直线和圆的方程复习讲义.docx

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直线和圆的方程复习讲义

第七章:

直线和圆的方程

上高二中:

喻国标

7.1:

直线方程

知识要点：

1.直线的倾斜直角和斜率：

（1）倾斜角：

一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫直线的倾斜角•范围

为0,

（2）斜率:

不等于的倾斜角的正切值叫直线的斜率，即k=tana（a^90°）.

y2y1

（3）过两点P1（x1.y1）、P2（x2.y2）（x1丰x2）的直线的斜率公式为k=tana=21

x2x-i

2.直线方程的五种表示形式：

（1）

（2）

斜截式：

点斜式：

y=kx+b;y-y0=k（x-x0）;

（3）

两点式：

yy1x为

y2y1x捲

（4）

截距式：

仝y1

ab

（5）

一般式：

Ax+By+C=0

3.有斜率的两条直线的平行期、垂直的充要条件：

若L1:

y=k1x+b1L2:

y=k2x+b2贝:

（1）L1//L2k1=k2且b1丰b2；

（2）L1丄L2k1xk2=-1

4.两条直线所成的角的概念与夹角公式

两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线L1、L2

的斜率分别是k1、k2,L1和L2所成的角是，且900则有夹角公式：

tan=_险

1k）k2

5.点到直线的距离公式：

点P（x0.y0）到直线Ax+By+C=0（A、B不同时为零）的距离

脑By。

C

=.A2B2

注意：

（1）注意斜率和倾斜角的区别：

每条直线都有倾斜角，倾斜角的范围是001800,

但并不是每条直线都有斜角。

（2）两个条件确定一条直线，通常利用直线的倾斜角、斜率或点等的条件来确定，倾斜角

确定方向，点确定位置。

（3）使用直线方程时，要注意限制条件。

如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距

式的使用条件为两截距都存在且不为零；两点式的使用条件为直线不与x轴垂直，也不与y轴

垂直.

（4）判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形

在两条直线L1、L2斜率都存在，且均不重合的条件下，才有L1//L2k1=k2与

L1L2k1k2=-1.

（5）求两条直线相交所成的角，一定要分清是夹角还是从L1到L2或L2到L1的角。

（6）在运用公式d=C—C2求平行直线间的距离时，一定要把x.y项系数化成相等的系

Ja2B2

数。

题型1直线的倾斜角与斜率

1.（2004.湖南）设直线ax+by+c=O的倾斜角为a,且sin+cos=0,则a,b满足（）

A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0

2.（2001.上海春）若直线x=1的倾斜角为，则（）

A.等于0B.等于C.等于D.不存在

3.（2004.北京春季）直线x-.3y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是。

4.（2004.启东）直线经过点A（2.1）,B（1,m2）两点（mR）,那么直线L的倾斜角取值

范围是（）

A.0,B0,U,.C0,.D,U,.

424422

5.（2004.上海）函数y=asinx+bcosx的一条对称轴方程是x=,那么直线ax+by-c=0的倾斜

4

角为。

题型2直线方程

6.（2001.新课程）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且PA=PB，若直线PA的方程为x-y+仁0,则直线PB的方程是（）

A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D2x+y-7=0

7.（2003.河南）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）

D

8.（2002.全国）已知点P到两个定点M（-1,0）、N（1,0）距离的比为&，点N到直线PM的

距离为1，求直线PN的方程。

9.（2004•陕西）直线L绕它与x轴的交点逆时针旋转一，得到直L1:

3x+y-3=0,则直线L

4

的方程为（）

A.2x-y-2=0B.x+2y-仁0C.2x-y+2=0D.x-2y+1=0

10.（2005•江苏）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA=PB，若直线PA的方程

为x-y+仁0,则直线PB的方程是（）

A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.2x+y-7=0

11.（2005.海淀）如果直线ax+by+1=0平行于x轴，则有（）

A.a丰0,bz0B.a=0,b=0C.a丰0,b=0D.a=0,b丰0

题型3两直线的位置关系

12.（2004.全国）已知点A（1,2）、B（3,1）,则线段AB的垂直平分线的方程是（）

A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

13.（2001.上海）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的（）

A.充分非和要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.（1998.上海）设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线sinA.x+ay+c=0

与bx-xinB.y+sinC=0的位置关系是（）

A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直

15.（2005.全国）已知过点A（-2,m）和B（m,4）的直线与直线2x+y-仁0平行，则m的值为（）

A.0

B.-8

C.2

D.10

16.（2004.海滨）已知直线

a的值为（）

L1:

