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函数列的几种收敛性docx
函数列的几种收敛性
王佩
(西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070)
摘要:
讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛,几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.
关键词:
函数列;收敛;
Severalkindsofconvergenceforthesequenceoffuncations
Wangpei
(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)
Abstract:
Thisarticlediscussesandsummarizestherelationshipbetweentheconvergence,uniformconvergence,everywhereconvergence,almosteverywhereconvergence,almosteverywhereuniformconvergence,convergenceinmeasure,nearlyconvergence,nearlyuniformconvergenceandstrongconvergenceforthesequenceoffuncations.
Keywords:
thesequenceoffuncations;convergence;
几种收敛的定义
1、收敛的定义
定义1:
设a[为数列,a为定数.若对任给的正数;,总存在正整数N,使得
当n>N时有|an~a£名,则称数列牯,收敛于a,定数a称为数列{an}的极限,
并记作nman=a,或anTa("TOO)
定义2:
设f为定义在&,亠「]上的函数,A为定数.若对任给的;・0,存在正
数M(启a),使得当x>M时有|f(x)-A|vs,则称函数f当x趋于+时以a为极限,记作limf(x)=A或f(x)fA(x—+^).用c.表示.
2、一致收敛的定义
设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上,若对任意的&>0,总存在自然数N,使得当n>N时,对一切x€E都有|fn(x)-f(x)|<&,则称函数列
{fn(x)}在E上一致收敛于f(x),记作fn(x)—f(x),(nfx)x€E.用u.c.表示.
3、几乎处处收敛的定义
设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上,若函数列{fn(x)}在E上满足mE(fn(x)ff(x))=0,(其中“f”表示不收敛于),则称{fn(x)}在
E上几乎处处收敛于f(x),记作限fn(x)=f(x)a.e.于E,或fnffa.e.于E.用a.c.表示.
4、几乎处处一致收敛
设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上,若函数列{fn(x)}在E
上满足mE(fn(x)—^cTf(x))=0,(其中“一^cT”表示不一致收敛于),
则称{fn(x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x),记作limfn(x)=f(x)a.e.于
E,或fn—fa.e.于E.用a.u.c.表示.
5、依测度收敛
设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数,若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系:
对任意Z>0有limmE[|fn-f|>Z]=0,贝U称函数列{fn}依测度收敛于f,或度
量收敛于f记为:
fn(X)=f(X).
6、
近乎收敛
若:
.>0,EzE,使得mEz<:
.,且fn(x)一°》f(x)(在E-Ez上),则称函数列{fn(x)}在E上近乎收敛于函数f(x),记为fn(x)f(x)或简记
为fn>f.用n.c.表示.
7、近乎一致收敛
若v6>0,3EzuE,使得mEz<6,,且fn(x)—且f(x)在E-Ez上),则称函数列{fn(x)}在E上近乎一致于函数f(x),记为fn(x)f(x)或
fn—Wf.用n.u.c.表示.
8、强收敛
设fn(x),f(x)属于Lp,若fn(x),f(x)得距离||fn(x)一f(x)|敛于0(当n—+^),
则称fn(x)强收敛于f(x),简记为:
fn—强》f.
几中收敛的关系
1一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系
若{fn(x)}在E上一致收敛,则在E上逐点收敛,即处处收敛,处处收敛一
定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛,处处收敛也不一定一致收敛
2处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系
2.1依测度收敛不论是在有限可测集上,还是在一般可测集上,即“从整体上”推不出几乎处处收敛.
例1依测度收敛而处处不收敛的函数.
取E=0,11,将E等分,定义两个函数:
1,x
然后将0,1四等分、八等分等等.一般地,对每个n,作2n个函数:
(n)
(1)
j-1
2n
2n
A
j,j=1,2,,,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列:
1(X),f⑴2(x),,,f
(n)
.1,X
j(x)=
j=1,2,,,2n.
