单位根检验与结构突变的理论方法及应用.docx
- 文档编号:10397611
- 上传时间:2023-05-25
- 格式:DOCX
- 页数:55
- 大小:568.53KB
单位根检验与结构突变的理论方法及应用.docx
《单位根检验与结构突变的理论方法及应用.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《单位根检验与结构突变的理论方法及应用.docx(55页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
单位根检验与结构突变的理论方法及应用
单位根检验与结构突变的理论、方法及应用
南开大学经济学院数量经济学专业博士生导师
中国数量经济学会常务理事
张晓峒
1.典型随机过程简述。
在介绍单位根检验之前,先认识一下各种随机过程的表现形式。
(1)白噪声过程(white noise,如图 1)。
属于平稳过程。
yt = ut,ut ~ IID(0, σ2)
图 2 是日元兑美元差分序列(收益序列),近似于白噪声序列。
(2)随机游走过程(random walk,如图 3)。
属于非平稳过程。
yt = yt-1 + ut,ut ~ IID(0, σ2)
图 4 是深圳股票综合价格收盘指数序列,近似于随机游走过程。
随机游走的差分过程是平稳过程(白噪声过程)。
∆yt = ut。
3
2
1
0
-1
-2
-3
white noise
2
1
0
-1
-2
DJPY
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
10
5
0
-5
-10
图 1 白噪声序列(σ2=1) 图 2 日元兑美元差分序列
2200
y=y(-1)+u
2000
1800
1600
1400
1200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
50 100 150 200 250 300
100
80
60
40
20
图 3 随机游走序列(σ2=1) 图 4 深圳股票综合指数
20
0
-20
-40
-60
-80
400 450 500 550 600 650 700 750 800
100 200 300 400 500 600 700 800
1
yt =μ+ (μ + yt-2 + ut-1) + ut = … = y0 +μt + ∑ ui =μt + ∑ ui
图 5 随机趋势非平稳序列(μ = 0.1)图 6 随机趋势非平稳序列(μ = -0.1)
“ 随 机 游 走 ” 一 词 首 次 出 现 于 1905 年 自 然 ( Nature) 杂 志 第 72 卷 Pearson K. 和
Rayleigh L.的一篇通信中。
该信件的题目是“随机游走问题”。
文中讨论寻找一个被放在野
地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
(3)随机趋势非平稳过程(stochastic trend process)或差分平稳过程(difference-
stationary process)、有漂移项的非平稳过程(non-stationary process with drift)。
见图 5 和
6。
属于非平稳过程。
yt = μ + yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)
迭代变换,
tt
i-1i-1
因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势μt 和一个随机游走组合而成,所以随机趋
势过程由确定性时间趋势所主导,表现出很强的趋势性。
yt 围绕着μt 变化,但不会回到
μt。
趋势的方向完全由μ的符号决定。
μ为正时,趋势向上(见图 5);μ为负时,趋势向下
(见图 6)。
对 yt 做一阶差分,∆yt = μ + ut,为平稳过程。
差分平稳过程由此得名。
E(∆yt) =
μ。
当 yt 表示对数变量时,E(∆yt)表示平均增长率。
随机趋势非平稳过程的差分过程是平稳过程。
∆yt = μ + ut 。
25
20
15
10
5
0
180
160
140
120
100
80
60
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
400 450 500 550 600 650 700 750 800
图 7 退势平稳序列(μ =0, α=0.1)图 8 确定性趋势非平稳序列(μ =0.1, α=0.1)
(4)趋势平稳过程(trend-stationary process)或退势平稳过程(见图 7)。
属于非平稳
过程。
yt = μ + α t + ut,ut ~ IID(0, σ2)
因为该过程是由确定性趋势μ + α t 和平稳随机过程 ut 组成,所以称为趋势平稳过程。
趋势平稳过程由确定性时间趋势 t 所主导。
减去确定性时间趋势项αt 之后,过程变为平稳
过程,所以也称退势平稳过程。
趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。
∆yt = α + ut - ut-1 。
所以应该用退势的方法
获得平稳过程。
yt - α t = μ + ut。
(5)确定性趋势非平稳过程(non-stationary process with deterministic trend)(如图
8)。
属于非平稳过程。
yt = μ + α t + yt-1+ ut,ut ~ IID(0, σ2)
确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。
过程由确定
性时间趋势所主导。
减去确定性时间趋势项之后,过程仍是非平稳过程。
