平行线压轴题举例1.docx
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平行线压轴题举例1.docx
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平行线压轴题举例1
平行线压轴题举例
1.已知直线AB∥CD.
(1)如图1,直接写出∠ABE,∠CDE和∠BED之间的数量关系是 .
(2)如图2,BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系?
请说明理由.
(3)如图3,点E在直线BD的右侧BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 .
2.问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:
过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为 度;
(2)问题迁移:
如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?
请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
3.画图题:
(1)在如图所示的方格纸中,经过线段AB外一点C,不用量角器与三角尺,仅用直尺,画线段AB的垂线EF和平行线GH.
(2)判断EF、GH的位置关系是 .
(3)连接AC和BC,则三角形ABC的面积是 .
4.阅读下面的材料,并完成后面提出的问题.
(1)如图1中,AC∥DB,请你探究一下∠M,∠A与∠B的数量有何关系,并说明理由
(2)如图2中,当点M向左移动到图2所示的位置时,∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢?
(3)如图3中,当点M向上移动到图2所示的位置时,∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢?
(4)如图4中,当点M向下移动到图2所示的位置时,∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢?
写出对应图形的数量关系,并选其中的一个图形加以证明
5.如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.
(1)若点P在图
(1)位置时,求证:
∠3=∠1+∠2;
(2)若点P在图
(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;
(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明.
6.如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F
(1)当△PMN所放位置如图①所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ;
(2)当△PMN所放位置如图②所示时,求证:
∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)在
(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.
参考答案
1.(2016春•碑林区校级月考)已知直线AB∥CD.
(1)如图1,直接写出∠ABE,∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ABE+∠CDE=∠BED .
(2)如图2,BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系?
请说明理由.
(3)如图3,点E在直线BD的右侧BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 2∠BFD+∠BED=360° .
【分析】
(1)首先作EF∥AB,根据直线AB∥CD,可得EF∥CD,所以∠ABE=∠1,∠CDE=∠2,据此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可.
(2)首先根据BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,推得∠ABF+∠CDF=
(∠ABE+∠CDE);然后由
(1),可得∠BFD=∠ABF+∠CDF,∠BED=∠ABE+∠CDE,据此推得∠BFD=
∠BED.
(3)首先过点E作EG∥CD,再根据AB∥CD,EG∥CD,推得AB∥CD∥EG,所以∠ABE+∠BEG=180°,∠CDE+∠DEG=180°,据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°;然后根据∠BFD=∠ABF+∠CDF,以及BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,推得2∠BFD+∠BED=360°即可.
【解答】解:
(1)∠ABE+∠CDE=∠BED.
理由:
如图1,作EF∥AB,
∵直线AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠ABE=∠1,∠CDE=∠2,
∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED,
即∠ABE+∠CDE=∠BED.
故答案为:
∠ABE+∠CDE=∠BED.
(2)∠BFD=
∠BED.
理由:
如图2,∵BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,
∴∠ABF=
∠ABE,∠CDF=
∠CDE,
∴∠ABF+∠CDF=
∠ABE+
∠CDE=
(∠ABE+∠CDE),
由
(1),可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=
(∠ABE+∠CDE)
∠BED=∠ABE+∠CDE,
∴∠BFD=
∠BED.
(3)2∠BFD+∠BED=360°.
理由:
如图3,过点E作EG∥CD,,
∵AB∥CD,EG∥CD,
∴AB∥CD∥EG,
∴∠ABE+∠BEG=180°,∠CDE+∠DEG=180°,
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°,
由
(1)知,∠BFD=∠ABF+∠CDF,
又∵BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,
∴∠ABF=
∠ABE,∠CDF=
∠CDE,
∴∠BFD=
(∠ABE+∠CDE),
∴2∠BFD+∠BED=360°.
故答案为:
2∠BFD+∠BED=360°.
【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用,解答此题的关键是要明确:
①定理1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
两直线平行,同位角相等.②定理2:
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:
两直线平行,同旁内角互补.③定理3:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:
两直线平行,内错角相等.
2.(2016春•武侯区期末)问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:
过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为 110 度;
(2)问题迁移:
如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?
请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
【分析】
(1)过P作PE∥AB,通过平行线性质求∠APC即可;
(2)过P作PE∥AD交AC于E,推出AB∥PE∥DC,根据平行线的性质得出∠α=∠APE,∠β=∠CPE,即可得出答案;
(3)分两种情况:
P在BD延长线上;P在DB延长线上,分别画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠APE,∠β=∠CPE,即可得出答案.
【解答】
(1)解:
过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠APC=∠α+∠β,
理由:
如图2,过P作PE∥AB交AC于E,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;
(3)如图所示,当P在BD延长线上时,
∠CPA=∠α﹣∠β;
如图所示,当P在DB延长线上时,
∠CPA=∠β﹣∠α.
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力,题目是一道比较典型的题目,解题时注意分类思想的运用.
3.(2013秋•吴江市期末)画图题:
(1)在如图所示的方格纸中,经过线段AB外一点C,不用量角器与三角尺,仅用直尺,画线段AB的垂线EF和平行线GH.
(2)判断EF、GH的位置关系是 垂直 .
(3)连接AC和BC,则三角形ABC的面积是 10 .
【分析】
(1)过点C作5×1的矩形的对角线所在的直线,可得AB的垂线和平行线;
(2)易得EF与GH的位置关系是:
垂直;
(3)根据三角形的面积公式解答.