0,x
(n)
1
(x),f(n)2(x),,,f
(n)nz
2(x),,
(1)
Z>0,
E[|f(n)j-0|
>Z]或是空集(当Z>1),或是
I2n
(当0 f(n)j(x)在这个序列中是第N=2-2+j个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的.这是因为对任何 所以 m(E[|f(n) j-0|>Z])当Z>1时,左端为0). 2 于是当N=2-2+j(j=1,2,,,2n)趋于x时,n-x.由此可见 limm(E[|f N—: : (n) j-0|>Z])=0,即f(n)j(x)=0. 但是函数列 (1)在0,11上的任何一点都不收敛.事实上,对任何点x°.0,1, 无论n多么大,总存在j,使xo 因而 (n) j(x0)=1,然而f(n)j+1 (x0)=0或f(n)j-1(x0)=0,换言之,对任何X0・0,1, 在{f1(X0)}中必有两子列,一个恒为1,另一个恒为零,所以序列 (1)在0,1上任何点都是发散的. 2.2反过来,一个a.e,收敛的函数列也可以不是依测度收敛的. 例2取E=(0,+x),作函数列: (n) (x)=|1,I;': ]n=1,2,,. I0,x珂n,咼) 显然fn(x)—1(n—+x),当x€E.但是当0 (n,+x),且m(n,+x)=x. 这说明{fn}不依测度收敛于1. 2.3尽管两种收敛区别很大,一种收敛不能包含另一种收敛,但是下列定理反映出它们还是有密切联系的. 定理1(黎斯F.Riesz)设在E上{fn}测度收敛于f,则存在子列{fni}在E上a.e.收敛于f. 定理2(勒贝格Lebesgue)设 (1) (2){fn}是E上a.e.有限的可测函数列; (3){fn}在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f,贝Uf n(X) mE 二f(x). 定理3设fn(x)nf(x),fn(x)=g(x),则f(x)=g(x)在E上几乎处处成立• 3几乎处处收敛与近一致收敛 3.1在有限可测集上,几乎处处收敛一定近一致收敛 叶果洛夫(Enopob)定理: 设mE<+o,f和fi,f2,,,fn,,都是E上几乎处处有限的可测函数,若limfn(x)=f(x),a.e于E,则对任何Z>0,存在可测集Ez二E,使得mEz 3.2在一般可测集上(mE=+o),几乎处处收敛不一定近一致收敛 Enopob定理中mE<+°的条件不可少.例如考虑可测函数例 fn(x)=X(0,n)(x),n=1,2,,,x=(0,X). 它在(0,X)上处处收敛于f(x)=1,但在(0,X)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于f(x)三1. 又如取E=(0,+x),贝ymE=x,作E上函数列: 产f fn(x)=[1,X: n)n=1,2,,,nLmfn(x)=f(x)三1(0 [0,x^mf 取S=1,则对任何可测集EsE,若nEs<5=1,故m(E-巳)=x,于是集E-E 无界.取&=1/2,对任意N存在n=N+1和xo>N+1,且xo€E-Es时,|fn(x。 )- f(x0)|=|0-1|>£.所以在E-Es上{fn(x)}不一致收敛于f(x). 3.3不论在有限还是一般可测集上,近一致收敛一定几乎处处收敛 叶果洛夫(Enopob)定理的逆定理成立可说明这一结论. 设可测集E上可测函数列fn(x)近一致收敛于f(x),则fn(x)几乎处处收敛于f(x). 4近一致收敛与依测度收敛 4.1无论是在有限还是一般可测集上,近一致收敛一定依测度收敛 设f和f1,f2,,,fn,,都是E上几乎处处有限的可测函数,若{fn(x)}在E上近一致收敛于f(x),则fn(X)=f(X). 证明由条件对任意S>0及z>0,存在N=NZ,S)及E的可测子集E.,且 mE.=S,当n》N时,对一切x°€E-Es,|fn(x)-f(x)| □0oO xo€E-Es,x€"e|fn(xf(x)vo,E-EsuClEfn(x)_f(x}<口. n=Nn-N oOoO 于是对任何x€E-nE|fn—f|=uEfn—f|兰」必有x€Es,即 n=Nn二N QO UEfn-f羽uE§ nM qQ 综上所述,对S>0,Z>o,存在N=N(Z,S),当n》N时,m(UEfn-f,) n』 4.2不论在有限可测集还是一般可测集上,依测度收敛不一定近一致收敛,但必 有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛. 5几乎处处收敛与强收敛 5.1几乎处处收敛不一定强收敛 例fn(X) n,0: : x, n 1 0,x=0及x_1. n 显然在0,1上fn处处收敛于f=0,然而并不强收敛于f.事实上 11 fn—f|={[nn2dx}2=jnn—x) 5.2强收敛不一定几乎处处收敛 1,x、1,! ? .k 例fi(k)= i1k一, i . k 1_4 令①n(x)=fi(k),①(x)=0.