测量平差习题.docx
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测量平差习题
第一章观测误差与传播率
第一节观测误差
1、在下列情况下用钢尺丈量距离,使量得的结果产生误差,时判别误差的性质与符号
(1)尺长不准确;
(2)尺长检定过程中,尺长与标准尺长比较产生的误差;
(3)尺不水平;
(4)尺反曲或垂曲;
(5)尺端偏离直线方向;
(6)估读小数不准确;
2、在下列情况下使水准测量中水准尺的读数带有误差,试判别误差的性质与符号:
(1)视准轴与水准轴不平行;
(2)仪器下沉;
(3)读数不准确;
(4)水准尺下沉;
(5)水准尺竖立不直。
=58002'00.0”(无误差)进行
第二节衡量精度的指标
3、为检定某经纬仪的测角精度,对已知精确测定的水平角a
10次观测,其结果为:
试求测角中误差
4、设有两组观测值
Xi和Yi,它们的真误差分别为:
△x:
2,-3,+1,0,+2
△y:
0,+3,+1,-2,+3
5、某距离在相同的观测条件下观测
试求观测量X与Y的方差bx2和by2,哪个测量观测精度高?
437.59
437.61
437.60
437.55
437.59
437.62
437.64
437.62
437.64
437.61
437.69
437.63
437.61
437.62
437.61
437.60
437.56
437.68
437.65
437.58
20次,得独立观测值(单位:
m)为:
试计算该距离的算术平均值X及其方差与中误差估值。
6、有两段距离Si和S2,经多次观测得观测值及其中误差分别为300.00±2cm和600.00土
2cm,试问哪段距离观测精度高?
二距离各次观测值的观测真误差是否相同?
7、有一段距离,其观测值及其中误差为652.48m±9mm。
(1)试估计该观测值的真误差实
际可能出现的范围是多少?
(2)试求该观测值的相对中误差。
8、设有观测值Li的权Pi=2,其方差为bi2=4,又知观测值L2的方差b22=1,试求其权P2及协因数Q11和Q22。
9、在相同的观测条件下(每一测回观测精度相同)观测两个角度得/A=30°00'00〃,/B=60°00'00〃设对/A观测9个测回的权为Pa=i,则对/B观测16个测回的权Pb为多少?
10、在相同的观测条件下,作了4条线路的水准测量,它们的中误差分别为bi=±2mm,b2=±i.5mm,b3=±imm,b4=±0.5mm,令单位权方差为b0=±imm,试求各线路观测高差的权Pi(I=i,2,3,4)。
第二章广义传播律与系统误差的传播
第一节随机向量的协方差阵、协因数阵与权阵
定义
1、
设有观测值向量
L=[L1丄2丄3]T的方差阵为:
0.8
0.2
0.1
DL0.2
0.7
0.3
0.1
0.3
1.0
试写出L1,L2及L3
的方差及协方差bL1L3,b1
L2L3,b
L1L2
2、
已知观测值向量
L=[L1,L2,L3]t的权阵为:
2
10
PL131
012
又知单位权方差b02=32/5,试求协因数阵Ql。
与协方差阵Dl。
3、已知观测值Li与L2的协因数与互协因数Qii=0.17908,Q22=0.16123,Q12=Q21=0.1321,
试写出出其协因数阵QL。
4、已知测站点坐标X和Y的中误差分别为bx=±4.0cm,by=±3.0cm。
(1)若已知X和Y的协方差bxy=9.0cm2,试写出出向量2三=X的方差阵Dz和X
2,1y
与丫的相关系数pxy;
(2)若已知相关系数pxy=-0.50,试求x和y的协方差bxy和方差阵Dz;
(3)设单位权方差为b02=9cm2,求以上两种情况下的协因数阵与权阵。
5、设测站点的平面位置由角度B和距离S给出,已知其中误差=±20〃,bs=±0.10,相关系数p=0.50。
(1)试求向量z=的协方差阵Dz;
S
(2)权方差b02=0.0010m2,试求向量Z的协因数阵Qz和权阵Pz。
6、设某点平面位置由极坐标r和B给出,其中,r为边长,B为角度,已知方差br2=0.0001m2,be2=4.125,协方差bre=0.0371m.(〃)2,令Y=。
(1)试求DY;
