学生版相交线与平行线全章知识巩固复习.docx
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学生版相交线与平行线全章知识巩固复习
课前诊断
一、选择题
1.下列图中,∠1和∠2是对顶角的有( )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2015春•巴南区校级期末)下列说法正确的是( )
A.两点之间的距离是两点间的线段
B.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.与同一条直线垂直的两条直线也垂直
D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.下列说法正确的是().
A.相等的角是对顶角.
B.两条直线被第三条直线所截,内错角相等.
C.如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
D.若两个角的和为180°,则这两个角互为余角.
4.∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角,那么∠1和∠2的大小关系是().
A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定
二、填空题
5.如图所示,AB∥CD,EF分别交AB、CD于G、H两点,若∠1=50°,则∠EGB=________.
6.(2015春•盐津县校级月考)平行用符号 表示,直线AB与CD平行,可以记作为 .
7.每天小明上学时,需要先由家向东走150米到公共汽车站点,然后再乘车向西900米到学校,每天小明由家到学校移动的方向是________,移动的距离是________.
8.(广东湛江)如图所示,请写出能判断CE∥AB的一个条件,这个条件是;
①:
________②:
________③:
________
三、解答题
9.(2014秋•滨湖区校级期末)把图中的互相平行的线写出来,互相垂直的线写出来:
10.如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,你能推断哪两条线段平行?
说明理由.
《平行线与相交线》全章复习与巩固知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握对顶角,邻补角及垂线的概念及性质,了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念;
2.区别平行线的判定与性质,并能灵活运用;
3.了解命题的概念及构成,并能通过证明或举反例判定命题的真假;
4.了解平移的概念及性质.
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
有公共顶点
∠1的两边与
∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线.
邻补角互补即
∠3+∠4=180°
要点诠释:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:
有公共顶点,角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角.
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:
有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线.
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、点到直线的距离
(1)垂线的定义:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.如图1所示,
符号语言记作:
AB⊥CD,垂足为O.
要点诠释:
要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指这两条线段所在的直线垂直.
(2)垂线的性质:
垂线性质1:
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).
垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:
垂线段最短.
(3)点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,如图2:
PO⊥AB,点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.
要点诠释:
垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
知识点二、平行线
1.平行线的判定
判定方法1:
同位角相等,两直线平行.
判定方法2:
内错角相等,两直线平行.
判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.
要点诠释:
根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:
(1)平行线的定义:
在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.
(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).
(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.
(4)平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
要点诠释:
根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:
(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.
(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.
3.两条平行线间的距离
如图3,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
要点诠释:
(1)两条平行线之间的距离处处相等.
(2)初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
(3)如何理解“垂线段”与“距离”的关系:
垂线段是一个图形,距离是线段的长度,是一个量,它们之间不能等同.
知识点三、命题及平移
1.命题:
判断一件事情的语句,叫做命题.每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.
2.平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.
要点诠释:
平移的性质:
(1)平移后,对应线段平行(或共线)且相等;
(2)平移后,对应角相等;
(3)平移后,对应点所连线段平行(或共线)且相等;
(4)平移后,新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、相交线
1.(2015春•乌兰察布校级期中)a、b、c是平面上任意三条直线,交点可以有( )
A.1个或2个或3个B.0个或1个或2个或3个
C.1个或2个D.都不对
【思路点拨】根据三条直线两两平行,三条直线交于一点,两条直线平行与第三条直线相交,三条直线两两相交不交于同一点,可得答案.
【答案】B
【解析】
解:
三条直线两两平行,没有交点;
三条直线交于一点,有一个交点;
两条直线平行与第三条直线相交,有两个交点;
三条直线两两相交不交于同一点,有三个交点,
故选B.
【总结升华】本题考查了相交线,分类讨论是解题关键:
①三条直线两两平行,②三条直线交于一点,③两条直线平行与第三条直线相交,④三条直线两两相交不交于同一点,注意不要漏掉任何一种情况.
举一反三:
【变式】如图所示,已知∠AOD=∠BOC,请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.
2.已知:
如图,直线a、b、c两两相交,且a⊥b,∠1=2∠3,,求∠4的度数.
