大学全册高等数学知识点全.docx
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大学全册高等数学知识点全
大学高等数学知识点整理
公式,用法合集
极限与连续
一.数列函数:
1.类型:
(1)数列:
*af(n);*
n
afa
1()
nn
(2)初等函数:
(3)分段函数:
*
f(x)
1
F(x),
f(x)
2
xx
0
xx
0
;*
f(x)
F(x),
a
xx
0
xx
0
;*
(4)复合(含f)函数:
yf(u),u(x)
(5)隐式(方程):
F(x,y)0
(6)参式(数一,二):
xx(t)
yy(t)
x
(7)变限积分函数:
F(x)f(x,t)dt
a
(8)级数和函数(数一,三):
n
S(x)ax,x
n
n0
2.特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别);(f(x)单调x0,(xx0)(f(x)f(x0))定号)
(2)奇偶性与周期性(应用).
3.反函数与直接函数:
11
yf(x)xf(y)yf(x)
二.极限性质:
1.类型:
*lim
n
a;*limf(x)(含x);*
n
x
limf(x)(含
xx
0
xx)
0
2.无穷小与无穷大(注:
无穷量):
3.未定型:
0
0
00
,1,,0,0,
4.性质:
*有界性,*保号性,*归并性
三.常用结论:
1
n
n1,
1
aa,
n(0)1
1
nnnn
(abc)max(a,b,c),
n
a
n!
a00
1
1
x
(x0)
n
x
x
limx1,lim0
x
x
e
x0
n
lnx
lim0
x
x
n
limxlnx0,
x0
x0x
e,
x
四.必备公式:
1.等价无穷小:
当u(x)0时,
sinu(x)u(x);tanu(x)u(x);1cos()12()
uxux;
2
u(x)1()
eux;ln(1u(x))u(x);(1u(x))1u(x);
arcsinu(x)u(x);arctanu(x)u(x)
2.泰勒公式:
(1)
x22
1
e1xxo(x);
2!
(2)
1
22
ln(1x)xxo(x);
2
(3)
1
34
sinxxxo(x);
3!
(4)
11
245
cosx1xxo(x);
2!
4!
(5)
(1)
22
(1x)1xxo(x).
2!
五.常规方法:
前提:
(1)准确判断
0
0
,1,M(其它如:
00
0,0,);
(2)变量代换
(如:
1
x
t
)
1.抓大弃小(),
2.无穷小与有界量乘积(M)(注:
sin11,x
x
)
3.1处理(其它如:
00
0,)
4.左右极限(包括x):
(1)
1
x
(x0)
x
;
(2)e(x);
1
e(x0);(3)分段函数:
x,[x],
x
maxf(x)
2
5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:
非零因子)
6.洛必达法则
(1)先”处理”,后法则(
0
0
最后方法);(注意对比:
lim
x1
xlnx
1x
与
lim
x0
xlnx
1x
)
11111
(2)幂指型处理:
v(x)v(x)lnu(x)
u(x)e(如:
e1ee(e11))
xxxxx
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7.泰勒公式(皮亚诺余项):
处理和式中的无穷小
8.极限函数:
f(x)limF(x,n)(分段函数)
n
六.非常手段
1.收敛准则:
(1)af(n)limf(x)
n
x
(2)双边夹:
*bac?
*bn,cna?
nnn
(3)单边挤:
a1f(a)*a2a1?
*anM?
*f'(x)0?
nn
f
2.导数定义(洛必达?
):
limf'(x0)
x0
x
3.积分和:
112n
1
lim[f()f()f()]f(x)dx
n0
nnnn
4.中值定理:
lim[f(xa)f(x)]alimf'()
xx
5.级数和(数一三):
(1)
n1
a收敛liman0,(如
n
n
lim
n
n
2n!
n
n
)
(2)lim(a1a2an)an,
n
n1
(3){a}与1
(anan)同敛散n
n1
七.常见应用:
n
1.无穷小比较(等价,阶):
*f(x)kx,(x0)?
(1)
aa
(n1)(n)nnn
f(0)f'(0)f(0)0,f(0)af(x)x(x)x
n!
n!