这种过程的时间
趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。
2
yt = μ + α t + yt-1 + ut = μ + α t + (μ + α (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut
∑ u
= … = y0 + μ t + α t 2 - α (1+2 +…+ t) +
t
i=1
i
∑ u
= y0 + μ t + α t 2 -
α
2
( 1+ t ) t +
t
i=1
i
t 2 + ∑ ui
= (μ -
α
2
) t +
α
2
t
i=1
(设定 y0=0)
含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间 t 的 2 次方过
程。
这种过程在经济问题中非常少见。
确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程,∆yt = μ + α t + ut。
确定性趋势非
平稳过程的退势过程是非平稳过程,yt - α t = μ + yt-1+ ut。
只有既差分又退势才能得到平稳
过程,∆yt - α t = μ + ut。
10.0
9.5
9.0
8.5
8.0
7.5
7.0
Ln(Income)
55 60 65 70 75 80 85 90
14
12
10
8
6
4
Y
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00
图 9 对数的中国国民收入序列图 10 中国人口序列
图 9 是对数的中国国民收入序列,近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列。
图 10
是中国人口序列,近似于确定性趋势非平稳序列。
对于单位根过程(差分平稳),每个随机冲击都具有长记忆性,方差趋于无穷大,其均
值概念变得毫无意义;
对于退势平稳过程,随机冲击只具有有限记忆能力,其影响会很快消失,由其引起的
对趋势的偏离只是暂时的。
对退势平稳序列,只要正确估计出其确定性趋势,即可实现长
期趋势与平稳波动部分的分离。
大量的实证研究显示,不变价格的宏观经济序列为退势平稳过程的可能性远大于名义
价格的宏观经济序列。
中国的 GDP、固定资产投资和居民消费等序列均为退势平稳序列。
这意味着,改革开放以来,中国的经济增长虽然因为受到各种冲击因素的影响而出现不同
程度的偏离趋势的上下波动,但这种偏离是暂时的,从较长时期来看,经济增长总体上沿
着确定的均衡增长路径平稳运行。
而随机趋势过程虽然也有长期‘引力线’,但其数据生成过程含有单位根,随机冲击对
它具有持续的长期影响。
只有通过差分才能使其平稳,属于差分平稳过程。
例:
给出对数的中国 GDP 序列如下。
无论采取线性退势,还是 2 次退势,所得序列都
是平稳序列。
3
11
LNGP
10
9
8
7
11
55 60 65 70 75 80 85 90 95
11
LNGP7.3127+0.0677t
LNGP 7.8693+0.0014t^2
10
9
8
7
10
9
8
7
55 60 65 70 75 80 85 90 95
55 60 65 70 75 80 85 90 95
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
线性趋势 2 次趋势
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
55 60 65 70 75 80 85 90 95
55 60 65 70 75 80 85 90 95
ADF= -3.05 < ADF(0.05) = -1.95ADF= -4.36 < ADF(0.05) = -1.95
2.单位根检验步骤。
单位根检验做得不好常常会把退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程(隐性趋势)
和确定性趋势非平稳(显性趋势)过程。
检验时间序列中是否含有单位根时常会碰到如下
几种问题:
(1)当被检验过程(d.g.p.)的形式未知时,应该考虑到其中是否含有随机的或确定
性的时间趋势成分。
(2)被检验过程(d.g.p.)的形式通常要比 AR
(1) 形式复杂,可能是高阶自回归过程
或含有移动平均成分。
(3)当被检验随机过程接近含有单位根但实为平稳过程(特征根小于 1,但接近 1)
时,在有限样本、特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设,误判为单位根
过程,即检验功效降低。
(4)应该注意的是当被检验过程中含有未发现的突变点时,常导致单位根检验易于接
受零假设(非平稳过程)。
(5)对于季节随机过程除了检验零频率单位根外,还要检验季节单位根(不讲)。
检验单位根通常有 3 种方法。
(1)DF(ADF)检验法(Dickey-Fuller,1979)、
(2)
4
CRDW(cointegration regression DW)检验法(Sargan-Bhargava,1983)、(3)PP(或 Z)检
验法(Phillips,1987)。
最常用的是 DF(和 ADF)检验法。
DF 检验式的一种形式是
yt = β yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)(1.a)
H0:
β =1,H1:
β <1。
检验统计量 DF = (β - 1) s(β ) 或
∆ yt = ρ yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)(1.b)
其中ρ = β -1。
H0:
ρ = 0,H1:
ρ < 0。