则: ;X-X={;x}2=—0(n—x), ■dk ①n(x)强》①(x),而①n(X)在任一点都不收敛. 6依测度收敛与强收敛 6.1强收敛一定依测度收敛 可证明,对任何&>0,设En(&)=E{x: |fn(x)-f(x)|>0}, E|J(X)-f(X)|dX一.En(;)|仁(刈-f(X)|2dX—;2mEn(;), fn—f,mE(&)—0,即fn(x)=f(x). 6.2依测度收敛不一定强收敛 例E=0,1,在E上作函数列如下: 1⑴(x)=1x€ 0,,f1 (2)(X)= xO,1 12丿 x丄,1, 2 」-1i} X,一 -kki-1i x0,1, 1kkJ 上述的函数列记为①1(X),①2 fi(k)(x)=0 (i=1,2, k) (X)”,①n(X),,,可证 (X). x),①3 ①n(X)=①(X)=0,但却处处不收敛于① 证明若&>1,En(&)为空集,显然[jmEn(&)=0;若0<£<1,则 En(&)=E{X: |①n(X)-①(X)|>£}=■,丄,所以mE{x: |①n(X)-①(X)|ILkk 1 >£}=,于是当n—x,显然k—x.故limEn(£)=0,从而①n(x)=■①(x),ky 中总有无穷个1,无穷个0,即{①n(X)}处处不收敛. 而对任X0€0,,①n(X0) 、相关命题及证明 命题 a.c. E—f二f n.c. E' 证明 由定义立得 n.c. —1则-K,EkE,使得mEk<丄,且k oO 记E0=Ek k=1 贝UmE0=0,E-E0=(E-Ek) f且mE0=0即fn—琴t 证毕 命题2fn—n;c.》f二fn—曽》f 证明由定义立得 “U”设fn—¥tf,贝U由命题1知 证毕 而mE 命题3若fn—轉Jf,则fn=f 命题4若fn=f,贝U{仏}{fn},使得f^嘗’f(k十) qQ 证明任取定{£k}f0,{Sk}f0,且v「.k k二 可取定ni>N(£i,Sk),使得mE(|f-f|>£i) n2>ni,n2>N(£2,S2),使得mEQf®-f|>£2)vS2 QOQO -S>0,由7: kvx知,K,使得7、: k kAk=1 QO 记ES二UE(|fnk—f忙殊)贝UmES 又-S>0,由{£k}f0,知K2,使得£k2<£,于是当k>ko=max{ki,k2},且x€ (E-ES)时,有|fnk(x)-f(x)|<£k<£ 二fnk(x)—f(kfx)且mEs 即仏嘗》f(kfx)证毕 命题5fn=f={fnk}{fn},{fnJ}{fnk},使得fn^'f(ifx) 证明-z>0,记an=mE(|fn-f|>z)(n=1,2,,) -S>0,fn=f,则由“h”的定义有 nman=nmm〔(的-可>z)=。 故一{ank}{an},{a,}{%},使得 nm%=0 fx 即_{fnk}{fn},{fnki}{fnk},使得 [/mmE(Ifnjfl>z)=0亦即伉二f(i “”设一{仏}{fn},{&}{九},使得 liman=limmE(|fn-f|>Z)=0 jg: Ij厂k1 nma-o即njmmE(ifn-fi>Z)=° 亦即fn=f证毕 命题6P{fnJU{fn},日{fnJU{fnk},使得fn“=f(I") 则有{fnk}二{fn},{伉}二{仏},使得fnklE"f(1 证明“二•”设-{fnk}{fn},{伉}{%},使得 fnk^f(I 则由命题4知: {伉}: 一{fnk},使得fnk1f(i 综上所述,结论成立• J"设一{仏}{fn},{fnk1}{fnk},使得 fnkinEU.C.f(I— 则由命题3知: 仏’=f(i—x) 综上述,结论成立• 命题7若-{fnk}{fn},{fnk}{fn},使得伉n;c.f(i—x) 则二{fn}匚{件},使得fn—f(m—x) 命题8若勺{fnk}匚{fn},二{fnk}U{fn},使得fnkl—琴Tf(i—x) 则二{仁}匚{件},使得fnm—琴―f(R—x). 命题7和命题8的结论是容易证明的,不再叙述• 命题9若fn'E~-f,则-{fnk}二{fn},使得fnkE~'f(k—x) 命题10{fnk}{fn},使得fnk管》f(k—x): 二 {fnk}二{fn},使得fnkE—■f(k 命题11一{%}{fn},{伉}{fnk},使得fnki"/f(i十) ={fnk}{fn},{fnj{fnk},使得伉jf(i由命题1和命题2可立得命题9、命题10和命题11的结论. 经上所述可测函数各种收敛性的关系的关系图如下: 参考文献 [1]程其襄等•实变函数与泛函分析基础[M].北京: 高等教育出版社,2003. [2]周明强.实便函数论[M].北京: 北京大学出版社,2007. [3]薛昌兴.实变函数与泛函分析(上册)[M].北京: 高等教育出版社,1993. [4]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京: 高等教育出版社,2001. ⑸赵焕光.实变函数[M].成都: 四川大学出版社,2004.
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