(2)
xx
n
f(t)dtktdt
00
2.渐近线(含斜):
(1)
f(x)
alim,blim[f(x)ax]
xxx
f(x)axb
(2)f(x)axb,(
1
x
0
)
3
3.连续性:
(1)间断点判别(个数);
(2)分段函数连续性(附:
极限函数,f'(x)连续
性)
八.[a,b]上连续函数性质
1.连通性:
f([a,b])[m,M](注:
01,“平均”
值:
f(a)
(1)f(b)f(x))
0
2.介值定理:
(附:
达布定理)
(1)零点存在定理:
f(a)f(b)0
f(x)0(根的个数);
0
x
(2)f(x)0(f(x)dx)'0.
a
第二讲:
导数及应用(一元)(含中值定理)
一.基本概念:
1.差商与导数:
f'(x)
lim
x0
f(xx)f(x)
x
;
f'(x)
0
lim
xx
0
f(x)f(x)
0
xx
0
(1)
f
'(0)lim
x0
f(x)f(0)
x
(注:
f(x)
limA(f
x0
x
连续)f(0)0,f'(0)A)
(2)左右导:
''
f(x),f(x);
00
(3)可导与连续;(在x0处,x连续不可导;xx可导)
2.微分与导数:
ff(xx)f(x)f'(x)xo(x)dff'(x)dx
(1)可微可导;
(2)比较f,df与"0"的大小比较(图示);
二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;(注:
(f(x))')
2.法则:
(1)四则运算;
(2)复合法则;(3)反函数
dx
1
dyy
'
三.各类求导(方法步骤):
1.定义导:
(1)f'(a)与f'(x);
(2)分段函数左右导;
xa
(3)
lim
h0
f(xh)f(xh)
h
(注:
F(x)
f(x),
a
xx
0
xx
0
求:
f'(x),f'(x)及f'(x)的连续性)
0
4
2.初等导(公式加法则):
(1)uf[g(x)],求:
u'(x)(图形题);
0
x
(2)F(x)f(t)dt,求:
F'(x)(注:
a
xbb
(f(x,t)dt)',(f(x,t)dt)',(f(t)dt)')
aaa
(3)y
f(x)
1
f(x)
2
xx
0
xx
0
求
''
f(x),f(x)及f'(x0)(待定系数)
00
3.隐式(f(x,y)0)导:
2
dydy
2
dxdx
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法.
4.参式导(数一,二):
xx(t)
yy(t)
求:
2
dydy
2
dxdx
5.高阶导
(n)()
fx公式:
ax(n)nax
(e)ae;
n
1bn!
(n)
()
n
abx(abx)
1
;
(n)n
(sinax)asin(axn);
2
(n)n
(cosax)acos(axn)
2
(n)(n)1(n1)2(n2)
(uv)uvCuv'Cuv"
nn
注:
(n)(0)
f与泰勒展式:
n
f(x)aaxaxax
012n
2
a
n
f
(n)(0)
n!
四.各类应用:
1.斜率与切线(法线);(区别:
yf(x)上点
M和过点M0的切线)
0
2.物理:
(相对)变化率速度;
3.曲率(数一二):
f"(x)
23
(1f'(x))
(曲率半径,曲率中心,曲率圆)
4.边际与弹性(数三):
(附:
需求,收益,成本,利润)
五.单调性与极值(必求导)
1.判别(驻点f'(x0)0):
(1)f'(x)0f(x);f'(x)0f(x);
5
(2)分段函数的单调性
(3)f'(x)0零点唯一;f"(x)0驻点唯一(必为极值,最值).
2.极值点:
(1)表格(f'(x)变号);(由
f'(x)f'(x)f''(x)
lim0,lim0,lim0x0
2
xxxxxx
xxx
000
的特
点)
(2)二阶导(
f'(x)0)
0
注
(1)f与f',f"的匹配(f'图形中包含的信息);
(2)实例:
由f'(x)(x)f(x)g(x)确定点“
xx”的特点.
0
(3)闭域上最值(应用例:
与定积分几何应用相结合,求最优)
3.不等式证明(f(x)0)
(1)区别:
*单变量与双变量?
*x[a,b]与x[a,),x(,)?
(2)类型:
*f'0,f(a)0;*f'0,f(b)0
*f"0,f(a),f(b)0;*
f"(x)0,f'(x)0,f(x)0
00
(3)注意:
单调性端点值极值凹凸性.(如:
f(x)Mfmax(x)M)
4.函数的零点个数:
单调介值
六.凹凸与拐点(必求导!
):
1.y"表格;(
f"(x)0)
0
2.应用:
(1)泰勒估计;
(2)f'单调;(3)凹凸.
七.罗尔定理与辅助函数:
(注:
最值点必为驻点)
1.结论:
F(b)F(a)F'()f()0
2.辅助函数构造实例:
x
(1)f()F(x)f(t)dt
a
(2)f'()g()f()g'()0F(x)f(x)g(x)
(3)
f'()g()f()g'()0F(x)
f(x)
g(x)
(4)f'()()f()0
(x)dx
F(x)ef(x);
6
3.
