第二章相交线与平行线.docx
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第二章相交线与平行线
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角和补角
基础题
知识点1 相交线与平行线
1.在同一平面内两条直线的位置关系可能是()
A.相交B.平行C.平行或相交D.平行且相交
2.如果点P在直线a上,也在直线b上,但不在直线c上,且直线a,b,c两两相交,那么符合以上条件的图形是()
A B C D
知识点2 对顶角
3.(2017·西安期中)如图所示,∠1和∠2是对顶角的是()
A B C D
4.如图,三条直线相交于点O,已知∠AOE=40°,∠DOE=100°,则∠COB=()
A.140°B.100°C.60°D.40°
5.如图是一把剪刀,其中∠1=40°,则∠2=40°,其理由是.
6.如图,直线AB和CD相交于点O,OE平分∠DOB,∠AOC=40°,则∠DOE=.
7.直线AB,CD相交于点O,∠1=35°,∠2=75°,求∠EOB的度数.
知识点3 余角和补角
8.如果α与β互为余角,那么()
A.α+β=180°B.α-β=180°
C.α-β=90°D.α+β=90°
9.如图,∠1+∠2=()
A.60°B.90°C.110°D.180°
10.下面角的图示中,可能与34°互补的是()
11.(2016·茂名)已知∠A=100°,那么∠A的补角为.
12.若∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,则∠A=∠C,_____________
13.(2017·西安期中)若一个角的补角是这个角的余角的3倍,则这个角为多少度?
中档题
14.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3的度数等于()
A.90°B.150°C.180°D.210°
15.(2016·成都校级期中)∠1与∠2互余,∠1与∠3互补,若∠3=125°,则∠2=()
A.35°B.45°C.55°D.65°
16.平面内有两两相交的三条直线,若三条直线最多有m个交点,最少有n个交点,则m+n等于()
A.1B.2C.3D.4
17.如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=3∠3,∠2=75°,则∠4=.
18.如图,将一副三角尺叠放在一起,使直角顶点重合于点O,绕点O任意转动其中一个三角尺,则与∠AOD始终相等的角是
19.如图,要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数,但人不能进入围墙内,如何测量?
20.如图所示,l1,l2,l3相交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.
21.如图,直线AB,CD相交于点O,OE是∠COB的平分线,已知∠EOF=90°,∠AOD=70°.
(1)求∠BOE的度数;
(2)OF平分∠AOC吗?
为什么?
综合题
22.观察如图所示的各角,寻找对顶角(不含平角).
(1)图1中有2对对顶角,图2中有6对对顶角,图3中有对对顶角;
(2)若有n条直线相交于一点,共有对对顶角(用含n的式子表示);
(3)若有2018条直线相交于一点,共有对对顶角.
第2课时 垂直
基础题
知识点1 垂直的定义
1.如图,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数是()
A.35°B.45°C.55°D.70°
2.如图,平面内三条直线相交于点O,∠1=30°,∠2=60°,直线AB与直线CD的关系是()
A.平行B.垂直C.重合D.以上均有可能
3.如图,一棵小树生长时与地面所成的角∠1=80°,它的根深入泥土,如果根和小树在同一条直线上,那么∠2等于.
4.(2016·太原期中)如图,已知OA⊥OB,∠1与∠2互补,试说明:
OC⊥OD.
知识点2 画垂线
5.如图,点P是∠AOB的边OB上的一点.
(1)过点P画OA的垂线,垂足为H;
(2)过点P画OB的垂线,交OA于点C.
解:
如图所示.
知识点3 垂线的性质
6.如图,在线段PA,PB,PC,PD中,最短的是()
A.PAB.PBC.PCD.PD
7.下列说法正确的有()
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.(2016·太原期中)如图,计划把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是
知识点4 点到直线的距离
9.(2016·成都期中)点到直线的距离是()
A.点到直线的垂线段的长度
B.点到直线的垂线段
C.点到直线的垂线
D.点到直线上一点的连线
10.下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是()
11.如图,已知AC⊥BC,CD⊥AB于点D,AC=3,BC=4,则点B到直线AC的距离等于4,点C到直线AB的垂线段是线段
中档题
12.已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是()
A B C D
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是()
A.2.5B.3C.4D.5
14.如图,田径运动会上,七年级二班的小亮同学从C点起跳,假若落地点是D,当AB与CD垂直时,他跳得最远.
15.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM.若∠AOM=35°,则∠CON的度数为.
16.如图所示,O是直线AB上一点,∠AOC=
∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数;
(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
.
