比较二次根式大小的巧妙方法.docx
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比较二次根式大小的巧妙方法
比较二次根式大小的巧妙方法(总10页)
比较二次根式大小的巧妙方法
二次根式是初中数学中的基础知识,也是初中数学学习中的重点内容;而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点,也是中考和数学竞赛中常见的题型,经常会考到不查表、不求二次根式的值,来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。
尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法,如求近似值法、比较被开方数法等,尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法,但许多学生在考试中仍显得力不从心,并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适?
解答这类题目时缺少方法与对策,以至于无从下手。
下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法
此法好学,适用。
就是将根号外的正因式移入根号内,从而转化为比较被开方数的大小。
例1:
比较
的大小。
解:
>
∴
>
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。
此法的依据是:
两个正数的平方是正数,平方大的数就大;两个负数的平方也是正数,平方大的数反而小。
例2:
比较
与
的大小。
解:
∵
,
>0,
>0
∴
<
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化,再进行比较。
例3:
比较
与
的大小。
解:
∴
>
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化,再比较大小。
例4:
比较
与
的大小
解:
∵
>
∴
>
五、求差或求商法
求差法的基本思路是:
设
为任意两个实数,先求出
与
的差,再根据“当
<0时,
<
;当
时,
;当
>0时,
>
”来比较
与
的大小。
求商法的基本思路是:
设
为任意两个实数,先求出
与
的商,再根据“①
同号:
当
>1时,
>
;
=1时,
;
<1时,
<
。
②
异号:
正数大于负数”来比较
与
的大小。
例5:
比较
的大小。
解:
∵
<
∴
<
例6:
比较
的大小。
解:
∵
>1
∴
>
六、求倒数法
先求两数的倒数,而后再进行比较。
例7:
比较
的大小。
解:
∵
>
∴
<
七、运用媒介法
此法是借助中间量(定量或变量)巧妙转换达到直观比较的方法,类似于解方程中的换元法。
例8:
已知
,
,试比较
的大小。
解:
设
,
则
,
∵
<
,∴
<
,即
<
八、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母,为了快速比较,解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9:
比较
与
的大小。
解:
设
,则:
=1,
=
∵
<1,∴
>
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点,又不准求近似值,可采取局部缩放法,以确定它们的取值范围,从而达到比较大小的目的。
例10:
比较
的大小。
解:
设
,
∵
,7<
<8,即7<
<8
,8<
<9,即8<
<9
∴
<
,即
<
例11:
比较
与
的大小。
解:
∵
>
∴
>
十、“结论”推理法
通过二次根式的不断学习,不难得出这样的结论:
“
>
(
>
>0)”,利用此结论也可以比较一些二次根式的大小(结论证明见文末)。
例12:
比较1与
的大小。
解:
∵
,
由
>
(
>
>0)可知:
>
即
>
又∵
>
∴
>
,即1>
总的来说,比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种,除此之外诸如移项、拆项法,类比推理法,数形结合法,数轴法,还有假设推理法等等,但不管使用哪种方法,都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行,要根据问题的特征,二次根式的结构特点,多角度地探索思考,做到具体问题具体分析,针对不同问题采取不同的策略,另外还应多做这方面的训练,方能达到熟练而又快捷,运用自如的程度。
附:
“
>
(
>
>0)”的证明。
证明:
∵
,
,
>
∴
>
(
>
>0)
【典题新练】:
1、比较
与
的大小;
2、比较
与
的大小;
3、比较
与
的大小;
4、比较
与
的大小;
5、比较
与
的大小;
6、比较
与
的大小(其中
为正整数);
7、设
,
,试比较它们的大小;
8、比较
与
的大小;
9、比较
与
的大小;
10、比较
与
的大小;
11、比较
与
的大小;
12、比较
的大小;
13、比较
与
的大小;
14、比较
与
的大小;
15、若
为正整数,试比较
的大小;
16、比较
的大小;
17、比较
与
的大小。
【典题新练参考答案】:
1、提示:
,
,∴
<
2、提示:
平方后再进行比较。
,
,
∴
>
3、提示:
可利用
>
(
>
>0)。
>
,即
>
4、提示:
分母有理化后再进行比较。
,
,
<
,
∴
<
5、提示:
分子有理化后再进行比较。
∵
>
,∴
<
,
即
<
6、提示:
∵
,
其中
为正整数,∴
>
故
<
7、提示:
设
,
则:
,
∵
<
∴
<
,∴
<
8、平方后再进行比较。
,
,又∵
>
,∴
>
∴
<
,∴
<
9、提示:
∵2<
<3,7<
<8,∴
<5<
,∴
<
10、提示:
分子有理化后再进行比较。
因为
,
,而
>
所以
<
,故
<
11、提示:
分别求其倒数后,再进行比较。
∵
,
>
,∴
<
12、提示:
∵
,而7<
<8,∴
的整数部分为7。
同样可得
的整数部分为8,∴
<
13、提示:
∵
>
∴
>
14、提示:
平方后再比较大小。
∵
,
,
∴
<
15、提示:
由偶次根式的定义得
,∴
<2009,∴
<0,
∴
>0,
<0,∴
>
16、提示:
由
,设
>
,则
>4,两边平方得:
>16,∴
>4,这与
<
=4相矛盾,
∴假设不成立,故
<
。
17、提示:
可在方格纸或坐标纸上作折线图。
,示例如下图:
,
,
;
。
由图可知:
>
,即
>
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- 比较 二次 根式 大小 巧妙 方法