（a+1）

x+y-2=0与直线

L2:

ax+（2a+2）y+1=0互相垂直，则实数

A.-1或2

B.-1

或-2

C.1或2

D.1或-2

17.（2004.黄冈）已知P1（x1.y1）是直线L:

f（x.y）=0上的一点，P2（x2.y2）是直线L外的一点，由方程f（x.y）+f（x1.y1）+f（x2.y2）=0表示的直线与直线L的位置关系是（）

A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.互相斜交

18.（2005.河北）过点P（4,a）和M（5,b）的直线与直线y=x-m平行，贝ZPMI2的值为（）

A.2B.3C.6D.1

19.（2005.海淀）ABC中，a,b,c是内角A,B,C的对边，且lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，则下列两条直线L1:

（sin2A）x+（sinA）y-a=0,L2（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置关系是（）

A.重合B.相交（不垂直）C.垂直D.平行

题型4直线与直线所成的角

20.（2004浙江）直线y=2与直线x+y-2=0的夹角是（）

3

A.B.C.D.

4324

21（2000.天津、江西）已知两条直线L1:

y=x,L2:

ax-y=0，其中a为实数，当这两条直线的

夹角在（0,）内变动时,

12

a的取值范围是（）

A.（0,1）

C.9U1,3

D.1^3

22.（2005.天津）某人在一P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图32-1所示，塔高BC=80

（米），图中所示的L且点P在直线L上，L与水平地面的夹角为a，tana=，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）？

23.（2005.潍坊市）直线L1:

y=；3x+1与直线L2:

y=2的夹角是（）

A.15°B.30°C.60°D.120°

24.（2005.唐山市）过坐标原点且与点（3，1）的距离都等于1的两条直线的夹角为（）

A.90°B.45°C.30°D.60°

题型5点到直线的距离

25.（2005•浙江）点（1，

-1）到直线x-y+1=0的距离是（

A.1/2

B.3/2

D.

3_|

2

26.（2004.全国）在坐标平面内，与点

A（1，2）距离为1,且与点B（3，1）距离为2的

直线共有（）

A.1条

B.2条C.3条D.4条

27.（2003.全国）已知点（

a,2）（a>0）到直线

L:

x-y+3=0的距离为

1,则a等于（）

B.2八2

C.、、2-1

D2+1.

28.

2个单位后得到直线

（2004.海淀）将直线L:

x+2y-仁0向左平移3个单位，再向上平移L1，则直线L与L1之间的距离为（）

A.-

B.

C.1/5

D7/5

5

5

29.（2004黄冈）点（sin.cos）到直线xcos+ysin+仁0的距离小于1/2，贝U的取值范围

A.

2k

5

6

2k

6

（k

Z）

C.

2k

2

3

2k

3

（k

Z）

30.（2004•海淀）在平面直角坐标系内，将直线

B•k—,k,（kZ）

1212

D•k-,k,（kZ）

36

L向左平移3个单位，再向上平移2个单位

后，得到直线L，L与L间的距离为,.13，则直线L的倾斜角为（）

2

A.arctan—

3

3

B.arctan—

2

2

C.arctan

3

3

D.arctan

2

题型6.对称冋题

31.（2004.安徽）已知直线L:

x-y-1=0,L1:

2x-y-2=0,若直线L2与直线L1关于L对称，则L2的方程是（）

A.X-2Y+1=0,B.X-2Y-仁0,C.X+Y-仁0,D.X+2Y-仁0

32.（2003.新课程）已知长方形的四个顶点A（0,0）,B.（2.0）.C.（2,1）和D.（0,1）,—质点从AB的

中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（X4,0）,若（1

1122122

A.,1B.,C.,D.,-

3335253

33.（2005.长春）直线L1的方程为Y=-2X+1,直线L2与直线L1关于直线Y=X对称,则直线L2经过点（）

A.（-1,3）B.（1,-3）C.（3,-1）D.（—3,1）

34.（2005.青岛市）.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0,2）

与点B（4,0）重合，若此时点C（7,3）与点D（M,N）重合，则M+N的值是—

题型7:

直线方程的综合问题

35

.（2004.

全国）已知平面上直线L的方向向量

e=（—4/5

uuuuu

3/5），点O（0,

0）

和A（1,—

2）在L上的射影分别是O/和A，

，则O'A'

e,其中

=（）

A.

11/5,

B.—11/5,C.2,

D.—2

36

.（2004

.湖北）已知点M1（6,2）和点M2

（1,7）

，直线Y=MX—7与

线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3:

2,

则M的值为（

）

A.

