4.从2,3,5,7中任取两个数,一个作为分母,另一个作为分子,能得到分数_____个,能得到真分数_____个.
5.从0,1,2,3,5,7中,每次取出3个数,有_____种不同的取法;每次取出3个数相乘,可以得到_____个不同的积.
6.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有_____种.
【思考应用】
7.在5,6,7,8,…,99这些自然数中,每次取两个不同的数相乘,使其积为7的倍数,这样的取法有多少种?
8.若四面体的一个顶点为A,从其余顶点和各棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面内,则不同的取法有多少种?
9.4个互不相同的红球和6个互不相同的白球放入袋中,现从袋中取出4个球,取出1个红球记2分,取出1个白球记1分.若取出4个球的总分不低于5分,则有多少种不同的取法?
10.在11名工人中,有5人只能当钳工,4人只能当车工,另外2人既能当钳工又能当车工.现在从11人中选出4人当车工,4人当钳工,有多少种不同的选法?
【拓展提升】
11.公路上有编号为1,2,3,…,8,9的9只路灯,为了节约用电,可以把其中的3只关掉,但不能关掉相邻的2只,也不能关掉两端的路灯,那么有多少种不同的关灯方法?
12.有编号为1,2,3,4的4张不同的卡片,按照下列方案处理,各有多少种不同的方法?
(1)甲得2张,乙得2张;
(2)平均分成2堆,每堆2张.
组合(第3课时)
【教学目标】
1.理解并掌握组合数的两个重要性质;会用组合数公式及其性质进行计算、求值;
2.能运用组合知识分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
【问题情境】
1.排列、排列数,组合、组合数的概念
2.排列数公式;组合数公式:
组合数的两个重要性质:
____________________________________________________________________________
3.求的值.
4.求
的值.
【合作探究】
例1.高二
(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,男、女生各选出一个班长,今从中选出3名同学参加活动,
(1)其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?
(2)其中某一女生不能在内,不同的取法有多少种?
(3)恰有2名女生在内,不同的取法有多少种?
(4)至少有2名女生在内,不同的取法有多少种?
(5)至多有2名女生在内,不同的取法有多少种?
(6)既要有班长又要有女生当选,有多少种选法?
例2.房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,至少开一个灯用以照明,有多少种不同的方法?
例3.11名工人中,有5人只会排版,4人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从这11人中选出4人排版,4人印刷,有几种不同的选法?
例4.
(1)∠A除顶点外,一边上有2个点,另一边上有5个点,连同顶点在内共8个点,问它们可以连成多少个三角形?
(2)某城市街道如图,某人要用最短路程从A地前往B地,则不同的走法有多少种?
A
B
【学以致用】
1.以一个三棱柱的顶点为顶点的四面体共有个.
2.将5辆不同的汽车分给2个单位,但不能全部分给同一个单位,则不同的分配方案有种.
3.从6双颜色不同的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有种.
4.现有6支代表队参加知识竞赛,每队2人,最终有4人获奖,且这4人来自3支不同的代表队,则不同的获奖情况种数为.
5.在10人组成的篮球队中,有5人只适于打锋,3人只适于打卫,2人打锋打卫均可,现要选5人参加比赛(3锋2卫),问教练共有多少种不同阵容的安排方法?
(仅以锋、卫区分)
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