17.如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中∠AOF的余角是把符合条件的角都填出来);
(2)图中除直角相等外,还有相等的角,请写出三对:
(3)①如果∠AOD=160°.那么根据对顶角相等可得∠BOC=;
②如果∠AOD=4∠EOF,求∠EOF的度数.
综合题
18.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD.当∠AOC=30°时,试求∠BOD的度数.
解:
①当OC,OD在直线AB同侧时,如图1,∠BOD=90°-30°=60°;
图1图2
②当OC,OD在直线AB异侧时,如图2,∠AOD=90°-30°=60°,∠BOD=180°-∠AOD=120°.
所以∠BOD的度数是60°或120°.
2.2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理
基础题
知识点1 认识同位角
1.下列图中,∠1与∠2是同位角的是()
A B C D
2.如图,直线MN分别交直线AB,CD于点E,F,其中,∠AEF的对顶角是∠BEM,∠BEF的同位角是____.
知识点2 同位角相等,两直线平行
3.(2017·绥化)如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1=55°,下列条件中能判定AB∥CD的是()
A.∠2=35°B.∠2=45°C.∠2=55°D.∠2=125°
4.如图,能够判断直线AB∥CD的条件可以是()
A.∠1=∠4B.∠3=∠2C.∠1=∠3D.∠4=∠2
5.如图所示,用相同直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为.
6.如图所示,请你添加一个条件,使得AD∥BC,你添加的条件为
7.补全下列推理过程:
如图,已知BD平分∠ABC,∠1=25°,∠2=50°.试说明:
ED∥BC.
知识点3 平行公理
8.过直线l外一点A作l的平行线,可以作()
A.1条B.2条C.3条D.4条
9.如果a∥b,b∥c,那么a∥c,这个推理的依据是()
A.等量代换
B.经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
C.平行线的定义
D.平行于同一直线的两直线平行
10.如图,PC∥AB,QC∥AB,则点P,C,Q在一条直线上.理由是
11.如图,P,Q分别是直线EF外两点.
(1)过点P画直线AB∥EF,过点Q画直线CD∥EF;
(2)AB与CD有怎样的位置关系?
为什么?
中档题
12.已知在同一平面内的直线l1,l2,l3,如果l1⊥l2,l2⊥l3,那么l1与l3的位置关系是()
A.平行B.相交C.垂直D.以上全不对
13.如图,直线a,b与直线c分别交于点M,N,∠1=120°,∠2=30°.若使直线a平行于直线b,可将直线a绕点M逆时针旋转()
A.120°B.60°C.30°D.无法确定
14.下列说法中正确的个数是()
①过一点一定有一条直线与已知直线平行;②一条直线的平行线有无数条;③两条不相交的直线叫做平行线;④与一条直线平行的直线只有一条.
A.0B.1C.2D.3
15.如图,∠1=∠2,∠2=∠C,则图中互相平行的直线有
16.如图,直线AB,CD被直线GH所截,且∠AEG=∠CFG,EM,FN分别平分∠AEG和∠CFG.试说明:
EM∥FN.
17.一辆货车在仓库装满货物准备运往超市,驶出仓库门口后开始向东行驶,途中向右拐了50°角,接着向前行驶,走了一段路程后,又向左拐了50°角,如图所示.
(1)此时汽车和原来的行驶方向相同吗?
你的根据是什么?
(2)如果汽车第二次向右拐的角度是40°或70°,此时汽车和原来的行驶方向相同吗?
你的根据是什么?
综合题
18.探索与发现,已知两直线平行,则同位角相等.
(1)若直线a1⊥a2,a2∥a3,则直线a1与a3的位置关系是a1a3,请说明理由;
(2)若直线a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,则直线a1与a4的位置关系是a1a4;(直接填结论,不需要证明)
(3)现在有2018条直线a1,a2,a3,…,a2017,且有a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,请你探索直线a1与a2018的位置关系.
第2课时 利用内错角或同旁内角判定两直线平行
基础题
知识点1 认识内错角、同旁内角
1.(2017·玉林)如图,直线a,b被直线c所截,则∠1与∠2是()
A.同位角B.内错角C.同旁内角D.邻补角
2.下列图形中,∠1与∠2是同旁内角的是()
A B C D
3.如图所示,∠1和∠3是直线,被直线AC所截构成的内错角,∠2和∠4是直线,被直线所截构成的.
知识点2 内错角相等,两直线平行
4.如图,能判定EB∥AC的条件是()
A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE
5.如图,已知∠B=40°,要使AB∥CD,需要添加一个条件,这个条件可以是.
6.如图,CB平分∠ACD,∠1=∠3.试说明:
AB∥CD.