【答案与解析】
解:
∵a⊥b,
∴∠2=∠1=90°.
又∵∠1=2∠3,∴90°=2∠3,∴∠3=45°,
又∠3与∠4互为邻补角,
所以∠3+∠4=180°即45°+∠4=180°.
所以∠4=135°.
【总结升华】涉及到角的运算时,充分利用已知条件和隐含条件(平角、余角、补角、对顶角等)是解题的关键.
类型二、平行线的性质与判定
3.如图,已知∠ADE=∠B,∠1=∠2,那么CD∥FG吗?
并说明理由.
【答案与解析】
解:
平行,理由如下:
因为∠ADE=∠B,所以DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
所以∠1=∠BCD(两直线平行,内错角相等).
又因为∠1=∠2(已知),
所以∠BCD=∠2.
所以CD∥FG(同位角相等,两直线平行).
【总结升华】反复应用平行线的判定与性质,见到角相等或互补,就应该想到判断直线是否平行,见到直线平行就应先想到角相等或角互补.
【高清课堂:
相交线与平行线单元复习403105经典例题3】
举一反三:
【变式】如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.
类型三、命题及平移
4.(佳木斯中考)如图所示,请你填写一个适当的条件:
________,使AD∥BC.
【思路点拨】欲证AD∥BC,结合图形,故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件.
【答案】∠FAD=∠FBC,或∠ADB=∠CBD,或∠ABC+∠BAD=180°.
【解析】
解:
本题答案不唯一,如:
利用“同位角相等,两直线平行”,可添加条件∠FAD=∠FBC;利用“内错角相等,两直线平行”,可添加条件∠ADB=∠CBD;利用“同旁内角互补,两直线平行”,可添加条件∠ABC+∠BAD=180°.
【总结升华】这是一道开放性试题,分清题设和结论:
结论:
AD∥BC,题设可根据平行线的判定方法,逐一寻找即可.
举一反三:
【变式】(2015春•和县期末)下列说法中正确的个数是( )
(1)在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,b∥c,则a∥c
(2)在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a⊥c
(3)在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,a⊥c,则b⊥c
(4)在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a∥c.
A.1B.2C.3D.4
5.如图
(1),线段AB经过平移有一端点到达点C,画出线段AB平移后的线段CD.
【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离.
【答案与解析】
解:
如图
(2),线段CD有两种情况:
(1)当点A平移到点C时,则点D在点C的下方,因此下边线段CD即为所求;
(2)当点B平移到点C时,则点D在点C的上方,上边线段CD即为所求.
【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的.本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C,故应有两种情况:
即点A平移到点C或点B平移到点C.
举一反三:
【变式】下列说法错误的是()
A.平移不改变图形的形状和大小
B.平移中图形上每个点移动的距离可以不同
C.经过平移,图形的对应线段、对应角分别相等
D.经过平移,图形对应点的连线段相等
类型四、实际应用
6.如图,107国道
上有一个出口M,想在附近公路
旁建一个加油站,欲使通道最短,应沿怎样的线路施工?
【答案与解析】
解:
如图,过点M作MN⊥
,垂足为N,欲使通道最短,应沿线路MN施工.
【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.
【巩固练习】
一、选择题
1.如图所示中,不能通过基本图形平移得到的是().
2.一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点出发向南偏西15°方向走到C点,那么∠ABC等于().
A.75°B.105°C.45°D.135°
3.下列说法中,正确的是().
A.过点P画线段AB的垂线.
B.P是直线AB外一点,Q是直线AB上一点,连接PQ,使PQ⊥AB.
C.过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
D.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.
4.如果在同一平面内有两个图形甲和乙,通过平移,总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何),则甲和乙是().
A.两个点
B.两个半径相等的圆
C.两个点或两个半径相等的圆
D.两个能够完全重合的多边形
二、填空题
5.如图,已知AB∥CD,CE,AE分别平分∠ACD,∠CAB,则∠1+∠2=________.
6.同一平面内的三条直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a________c.若a∥b,b∥c,则a________c.若a∥b,b⊥c,则a________c.
7.如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西.
8.如图所示,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,DE⊥BC于点E,能表示点到直线(或线段)的距离的线段有条.
