最新20泰勒公式汇总.docx
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最新20泰勒公式汇总
20泰勒公式
三、柯西中值定理
上面已经指出,如果连续曲线«SkipRecordIf...»上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么这段弧上至少有一点«SkipRecordIf...»,使曲线在点«SkipRecordIf...»处的切线平行于弦«SkipRecordIf...».设曲线«SkipRecordIf...»由参数方程
«SkipRecordIf...» («SkipRecordIf...»)
表示,其中«SkipRecordIf...»为参数,那么点«SkipRecordIf...»处的切线斜率为
«SkipRecordIf...»
弦«SkipRecordIf...»的斜率为«SkipRecordIf...»
假定点«SkipRecordIf...»对应于参数«SkipRecordIf...»,曲线上点«SkipRecordIf...»处的切线与弦«SkipRecordIf...»平行可表示为
«SkipRecordIf...»
柯西中值定理 如果函数«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»满足
(1)在闭区间«SkipRecordIf...»上连续;
(2)在开区间«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...».
则在开区间«SkipRecordIf...»内至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得
«SkipRecordIf...»
证 根据结论,引进辅助函数
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...»,由罗尔定理知,至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»,可知«SkipRecordIf...»,由上式可得
«SkipRecordIf...»
显然,如取«SkipRecordIf...»,柯西中值定理即为拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理中如果加上条件«SkipRecordIf...»,则为罗尔定理.可见上面三个中值定理,柯西中值定理的结论最一般,拉格朗日中值定理次之,罗尔定理最特殊.
例4 设函数«SkipRecordIf...»,在«SkipRecordIf...»内可导,证明至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».
证 将上式改写为
«SkipRecordIf...»
考虑到«SkipRecordIf...»处的导数,取«SkipRecordIf...»,且当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,对«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上应用柯西中值定理,有
«SkipRecordIf...»
即 «SkipRecordIf...»
第六节泰勒公式
不论是进行近似计算还是理论分析,我们总希望用一些简单的函数来逼近复杂函数,用简单函数逼近(近似表示)复杂函数是数学中的一种基本思想方法。
本节将要介绍的«SkipRecordIf...»定理就是用高阶多项式来逼近具有一定可微性的函数所得到的一个基本定理,在理论研究中和近似计算中有着重要的应用。
一、泰勒公式的建立
在介绍函数的微分时,我们知道当«SkipRecordIf...»,并且«SkipRecordIf...»很小时,有如下的近似的等式
«SkipRecordIf...»
这个近似公式是用线性函数(一次多项式)来近似表示函数«SkipRecordIf...»,这个近似公式具有形式简单、计算方便的特点,但有如下两个不足:
(1)精度不高,计算误差仅仅是«SkipRecordIf...»的高阶无穷小«SkipRecordIf...»;
(2)误差的表达式未知。
现在的问题是:
⑴能否找到一个适当的«SkipRecordIf...»次多项式
«SkipRecordIf...»
来逼近«SkipRecordIf...»并使误差为«SkipRecordIf...»的高阶无穷小?
⑵如果能找到,那么使等式«SkipRecordIf...»成立的«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»应该满足什么样的条件?
也就是«SkipRecordIf...»次多项式«SkipRecordIf...»中的各个系数«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»有何关系?
为了解决上述问题,我们提出如下的假设与要求:
设函数«SkipRecordIf...»在含«SkipRecordIf...»的开区间内具有直到«SkipRecordIf...»阶导数,需要求出一个«SkipRecordIf...»次多项式
«SkipRecordIf...»
要求«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的函数值以及它的直到«SkipRecordIf...»阶导数值与«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的函数值以及它的直到«SkipRecordIf...»阶导数值分别相等,即要求
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
按照这个要求,可以容易地得到«SkipRecordIf...»中的各个系数为
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
于是
«SkipRecordIf...»
上面的多项式«SkipRecordIf...»称为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的泰勒多项式。
下面我们证明用这个泰勒多项式«SkipRecordIf...»来逼近«SkipRecordIf...»得到的误差为«SkipRecordIf...»的高阶无穷小。
定理1(泰勒中值定理)
如果函数«SkipRecordIf...»在含有«SkipRecordIf...»的某个开区间«SkipRecordIf...»内具有直到«SkipRecordIf...»阶导数,那么对于«SkipRecordIf...»,有
«SkipRecordIf...»,
其中
«SkipRecordIf...»
这里的«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间的某个值。
以下证明«SkipRecordIf...»
由泰勒多项式的定义,«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»),
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
这里的«SkipRecordIf...»称为拉格朗日型余项。
当«SkipRecordIf...»时,泰勒公式«SkipRecordIf...»变成了拉格朗日中值公式:
«SkipRecordIf...»(其中«SkipRecordIf...»位于«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间)
所以,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
由定理可知,用泰勒多项式«SkipRecordIf...»近似表达«SkipRecordIf...»时,其误差为«SkipRecordIf...»。
如果对于某个固定的«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,则知道
«SkipRecordIf...»
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,
即用这个泰勒多项式«SkipRecordIf...»来逼近«SkipRecordIf...»得到的误差«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的高阶无穷小。
在公式中,在«SkipRecordIf...»的特殊情况下应用中尤为重要。
此时«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间,因此可以记为«SkipRecordIf...»,从而泰勒公式变成比较简单的形式,称为麦克劳林公式:
«SkipRecordIf...»,
其中«SkipRecordIf...»。
由此得到近似公式:
«SkipRecordIf...»
二、几个常用的泰勒公式
例1求出函数«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»阶麦克劳林公式。
解 «SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
于是«SkipRecordIf...»,(«SkipRecordIf...»).
由这个公式知«SkipRecordIf...»,取«SkipRecordIf...»,即得近似公式
«SkipRecordIf...»
误差为«SkipRecordIf...»
例2求出函数«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»阶麦克劳林公式。
解 «SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»
它们依次取«SkipRecordIf...»,于是按公式有
«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»,(«SkipRecordIf...»)
同理可知函数«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»阶麦克劳林公式为
«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»
函数«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»阶麦克劳林公式为
«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»
函数«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»阶麦克劳林公式为
«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»
泰勒公式中的余项«SkipRecordIf...»可以有多种表达方法,其中前面的拉格朗日型余项表达式的优点在于在近似计算时可以用来估计误差的大小。
然而«SkipRecordIf...»的另外一种表达式,在处理函数极限时非常方便,我们介绍如下:
当«SkipRecordIf...»时,泰勒公式中的余项«SkipRecordIf...»是比«SkipRecordIf...»高阶的无穷小,也就是«SkipRecordIf...»,这时的表达式称为皮亚诺(G.Peano)型余项。
定理2如果函数«SkipRecordIf...»在含有«SkipRecordIf...»的开区间«SkipRecordIf...»内具有直到«SkipRecordIf...»阶的连续导数,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内带有«SkipRecordIf...»阶皮亚诺(G.Peano)型余项的泰勒公式为:
«SkipRecordIf...»
三、泰勒公式的应用
例3求极限«SkipRecordIf...»
解用三阶的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式将«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»表示为
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
于是«SkipRecordIf...»
这说明«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»为等价无穷小,而不能用«SkipRecordIf...»来代替«SkipRecordIf...»,所以
«SkipRecordIf...»
例4求极限«SkipRecordIf...»
解由于分母是«SkipRecordIf...»,所以用二阶麦克劳林公式表示«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
于是
«SkipRecordIf...»
故
«SkipRecordIf...»
小结泰勒公式五个常用的麦克劳林公式利用泰勒公式求极限。
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