知识点3 同旁内角互补,两直线平行
7.(2016·赤峰)如图,工人师傅在工程施工中,需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD,使其拐角∠ABC=150°,∠BCD=30°,则(C)
A.AB∥BCB.BC∥CDC.AB∥CDD.AB与CD相交
8.如图,已知∠1=120°,要使直线a∥b,则需要具备另一个条件()
A.∠2=60°B.∠2=110°C.∠2=100°D.∠3=100°
9.如图,下列说法中,正确的是()
A.∠A+∠D=180°,所以AD∥BCB.∠C+∠D=180°,所以AB∥CD
C.∠A+∠D=180°,所以AB∥CDD.∠A+∠C=180°,所以AB∥CD
10.如图,装修工人向墙上钉木条.若∠2=100°,要使木条b与a平行,则∠1的度数等于.
11.如图,已知∠ACD=70°,∠ACB=60°,∠ABC=50°.试说明:
AB∥CD.
中档题
12.如图所示,l是l1与l2的截线,找出∠1的同位角,标上∠2,找出∠1的同旁内角,标上∠3,则∠1,∠2,∠3正确的位置图为()
13.(2017·深圳)下列选项中,哪个不可以得到l1∥l2()
(15)
A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠3=∠5D.∠3+∠4=180°
14.若∠1与∠2是两直线被第三条直线所截形成的内错角,则∠1与∠2关系是()
A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.以上都有可能
15.如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB,AC,AE,ED,EC,DB中,相互平行的线段有()
A.4组B.3组C.2组D.1组
16.如图,给出下列四个条件:
①AC=BD;②∠DAC=∠BCA;③∠ABD=∠CDB;④∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC成立的条件是()
A.①②B.③④C.②④D.①③④
17.(2016·淄博)如图,一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.
18.如图所示,光线从空气射入水中,再射出空气中,如果∠1=∠2,∠3=∠4,请你用所学的知识判断光线a,b是否平行,并说明理由.
综合题
19.如图所示,已知∠BED=∠B+∠D,试说明AB与CD的位置关系.
周周练(2.1~2.2)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下面四个图中,∠1=∠2一定成立的是()
A B
C D
2.如图,已知点O是直线AB上一点,∠1=65°,则∠2的度数是()
A.25°B.65°C.105°D.115°
3.如图,点O在直线AB上,且OC⊥OD.若∠COA=36°,则∠DOB大小为()
A.36°B.54°C.64°D.72°
4.如图,下列各语句中,错误的语句是()
A.∠ADE与∠B是同位角B.∠BDE与∠C是同旁内角
C.∠BDE与∠AED是内错角D.∠BDE与∠DEC是同旁内角
5.(2016·成都期中)下列说法正确的是()
A.a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a∥c
B.a,b,c是直线,且a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c
D.a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a⊥c
6.体育课上,老师测量跳远成绩的依据是()
A.平行线间的距离相等B.两点之间,线段最短
C.垂线段最短D.两点确定一条直线
7.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下面的结论中,不正确的是()
A.点B到AC的垂线段是线段CA
B.CD和AB互相垂直
C.AC与BC互相垂直
D.线段AC的长度是点A到BC的距离
8.对于图中标记的各角,下列条件能够推理得到a∥b的是()
A.∠1=∠2B.∠2=∠4
C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知∠α=35°40′,则∠α的余角为,补角为.
10.如图,AC⊥BC,AC=3,BC=4,AB=5,则点B到AC的距离为.
11.如图,已知∠1+∠2=100°,则∠3=.
12.如图,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠AOC=27°,则∠BOD的度数是.
13.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由_____________________
14.已知长方形ABCD中,∠ADB=20°,现将这一长方形纸片沿AF折叠,则当折痕AF与AB的夹角∠BAF为时,AB′∥BD.
三、解答题(共52分)
15.(8分)一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,求这个角的度数.
16.(12分)如图,完成下列推理过程.
(1)已知∠1=108°,∠2=72°,由∠1+∠2=108°+72°=180°,可得AB∥CD,根据是同旁内角互补,两直线平行;
(2)已知∠1=108°,∠3=108°,由∠1=108°=∠3,可得AB∥CD,根据是同位角相等,两直线平行;
(3)已知∠2=72°,∠4=72°,由∠2=72°=∠4,可得AE∥DF,根据是内错角相等,两直线平行.
17.(10分)(2016·江西)如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,将直角三角形ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE,试说明:
DE∥BC.
18.(10分)如图,已知∠1与∠3互余,∠2与∠3的余角互补,问直线l1∥l2吗?