【解答】解:
(1)如图
(2)EF与GH的位置关系是:
垂直;
(3)设小方格的边长是1,则
AB=2
,CH=2
,
∴S△ABC=
×2
×2
=10.
【点评】此题灵活考查了过直线外一点作它的平行线、垂线,以及学生的观察、总结能力.
4.阅读下面的材料,并完成后面提出的问题.
(1)如图1中,AC∥DB,请你探究一下∠M,∠A与∠B的数量有何关系,并说明理由
(2)如图2中,当点M向左移动到图2所示的位置时,∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢?
(3)如图3中,当点M向上移动到图2所示的位置时,∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢?
(4)如图4中,当点M向下移动到图2所示的位置时,∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢?
写出对应图形的数量关系,并选其中的一个图形加以证明
【分析】
(1)先过点M作ME∥AC,得出AC∥ME∥DB,进而得到∠A=∠AME,∠B=∠BME,再根据角的和差关系即可得出∠A+∠B=∠AME+∠BME=∠AMB;
(2)先过点M作MF∥AC,得出AC∥MF∥DB,进而得到∠A+∠AMF=180°,∠B+∠BMF=180°,再根据角的和差关系即可得出∠AMB+∠A+∠B=∠A+∠AMF+∠B+∠BMF=360°;
(3)先过点M作MG∥AC,得出AC∥MG∥DB,进而得到∠A=∠AMG,∠B=∠BMG,再根据角的和差关系即可得出∠A﹣∠B=∠AMG﹣∠BMG=∠AMB;
(4)先过点M作MH∥AC,得出AC∥MH∥DB,进而得到∠A=∠AMH,∠B=∠BMH,再根据角的和差关系即可得出∠B﹣∠A=∠BMH﹣∠AMH=∠AMB.
【解答】解:
(1)∠AMB=∠A+∠B.
理由:
如图1,过点M作ME∥AC,
∵AC∥DB,
∴AC∥ME∥DB,
∴∠A=∠AME,∠B=∠BME,
∴∠A+∠B=∠AME+∠BME=∠AMB;
(2)∠AMB+∠A+∠B=360°.
理由:
如图2,过点M作MF∥AC,
∵AC∥DB,
∴AC∥MF∥DB,
∴∠A+∠AMF=180°,∠B+∠BMF=180°,
∴∠AMB+∠A+∠B=∠A+∠AMF+∠B+∠BMF=360°;
(3)∠A﹣∠B=∠AMB.
理由:
如图3,过点M作MG∥AC,
∵AC∥DB,
∴AC∥MG∥DB,
∴∠A=∠AMG,∠B=∠BMG,
∴∠A﹣∠B=∠AMG﹣∠BMG=∠AMB;
(4)∠B﹣∠A=∠AMB.理由:
如图4,过点M作MH∥AC,
∵AC∥DB,
∴AC∥MH∥DB,
∴∠A=∠AMH,∠B=∠BMH,
∴∠B﹣∠A=∠BMH﹣∠AMH=∠AMB.
【点评】本题主要考查了平行线的性质,解决问题的关键是作辅助线,根据两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等进行求解.
5.(2016春•大同期末)如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.
(1)若点P在图
(1)位置时,求证:
∠3=∠1+∠2;
(2)若点P在图
(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;
(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明.
【分析】此题三个小题的解题思路是一致的,过P作直线l1、l2的平行线,利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角,然后结合这些等角和∠3的位置关系,来得出∠1、∠2、∠3的数量关系.
【解答】证明:
(1)过P作PQ∥l1∥l2,
由两直线平行,内错角相等,可得:
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPE+∠QPF,
∴∠3=∠1+∠2.
(2)关系:
∠3=∠2﹣∠1;
过P作直线PQ∥l1∥l2,
则:
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE,
∴∠3=∠2﹣∠1.
(3)关系:
∠3=360°﹣∠1﹣∠2.
过P作PQ∥l1∥l2;
同
(1)可证得:
∠3=∠CEP+∠DFP;
∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°,
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2.
【点评】此题主要考查的是平行线的性质,能够正确地作出辅助线,是解决问题的关键.
6.(2016春•威海期中)如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F
(1)当△PMN所放位置如图①所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM=90° ;
(2)当△PMN所放位置如图②所示时,求证:
∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)在
(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.
【分析】
(1)由平行线的性质得出∠PFD=∠1,∠2=∠AEM,即可得出结果;
(2)由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°,再由角的互余关系即可得出结果;
(3)由角的互余关系求出∠PHE,再由平行线的性质得出∠PFC的度数,然后由三角形的外角性质即可得出结论.
【解答】解:
(1)作PG∥AB,如图①所示:
则PG∥CD,
∴∠PFD=∠1,∠2=∠AEM,
∵∠1+∠2=∠P=90°,
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°,
故答案为:
∠PFD+∠AEM;
(2)证明:
如图②所示:
∵AB∥CD,
∴∠PFD+∠BHF=180°,
∵∠P=90°,
∴∠BHF+∠2=90°,
∵∠2=∠AEM,
∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM,
∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°,
∴∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)如图③所示:
∵∠P=90°,
∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°,
∵AB∥CD,
∴∠PFC=∠PHE=75°,
∵∠PFC=∠N+∠DON,
∴∠N=75°﹣30°=45°.
【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系;熟练掌握平行线的性质,弄清角之间的数量关系是解决问题的关键.
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