检验统计量 DF = ρ s(ρ ) = ρ s(β ) 。
其中 β 和 ρ 分
别表示β 和ρ 的 OLS 估计量。
检验式(1.b)更常用。
尽管 DF 计算公式与 t 统计量相同,但
在 H0:
ρ = 0 成立(yt 非平稳)条件下,DF 不服从 t 分布,而服从 DF 分布。
以β = 1 的
(1)式为数据生成系统(d.g.p.),DF 分布百分位数用蒙特卡罗模拟的方法得到(见表 1
第 1 部分)。
检验用临界值从中查取(摘自 Fuller(1976))。
用
(1)式检验单位根等价于先验认定被检验过程 yt 是一个零均值、无趋势项的 AR
(1)
过程。
因为只有当一个含有单位根的随机过程中不含有确定性变量,那么该过程的均值完
全由初始值决定,所以 y0 = 0。
可见,只有在一个过程的均值为零时,使用
(1)式检验单
位根才是正确的。
换句话说,如果被检验的过程的均值非零,就应该首先减去这个均值,
然后再用
(1)式检验单位根。
但实际中,被检验过程的均值一般是不知道的。
所以,当不
知被检验过程的均值是否为零,或不知其初始值 y0 是否为零时,应该用下式检验单位根。
yt = μ + β yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)(2.a)
H0:
β =1,H1:
β <1。
检验统计量 DF = (β - 1) s(β ) 或
∆ yt = μ +ρ yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)(2b)
其中ρ = β -1。
H0:
ρ = 0,H1:
ρ < 0。
检验统计量 DF = ρ s(ρ ) = ρ s(β ) 。
其中 β 和 ρ 分
别表示β 和ρ 的 OLS 估计量。
DF 检验临界值应从表 1 第 2 部分查找。
条件是数据由β =1
的
(1)式生成,而 DF 检验式是
(2)式。
ˆ
注意,估计
(2)式得到的 ρ 和 DF 的分布都不受 y0 取值的影响。
这一点太重要了。
否则必须先知道 y0 的值和 DF 分布才能进行单位根检验。
表 1DF 分布百分位数表
DF 检验式Tα
0.010.0250.050.100.900.950.9750.99
25- 2.66- 2.26- 1.95- 1.600.921.331.702.16
50- 2.62- 2.25- 1.95- 1.610.911.311.662.08
(a)100- 2.60- 2.24- 1.95- 1.610.901.291.642.03
检验式
(1)250- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.291.632.01
500- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00
∞- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00
25- 3.75- 3.33- 3.00- 2.63- 0.370.000.340.72
50- 3.58- 3.22- 2.93- 2.60- 0.40- 0.030.290.66
(b)100- 3.51- 3.17- 2.89- 2.58- 0.42- 0.050.260.63
检验式
(2)250- 3.46- 3.14- 2.88- 2.57- 0.42- 0.060.240.62
500- 3.44- 3.13- 2.87- 2.57- 0.43- 0.070.240.61
∞- 3.43- 3.12- 2.86- 2.57- 0.44- 0.070.230.60
25- 4.38- 3.95- 3.60- 3.24- 1.14- 0.80- 0.50- 0.15
50- 4.15- 3.80- 3.50- 3.18- 1.19- 0.87- 0.58- 0.24
(c)100- 4.04- 3.73- 3.45- 3.15- 1.22- 0.90- 0.62- 0.28
检验式 (3)250- 3.99- 3.69- 3.43- 3.13- 1.23- 0.92- 0.64- 0.31
5
500- 3.98- 3.68- 3.42- 3.13- 1.24- 0.93- 0.65- 0.32
∞- 3.96- 3.66- 3.41- 3.12- 1.25- 0.94- 0.66- 0.33
t(∞)N(0,1)- 2.33- 1.96- 1.65- 1.281.281.651.962.33
注:
1. 适用于 DF 检验式
(1),
(2) 和 (3)。
T:
样本容量,α:
检验水平。
2. d.g.p.是 yt = yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)。
3. 摘自 Fuller (1976) 第 373 页。
ˆˆ
ˆˆ
DF 检验式
(2)中 t( μ )的分布见图 11。
t( μ )不再服从 t 分布。
可见对μ的显著性检验
也应该用蒙特卡罗模拟结果计算。
T = 50 条件下,临界值 t( μ )0.05 = -2.57,临界值 t( μ )0.95 =
2.51。
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-4-2024
-4 -2 0 2 4
ˆ
图 11 t( μ )统计量分布的蒙特卡罗模拟(T =50,模拟 1 万次)
当真实的随机过程如
(2)式时,就不能用
(2)式检验单位根了。
因为当 ρ = 0 时,
yt 是一个随机趋势非平稳过程。
根据μ的符号(正或负)分别呈向上或向下的固定趋势变
化。
当ρ < 0 时,yt 是一个以μ / (-ρ )为均值的平稳过程,不含有趋势分量。
所以这种条件
下,用