为什么?
19.(12分)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=72°,求∠BOD的度数;
(2)若∠DOE=2∠AOC,判断射线OE,OD的位置关系并说明理由.
2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
基础题
知识点1 两直线平行,同位角相等
1.(2017·海南)如图,直线a∥b,c⊥a,则c与b相交所形成的∠1的度数为()
A.45°B.60°C.90°D.120°
2.(2017·沈阳)如图,AB∥CD,∠1=50°,∠2的度数是()
A.50°B.100°C.130°D.140°
3.(2016·济宁)如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=50°,那么∠2的度数是()
A.20°B.30°C.40°D.50°
4.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于M,N两点,将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若∠EMB=75°,则∠PNM=.
知识点2 两直线平行,内错角相等
5.(2016·桂林)如图,直线a∥b,c是截线,∠1的度数是()
A.55°B.75°C.110°D.125°
6.如图,AB∥CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为()
A.140°B.60°C.50°D.40°
7.(2017·通辽)如图,CD平分∠ECB,且CD∥AB.若∠A=36°,则∠B=°.
8.(2016·郑州期末)如图所示,一艘船从A点出发,沿东北方向航行至B点,再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点,则∠ABC等于.
知识点3 两直线平行,同旁内角互补
9.如图,∠1=65°,CD∥EB,则∠B的度数为()
A.65°B.105°C.110°D.115°
10.(2016·成都期中)如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180°B.270°C.360°D.540°
11.如图,直线AB∥CD,∠1=95°,∠4=70°,则∠3=85°,∠2=.
中档题
12.如图,AB∥CD∥EF,AC∥DF,若∠BAC=120°,则∠CDF=()
A.60°B.120°C.150°D.180°
13.(2017·枣庄)如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是()
A.15°B.22.5°C.30°D.45°
14.如图,直线AC∥BD,AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为()
A.互余B.相等C.互补D.不等
15.如图,点A,C,F,B在同一直线上,CD平分∠ECB,FG∥CD,若∠ECA为α度,则∠GFB为度.(用关于α的代数式表示)
16.(2016·绥化)如图,AB∥CD∥EF,若∠A=30°,∠AFC=15°,则∠C=.
17.(2017·重庆)如图,AB∥CD,点E是CD上一点,∠AEC=42°,EF平分∠AED交AB于点F,求∠AFE的度数.
18.如图,在三角形ABC中,DE∥AC,DF∥AB.试问:
∠A+∠B+∠C=180°这个结论成立吗?
若成立,试写出推理过程;若不成立,请说明理由.
综合题
19.如图1,2,3,若AB∥CD,则
图1中,∠B+∠D=;
图2中,∠B+∠E1+∠D=;
图3中,∠B+∠E1+∠E2+∠D=°.
通过以上练习和你的发现,依次类推,若AB∥CD,则∠B+∠E1+…+∠En+∠D=.
第2课时 平行线性质与判定的综合
基础题
知识点1 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理
1.如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点.若∠1=50°,则∠2等于()
A.60°B.50°C.40°D.30°
2.(2017·宿迁)如图,直线a,b被直线c,d所截.若∠1=80°,∠2=100°,∠3=85°,则∠4度数是()
A.80°B.85°C.95°D.100°
3.(2017·恩施)如图,若∠A+∠ABC=180°,则下列结论正确的是()
A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠3D.∠2=∠4
4.如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC=
5.如图,BC∥DE,∠E+∠B=180°,则AB和EF的位置关系为.
6.(2016·成都期中)已知:
如图所示,AB∥DC,∠ABC=∠ADC,BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC.试说明:
ED∥BF.
7.如图,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D.请你观察图形,写出∠E和∠DFE满足什么数量关系?
并说明理由.
知识点2 利用平行线的性质与判定解决实际问题
8.(2017·邵阳)如图所示,要在一条公路的两侧铺设平行管道,已知一侧铺设的角度为120°,为使管道对接,另一侧铺设的角度大小应为()
A.120°B.100°C.80°D.60°
9.如图,在A,B两地挖一条笔直的水渠,从A地测得水渠的走向是北偏西42°,A,B两地同时开工,B地所挖水渠走向应为南偏东.
10.一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道,甲、乙两工程队分别从山体两侧的A,B两点同时开工,现甲队从A点测得道路的走向是北偏东55°,为了不浪费人力、物力,问乙队在B点处应该按∠β等于多少度开挖,才能够保证隧道准确接通?
中档题
11.如图所示,下列条件不能判定直线a∥b的是()
A.∠
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