—3/2,

B.—2/3,C.1/4,

D.4

37.（2003.北京）在直角坐标系XOY中，已知三角形ABC三边所在直线的方程分别为X=0,Y=0,2X+3Y=30，则三角形AOB内部和边上整点（即横，纵坐标均为整数）的总数是（）

A.95,B.91,C.88,D.75

38.（2002.上海）设曲线Cl和C2的方程分别为Fl（X,Y）=0,F2（X,Y）=0,则点P（a,b）C1IC2的一个充分条件为

39.（2004.东城）直线L与直线Y=l,X-Y-7=0,分别交于P,Q两点，

线段PQ的中点为（l,—l），则直线L的斜率为（）

A.3/2,B.2/3,C.—2/3,D.—3/2

40.（2004.天津）已知下列曲线：

xy0,按曲线

（1）,

（2）,（3）,（4）的顺序，依次与之对应的方程的编号是（）

A.③②①④B.,④②①③C.②④①③D.①②③④

7.2:

简单的线性规划.

知识要点：

一:

二元一次不等式表示平面区域

1.设直线L为;AX+BY+C=0,则AX+BY+C>0表示L某一侧的平面区域，AX+BY+C=0表示包括边界的平面区域.

2.若点P（X0,Y0）与点P（X1,Y1）在L:

AX+BY+C=0的同侧,则AX0+BY0+C与AX1+BY1+C

同号._

3.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所

表示的平面区域的公共部分.

二:

线性规划

1.对变量X,Y的约束条件若都是关于X,Y的一次不等式，则称为线性约束条件;Z=F（X,Y）

是欲达到最大值或最小值所涉及的变量X,Y的一次解析式，叫做线性目标函数.

2.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足

线性约束条件的解（X,Y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域，使目标函数取

得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解.

题型1:

二兀一次不等式（组）表示平面区域

1.（2005•浙江）设集合A={（X,Y）IX,Y,1-X-Y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（）

YYYY

i

X

\

i

.\

卜

1/2

■

7\

\

O

1/2

）\X<

X

O

\X

C.

D

2.（2005.全国）在坐标平面上，不等式组一丫>X-1,所表示的平面区域的面积为（）

Y<-31XI+1

3.（2005.江苏）已知X,Y,为整数，则满足-X-Y>0的点（X,Y）的个数为（）

X+Y<5

-Y>0

A.9B.10C.11D.12

4.（2005.长春）不等式组J（X-Y+1）（X+Y-1）>0表示的平面区域是一个（）

LowX<2

A.三角形B.梯形C.矩形D菱形

5.（2005.潍坊）如果直线L=KX+1与圆X2+Y2+kX+mY-4=0交于M,N两点，且M,N关于直

线X+Y=0对称，则不等式组-Kx-Y+1>0表示的平面区域的面积是（）

Kx-mYw0

Y>0

A.1/4B.1/2C.1D.2

6.（2005.江苏）如图所示，能表示的平面区域中公共区域的不等式组是

2

O

题型二：

简单的线性规划

7.（2005.湖南）已知点P（X,Y）在不等式组X-2w0表示的平面区域上运动，则Z=X-Y的取

值范围是（）-Y-1w0

X+2Y-2>0

A.2,1B.2,1C.1,2D1,2

8.（2005.江西）设实数X,Y满足

{

X-Y-2w0

X+2Y-4>0则Y/X的最大值是

2Y-3w0

9.（2005.山东）设X,Y满足约束条件X-Y-2w0则使得目标函数Z=6X+5Y的最大的点

J3X+2Yw12

0wXw3

.0wYw4

（X,Y）是

10.（2005.郑洲）已知X,Y满足

则R的最小值为（

（X+1）2+（Y-1）2=R2（R>0）

A.9/5B.2C.3D.、、2

题型3.线性规划的应用题

11.（2005.湖北）某实验室需要某种化工原料106千克现在市场上该原料有两种包装，一种是

每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元,在满足需要的条件下，最少要花费元.

12.（2004.杭州）配制A,B两种药剂都需要甲乙两种原料，用料要求如下表所示（单位:

千克）

药剂/原料

甲

乙

A

2

5

B

5

4

药剂A,B至少各配制一剂，且药剂A,B每剂售价分别为1百元,2百元，现有原料甲20千克,原料乙25千克，那么可以获得的最大销售额为（）

A.6百元B.7百元C.8百元D.9百元

13.（2004.重庆）某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设，为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：

班级学生数

配备教师数

硬件建设（万兀）

教师年薪（万兀/人）

初中

60

2.0

28

1.2

咼中

40

2.5

58

1.6

根据有关规定，除书本费，办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费

1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润是万元.

题型4.线性规划的思想方法的应用

14.（2004.黄岗）已知「X+Y-1<0

X-Y+1>0

Y>0

且U=X2+Y2-4X-4Y+8,则U的最小值为（

3&9

A.B.—

22

D.