(2)式检验单位根就没有办法包括零假设和备择假设所有可能结果即不能包括退势
平稳过程,
yt = μ +αt + ut(3)
所以有必要在检验式中加入确定性时间趋势项αt,即用下式检验单位根。
yt = μ +αt + β yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)(4a)
H0:
β =1,H1:
β <1。
检验统计量 DF = (β - 1) s(β ) 或
∆ yt = μ +αt +ρ yt-1 + ut ,ut ~ IID(0, σ2)(4b)
其中ρ = β -1。
H0:
ρ = 0,H1:
ρ < 0。
检验统计量 DF = ρ s(ρ ) = ρ s(β ) 。
其中 β 和 ρ 分
别表示β 和ρ 的 OLS 估计量。
原假设:
α = 0,ρ = 0;
原假设之一:
α = 0,ρ ≠ 0(平稳过程);
原假设之一:
α ≠ 0,ρ ≠ 0(退势平稳过程);
DF 检验临界值应从表 1 第 3 部分查找。
条件是数据由β =1 的
(1)式生成,而 DF 检
验式是(4)式。
ˆˆˆˆ
DF 检验式(4)中 t( μ ), t(α )统计量分布的蒙特卡罗模拟结果见图 12。
t( μ ), t(α )的分
布近似相同,但服从的不是 t 分布,所以不能用通常的 t 分布临界值做显著性检验。
T =100
ˆˆˆ
ˆ
条件下,临界值 t( μ )0.05 = -2.80,临界值 t( μ )0.95 =2.87;临界值 t(α )0.05 = -2.89,临界值 t(
α )0.95 =2.66。
6
0.2
0.15
0.1
0.05
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-6-4-20246
-6 -4 -2 0 2 4 6
ˆˆ
图 12 t( μ ), t(α )统计量分布的蒙特卡罗模拟(T =100,模拟 1 万次)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-6-4-2024
图 13
(1)、
(2)、(4)式中 DF 分布的蒙特卡罗模拟(T =50,模拟 1 万次)与正态分布曲线
数据由β =1 的
(1)式生成,而 DF 检验式是
(1)、
(2)、(4)的 DF 分布的蒙特卡罗
模拟结果见图 13。
从图 13 和表 1 都可以看出检验式中随着μ和αt 项的加入,相应的 DF 分
布或临界值逐渐向左移,即临界值相应变小。
可见在不正确地使用了缺少μ和αt 项的检验
式将导致以过大的概率拒绝零假设。
检验式中加入的确定性成分越多,这种情形越严重。
注意:
(4)式中的ρ 和 DF 的分布不受 y0 和μ值的影响。
若实际过程是(4)式(同时存在随机趋势和确定性趋势)。
这时应该用带有 t2 趋势项
的检验式检验单位根。
但实际中可以排除这种情形。
因为经济序列在取对数的情况下不可
能含有 t2 的增长趋势。
注意:
也可以对(4)式进行联合检验,H0:
α =ρ =0。
但所用的 F 统计量不再服从 F
分布。
而服从如表 2 的分布。
对于检验式(4),若ρ =0 不能被拒绝,但 F 检验的零假设α =ρ =0 被拒绝,这意味着α
≠0,则 yt 是一个确定趋势加单位根过程。
这时随机单位根过程完全被确定性趋势 t 所主
导,对应于ρ的 DF 统计量渐近服从标准正态分布。
这时应该查 t 分布或标准正态分布临界
值表。
表 2对(4)式进行联合检验 H0:
α =ρ =0 的 F 分布表
T
1-α
0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99
250.760.901.081.335.917.248.6510.61
500.760.931.111.375.616.737.819.31
1000.760.941.121.385.476.497.448.73
2500.760.941.131.395.396.347.258.43
5000.760.941.131.395.366.307.208.34
7
∞0.770.941.131.395.346.257.168.27
s.e.0.0040.0040.0030.0040.0150.0200.0320.058
摘自:
Dickey-Fuller(1981)
对于
(2)式也可能发生类似情形。
当ρ =0 被接受,F 检验的零假设μ =ρ =0 被拒绝,
这意味着μ ≠0,于是非平稳单位根过程被随机趋势主导。
对应于ρ的 DF 统计量渐近服从 t
分布。
对
(2)式进行联合检验,H0:
μ =ρ =0。
但所用的 F 统计量不再服从 F 分布。
实际分
布见表 3。
表 3对
(2)式进行联合检验 H0:
μ =ρ =0 的 F 分布表
T
1-α
0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99
250.290.380.490.654.125.186.307.88
500.290.390.500.663.944.865.807.06
1000.290.390.500.673.864.715.576.70
2500.300.390.510.673.814.635.456.52
5000.300.390.510.673.794.615.416.47
∞0.300.400.510.673.784.595.386.43
s.e.0.0020.0020.0020.0020.010.020.030.05
摘自:
Dickey-Fuller(1981)
注意:
当上述两种 F 检验的结论是拒绝零假设 H0:
μ =ρ =0(对
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 单位 检验 结构 突变 理论 方法 应用