三、解答题
9.如图,在一块长为a米,宽为b米的长方形地上,有一条弯曲的柏油马路,马路的任何地方的水平宽度都是2米,其它部分都是草地.求草地的面积.
10.如图所示,点P是∠ABC内一点.
(1)画图:
①过点P画BC的垂线,垂足为D;②过点P画BC的平行线交AB于点E,过点P画AB的平行线交BC于点F.
(2)∠EPF等于∠B吗?
为什么?
【答案与解析】
课前诊断
一、选择题
1.【答案】A;
【解析】只有第三个图中的∠1与∠2是对顶角.
2.【答案】D.
3.【答案】C;
【解析】一个角的平分线分得两个角相等,但不是对顶角,A错误;内错角相等的前提必须是两条直线平行,B错误;若两个角的和为180°,这两个角互为补角,D错误;C是平行公理的推论,正确.
4.【答案】D;
【解析】因为不知道直线AB和CD是否平行,平行时同位角相等,不平行时同位角不相等,所以无法确定同位角是否相等,故选D.
5.【答案】50°
【解析】因为AB∥CD,所以∠1=∠AGF,因为∠AGF与∠EGB是对顶角,所以∠EGB=∠AGF,故∠EGB=50°.
6.【答案】∥,AB∥CD.
7.【答案】向西,750米;
【解析】移动的方向是起点到终点的方向,移动的距离是起点到终点的线段的长度.
8.【答案】∠DCE=∠A,∠ECB=∠B,∠A+∠ACE=180°;
【解析】根据平行线的判定,CE∥AB成立的条件可以是∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°.
9.【解析】
解:
AB∥CD,MN∥OP,EF∥GH;
AB⊥GH,AB⊥EF,CD⊥EF,CD⊥GH.
10.【解析】
解:
AB∥CD,理由如下:
因为AC平分∠DAB(已知),所以∠1=∠3(角平分线定义).又因为∠1=∠2(已知),所以∠2=∠3(等量代换),所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
巩固练习答案
1.【答案】D
【解析】易见A、B、C都可以通过基本图形平移得到,只有D不能.
2.【答案】C;
【解析】根据直线平行,内错角相等,从A点北偏东60°方向等于从B点南偏西60°,再从B点向南偏西15°方向到C点,∠ABC应等于这两个角的差,故C正确.
3.【答案】C;
【解析】应是过一点画线段所在直线的垂线,不能是画线段的垂线,故A错误;P是直线AB外一点,Q是直线AB上一点,如果P点不在过Q点与AB垂直的直线上,或Q点不在过P点与AB垂直的直线上,连接PQ,不可能有PQ⊥AB,故B错误;过一点画直线的平行线,这点不能在直线上,否则是同一条直线,故D错误;只有C是垂线的性质,故C正确.
4.【答案】C
【解析】分析:
两个能够完全重合的多边形,如果把其中一个多边形旋转一个角度,那么另一个多边形不论怎样平移,也不可能和这个多边形(指旋转一个角度的多边形)完全重合在一起,只有两个点或两个半径相等的圆总能完全重合在一起,故选C.
二、填空题
5.【答案】90°;
【解析】∠BAC+∠ACD=180°,
,即∠1+∠2=90°.
6.【答案】∥,∥,⊥;
7.【答案】48°;
【解析】内错角相等,两直线平行.
8.【答案】8;
【解析】表示点到直线或线段距离的垂线段有:
线段AC、BC、DE、CE、BE、CD、CB、AD.
三、解答题
9.【解析】
解:
将马路的一边向另一边平移到重合,则此时草地的形状为:
长为(a-2)米,宽为b米的长方形,所以面积为:
(a-2)b=(ab-2b)平方米.
10.【解析】
解:
如图所示,
(1)①直线PD即为所求;②直线PE、PF即为所求.
(2)∠EPF=∠B,理由:
因为PE∥BC(已知),所以∠AEP=∠B(两直线平行,同位角相等).又因为PF∥AB(已知),所以∠EPF=∠AEP(两直线平行,内错角相等),∠EPF=∠B(等量代换).
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- 学生 相交 平行线 知识 巩固 复习