15.（2004.湖北）实数X,Y满足不等式组

Y1

厂丫>0贝yW=的取值范围是（

X1

X-Y>0

2X-Y-2>0

A.

1111

B.2,3C.2，）D.2,1）

b2

16.（2004.河南）关于X的方程x2+ax+2b=0的两根分别在区间（0,1）与（1,2）内，则的

a1

取值范围是

7.3:

圆的方程

知识要点：

1.圆的标准方程.

（x-a）2+（y-b）2=r2,方程表示圆心为0（a,b）,半径为r的圆.

2.圆的一般方程

x2+y2+dx+ey+f=o

（1）当D2+E2-4F>0时，表示圆心为（-D/2,-E/2）,半径为.D2E24F的圆.

2

（2）当D2+E2-4F=0时表示一个点（-D/2,-E/2）;

（3）当D2+E2-4F<0时，它不表示任何图形.

3.

xarcosybrsin

圆的参数方程.

（为参数）.表示圆心为（a,b）,半径为r的圆.

4.圆的标准方程与一般方程的比较

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点

（1）x2和y2的系数相同，不等于o

（2）没有xy这样的二次项.

以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,表示圆的必要条件，但不是充分条件

5.直线和圆.

判定直线和圆的位置关系主要有两种方法：

方法一是把圆的方程和直线的方程联立成方程组

利用判别式△来讨论位置关系：

△>0直线和圆相交

一△=0直线和圆相切

{dR直线和圆相离

△<0直线和圆相离

方法二是把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较

6.圆和圆

（1）代数法：

解两个圆的方程所组成的二元二次方程组，若方程组有两组不同的实数解

则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，则两圆相离

⑵几何法：

设两圆的半径分别为R1,R2,两圆心分别为C1,C2则

当IC1C2I>R1+R2时，两圆相离；

当IC1C2I=R什R2时，两圆外切；

当IC1C2I=IR1-R2I时，两圆外切；

当IR1-R2I

当IC1C2I

题型1圆的方程

1.（2004.重庆）圆X2+Y2-2X+4Y+3=0的圆心到直线X-Y=1的距离为（）

A.2

C.1

D.

2..（2004.全国）已知圆C与圆（X-1）2+Y2=1关于直线

A.（X+1）2+Y2=1B.

C.X2+（Y+1）2=1D.

3.（2004.重庆）圆（X+2）2+Y2=5关于原点（O,O）对称的圆的方程为（）A.（X-2）2+Y2=5

C.（X+2）2+（Y+2）2=5

4.

Y=-X对称，则圆C的方程为（）

X2+Y2=1

X2+（Y-1）2=1

B.X2+（Y-2）2=5

D.X2+（Y+2）2=5

（2004.上海）圆心在直线2X-Y-7=0上的圆C与Y轴交于两点A（0,-4）B（0,-2）,则圆C的方程为

（2004.海淀）圆X2+Y2-X+2MY=0的圆心在直线X+Y=0上，则实数M的值为

（2004.重庆）若直线2AX

11，+

的最小值是（

AB

A.4.B.2C.1/4

5.

6.

-BY+2=0,（A>0,B>0）始终平分圆X2+Y2+2X-4Y+1=0的周长，则

7.（2003.咸阳）圆心在曲线

D.1/2

-（x

X

0）上，且与直线y=x+1相切的面积最小的圆的方程为

（）

A.（X+1）2+（Y-1）2=1/2

C.（X+2）2+（Y-1/2）2=1/2

8.（2005.威海）已知圆的半径为

方程是（

A.

B.

C.

D.

）

X2+Y2-2X-3=0

X2+Y2+4X=0

X2+Y2+2X-3=0

X2+Y2-4X=0

B.（X+1）2+（Y-1）2=1

D.（X+1/2）2+（Y-2）2=1

2,圆心在X轴的正半轴上，且与直线3X+4Y+4=0相切,则圆的

题型2

直线与圆的位置关系

9.（2004.天津）若过定点M（-1,0）且斜率为K的直线与圆X2+4X+Y2-5=0在第一象限内的部分有交点则K的取值范围是（）

A.0

10.（2004.天津）若P（2,-1）为圆（X-1）2+Y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）

A.X-Y-3=0B.2X+Y-3=0C.X+Y-仁0D.2X-Y-5=0

11.（2004.安徽）若直线AX+Y=1与圆（X-.3）2+（Y-2）2=1有两个不同的交点，则A的取值范围

是（）

A.（0,.3）B.（-、30）C.（3,+）D.（-,-・3）

12.（2003.全国）已知圆C:

（X-A）2+