(2)若取b02=0.0001m2时,求Qy;
(3)若取b02=4125(")2时,求Qy。
二、协方差估值的计算
7、设有两组观测值Xi与Yi(l=1,2,…9)的真误差分别为:
△Xi:
+2.5,-1.5,-3.5,+3.5,-2.5,-0.5,+5.5,+2.5,-2.5;
△Yi:
-3.0,-7.0,0.0,+3.0,+2.0,0.0,-3.0,+8.0,0.0;
设每组内的观测值勤均为同精度独立观测值勤,试求两组观测值勤的中误差与协方差估值。
8、在某测站上观测三个方向各5测回,得观测值Lii,L2i,L3i(l=1,2,3,4,5)如下:
L1
(°,〃)
L2
(°,〃)
L3
(°,〃)
201030
201029
201032
201033
201029
611819
611817
611816
611821
611820
1250842
1250840
1250841
1250839
1250838
试求观测值L1,L2,L3的方差与其各协方差的估值。
9、设L=[L1,L2,…,Ln],V,=[V1,V2,…,Vn]T,菜沿禺...Xt丁若令
L
ZV
乂
试写出方差阵Dz及互协方差阵DvH。
Pl
试求权PL1与PL2。
及单位权方差b02=2,试求权阵Pl及权P1,P2。
12、设有相关观测值X=[X1,X2]t,已知其权阵
Px
及单位权方差602=1,试求X的方差阵及观测值的权Pl,P2。
13、已知相关观测值2L1的协因数阵
又知L1的协因数Q11=3/2,试求观测值的权阵Pl及权P1,P2。
16、已知相关观测值2L1的方差阵:
21
PL2121
及单位权方差6
02=2,试求方差阵DL。
17、已知观测向量2~=[L1,L2]t,已知其权阵的协方差阵及协因数阵为:
D2162
DLQL
L13QL24
求单位权方差6
02。
四、随机向量组中各随机向量的权阵及协因数阵的计算
18、设有向量3Z,1
X
2,1
=,其中,
Y
1.1
X=
2,1
X1
X2
,已知权阵Pz为
2
0
1
PZ
0
2
1
1
1
2
试求Px,PY及权
Px1,Px2,Py。
19、若令Z=X,其中Y=第,已知权阵Pz为:
Y2,1Y2
2
0
1
PZ
0
2
1
1
1
2
试求Px,Py及PY1,PY2。
20、已知观测值向量3,1的权阵为:
5
2
1
Pl-
2
4
2
8
1
2
5
(1)试问这三个观测值中有无不相关的观测值,指出哪些是不相关的观测值;
x1丫丫1
x2,2,1=丫2
z=
X
丫,权阵Pz为
1
1
0
0
1
2
0
0
Pz
0
0
2
1
0
0
1
3
2111
Qz
1211
1121
1113
试求协因数阵Qx,Qy及权阵Px,Py。
第二节广义传播律
一、线性函数的广义传播律
23、在测站A上以等精度观则了三个方向得观测值L1,L2,L3(见图2-1),其方差均为
d2试求角度a,3和丫的方差及协方差。
L2丄1
L3
24、
设有观测值向量L的协方差阵为:
3,1
2
6
0
Dl0
4
1
2
1
2
(1)试计算线性函数:
X=L1+3L2-2L3及Y=100+5L1-L2/3+L3/4的方差cx2、cy2及协
方差bXY;
(2)设单位权方差bo2=2,试问函数$i=2Li+L2与$2=4.5L2+6L3是否相关。
25、设有独立观测值Li和L2,其中误差为bi=±2.3cm,c2=±1.7cm,是求它们的和数与差数的方差及协方差。
26、已知观测向量£及其协方差阵Dl,试求函数X=AL,Y=BX的协方差阵Dxl,Dyl,及Dxy。
27、
已知观测值向量L1,L2,L3
n1,1n2,1n3,1
及其协方差阵为:
D11
D12
D13
Dl
D21
D22
D23
D31
D32
D33
将Li组成函数:
X=AL1+A0
Y=BL2+B0
Z=CL3+C0
式中,A、B、C为系数阵,Ao、Bo、Co为常数阵,若令向量
Z
试求协方差阵Dw。
28、
设有观测值向量h=[L1,L2,
L3]t,其协方差阵为:
6
1
2
Dl=
1
4
1
2
1
2
试求函数
F=L1+3L2-2L3的方差。
29设有观测量值向量£=[L1,L2,L3]t
及其函数为
1?