()()0()
n
ffx有n1个零点
(n1)()
fx有2个零点
4.特例:
证明
()()
n
fa的常规方法:
令F(x)f(x)Pn(x)有n1个零点(Pn(x)待
定)
5.注:
含
1,2时,分家!
(柯西定理)
6.附(达布定理):
f(x)在[a,b]可导,c[f'(a),f'(b)],[a,b],使:
f'()c
八.拉格朗日中值定理
1.结论:
f(b)f(a)f'()(ba);((a)(b),'()0)
2.估计:
ff'()x
九.泰勒公式(连接f,f',f"之间的桥梁)
1.结论:
11
23
f(x)f(x)f'(x)(xx)f"(x)(xx)f"'()(xx);
000000
2!
3!
2.应用:
在已知f(a)或f(b)值时进行积分估计
十.积分中值定理(附:
广义):
[注:
有定积分(不含变限)条件时使用]
第三讲:
一元积分学
一.基本概念:
1.原函数F(x):
(1)F'(x)f(x);
(2)f(x)dxdF(x);(3)f(x)dxF(x)c
x
注
(1)F(x)f(t)dt(连续不一定可导);
a
xx
(2)(xt)f(t)dtf(t)dtf(x)(f(x)连续)
aa
2.不定积分性质:
(1)(f(x)dx)'f(x);d(f(x)dx)f(x)dx
(2)f'(x)dxf(x)c;df(x)f(x)c
二.不定积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:
拆(线性性)
(kf(x)kg(x))dxkf(x)dxkg(x)dx
1212
3.凑微法(基础):
要求巧,简,活(
22
1sinxcosx)
7
如:
11dx
2
dxd(axb),xdxdx,dlnx,
a2x
dx
x
2dx
1
x
2
x
2
dxd1x,(1lnx)dxd(xlnx)
4.变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):
1
x
xsint,axbt,t,e1t
x
(2)作用与引伸(化简):
21
xxt
5.分部积分(巧用):
x
(1)含需求导的被积函数(如lnx,arctanx,f(t)dt);
a
naxn
(2)“反对幂三指”:
xedx,xlnxdx,
(3)特别:
xf(x)dx(*已知f(x)的原函数为F(x);*已知f'(x)F(x))
6.特例:
(1)1sin1cos
axbx
dx
asinxbcosx
kx
;
(2)p(x)edx,p(x)sinaxdx快速法;
(3)
v(x)
dx
n
u(x)
三.定积分:
1.概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:
有界,充分条件:
连续)
(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*
a
0
ab
b
22
axxdxaa;*()0
(0)xdx
82
a
bbb
(3)附:
f(x)dxM(ba),()()()
fxgxdxMgxdx)
aaa
(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重
x
2:
变限积分(x)f(t)dt的处理(重点)
a
(1)f可积连续,f连续可导
xxx
(2)(f(t)dt)'f(x);((xt)f(t)dt)'f(t)dt;
aaa
x
a
f(x)dt(xa)f(x)
x
(3)由函数F(x)f(t)dt参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题
a
8
b
3.NL公式:
f(x)dxF(b)F(a)(F(x)在[a,b]上必须连续!
)
a
注:
(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性
(2)有理式,三角式,根式
b
(3)含f(t)dt的方程.
a
b
4.变量代换:
f(x)dxf(u(t))u'(t)dt
a
(1)
aa
f(x)dxf(ax)dx(xat),
00
(2)
aaa
f(x)dxf(x)dx(xt)[f(x)f(x)]dx(如:
4
aa0
4
1
1sin
x
dx)
n1
n
(3)2
IsinxdxI
nn
0
n
2
(4)2fxdx2fxdx;fxdx2fxdx,
(sin)(cos)(sin)2(sin)
0000
(5)
xf(sinx)dxf(sinx)dx,
00
2
5.分部积分
(1)准备时“凑常数”
xb
(2)已知f'(x)或f(x)时,求f(x)dx
aa
6.附:
三角函数系的正交性:
222
sinnxdxcosnxdxsinnxcosmxdx0
000
22
sinnxsinmxdxcosnxcosmxdx(nm)0
00
22
22
sinnxdxcosnxdx00
四.反常积分:
a
1.类型:
(1)f(x)dx,f(x)dx,f(x)dx(f(x)连续)
a
b
(2)f(x)dx:
(f(x)在xa,xb,
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