=L1-3,Eh12-—,L3=L3-,式
33
中,=Li+L3-L2。
若令|?
=[I?
[?
2?
]T,
2
Dl=2
2
试求l?
的方差阵Dl?
o
S2=6km,S3=4km,设每里观测高差的中误差为km1.0mm。
试求将闭合差3
=(HB-HA)-(hi+h2+h3),按距离成比例分配后P1至P2点间高差的中误差。
31、已知独立观测值L1,L2的中误差均为c,试求函数X=2L1+5,Y=L2-2L2,Z=X+Y的中误差cx,cy,cz。
32、设有随机向量
Y=AX
Z=BY
H=CY+GZ
其中,A,B,C,G为常量矩阵,已知Dx,试求Dy,Dyx,Dyz,Dz,Dzh,Dh。
33、已知观测值向量=[L1,L2]t的协因数阵为:
34、已知观测值向量度2^1=[L1,L2]t的协因数阵为:
12
QL
21
试求函数:
1
1
2
1
Y
L,Z
L,W2YZ
2,1
2
12,1
1
12,1
的协因数阵QY,QYZ,QZ,QYW,QZW,QW。
38、已知同精度独立观测值nL,1的权阵为:
p
p
试求算术平均值X=[L]/n的权Px。
其中,[L]=L1+L2+--+Lno
Y=[PL]/[P]的
DZ。
39、已知不等精度独立观测值Li的权为p(I=1,2,…,n),试求带权平均值权Py。
其中,[P]=p1+p2+…+pno
40、已知随机量Xi,X2的函数及其协因数阵为:
Y=KX1,Z=FX2,
QX1QX1X2
QxQQ,试求协因数阵Qyz及Qzxi。
QX2X1QX2
二、广义传播律的记忆规则
41、设有线性函数Z=FiX+F2Y+Fo,试用广义传播律的记忆规则求协方差阵
42、设有两个函数:
Z=F1X+F2Y+Fo
H=AX+BY+C0
已知Qx,Qxy,Qy,试用协因数传播律的记忆规则求Qzh及Qzx。
43、已知相关观测值向量W
Yz
的协因数阵为
Qx
QxY
Qxz
QW
QYx
QY
QYz
Qzx
QzY
Qz
试用广义传播的记忆规则求函数H=FiX+F2Y+F3Z的协因数阵Qh及Qhx。
44、设有独立观测值向量L,其协因数阵Qll=I,设有函数:
n,1
V=BX-L
X=(BTB)-1BTL
L=L+V
试用广义传播律的记忆规则求协因数阵Qx,Ql及Qvx,Qvl。
45、设有线性函数
F=F1x+F2Y+F3Z+F0
G=G2Y+G3Z+G0
已知Qx,Qy,Qz,Qxy,Qyz,Qxz,试用广义传播律的记忆规则写出Qfg的计算公式。
三、非线性函数的广义传播律
46、已知独立观测值Li,L2的中误差为i和b2,试求下列函数的中误差。
(1)x=L12/2+L1L2;
(2)Y=sinLi/2+sin(Li+L2)。
47、设有函数:
0i=3Li-2L3
202=LiL2+L32
已知观测值3L,i的协因数阵为:
62i
QL240
i03
单位权方差为002=0.2,试求当Li=6,L2=8,L3=i0时,i,2的方差及其协方差。
48、设有独立观测值向量3L,i的协方差阵:
4
0
0
Dl0
3
0
0
0
2
试求函数F=3L2L3的方差。
49、已知观测值向量L=[L1,L2,L3]t,
Li
2
L的权阵
2
1
0
Pl
1
3
1
0
1
2
试求函数Z=sinL2/sinL3的方差bz2。
50、已知角度观测值
Li,L2的中误差为
S2=Sosin(Li+L2)/sinL2
S2。
51已知独立观测值Xi,X2的权为Pi,P2,单位权中误差为b0,试求下列函数的权倒数与
中误差:
(i)Zi=Xi2+XiX2;
(2)Z2=sinXisinX2/sin(Xi-X2)0
53.在图2-7的三角形ABC中测得Aa,。
边长bb,c
c,求三角形面积的中误
差bSo
52.为了计算三角形地块的面积,量测了三角形ABC的一边长及其高,观测值及其中误
54.已边长S及坐标方位角a的中误差为bs和ba,试求坐标增量△X=Scos%,△Y=Ssin
a的方差。
55设有观测值X=[Xi,X2]T的两组函数:
Xi2X;
YiX1y22X2
乙
Z2
Z3
2XiX2
Xi2
3X;
21
已知DX12,令Y=[Y
1,Y2]T,Z=[Z1,Z2,Z3]T。
YiY2,;Z2
(1)试求Dy,Dyx,Dyz及
(2)若ao2=2,试求Qx及Qyx。
56设有同精度独立观测值3=[31,
YiSab
Y2Tab
其中,Tab和Sab为无误差的已知值,试求cYi2,cY22及cY1Y2。
32,33]T的函数:
sin1
sin3
2
设已知测角中误差为c3=±1”
57设有同精度独立观测值3=[31,
32,33]T的函数:
XSab—
sin
已知SAB=2000m(无误差),Tab=120°00'00”(无误差
3i=60°,
1COS(Tab
2
3)
p”=206*103,观测值及其中误差为
i
58设有观测值
、..3s,试求的△X值及其中误差c
L=[L1丄2]t的两组函数:
Y1l23
Y23L1L22
Zi
Z2
2L2
Li3
△X。
已知dl2
1
1,若令Y=[Y
2
1,Y2]T,Z=[Z1,Z2]T,
(1)试求Dy,Dyz,Dyl;
(2)当Li=2,L2=1时,求
y1y2,YZt,yil1
的值
第三节广义传播律在测量上的应用
59设用长为30m的钢尺量得正方形地块的一边边长为
a=72.518m,其中误差ca=±
0.015m,如果钢尺的实际长度短了0.020m,试求该正方形地块的实际面积S'及其中误差
(TS'。
60有一梯形地块ABCD,其尺寸如图所示为求出距离A点为d处梯形的高h,测得距离
d=20m,其中误差为bd=±1.6cm,试求计算值h及其中误差ch。
(提示:
先要以A点为原点,设立直角坐标系,列出CD边的直线方程式)
D
B
AC=15m
AB=60m
BD=45m
61某距离分三段丈量,每段丈量次数不等,取其简单平均值作为每一段长度,然后由各段
长度平均值求和得该距离。
各段观测值如下:
编号
第1段长(m)
第2段长(m)
第3段长(m)
1
234.615
319.642
887.177
2
234.633
319.617
887.151
3
319.649
887.186
4
319.626
如果每100米长度丈量的中误差均为0.01m。
各段长度每一次观测值的方差与其长度成正
比,试计算该距离全长X及其中误差cx。
62观测矩形水库的底面,得独立观测值L1和L2,其中底面长L1=85m,宽L2=60m,其观
测精度为cL1=±7mm,cL2=±5mm,试求水库底面面积的中误差cs。
63设有两段距离,S1=300m,由3次丈量的结果取平均值而得,S2=500m,由5次丈量的
结果取平均值而得。
设每100m一次丈量的权为单位权,其中误差为c0=±2cm
(1)试求每段距离平均值的权PS1和PS2;
(2)哪一段距离的精度高。
64已知AB=100m,丈量一次的权为2,丈量4次取平均值的中误差为土2cm,CD=150m,丈量一次的权为0.5,其共量16次取平均,试求其平均值的中误差ccd。
65已知量100m长的距离一次,其权为1.5。
问
(1):
丈量300m长的距离一次的权是多少?
(2)对300距离需丈量几次,其平均值的权等于4。
66某距离S用不同仪器进行不等精度测量,得独立观测值Si及其中误差ms(i=1,2)为
550.253m±0.03m及550.246m±0.05m,试求该距离的加权平均值及其中的误差。
67在水准测量中,每站观测高差的中误差均为土1cm,今要求从已知点推算待定点的高程
中误差不大于土5cm,问可设多少站?
68有一角度测20测回得中误差为土0.42”,问再增加多少测回,其中误差为土0.28”
69在相同的观测条件下进行四条路线的水准测量,它们的长度分别为Si=10.5km,
S2=8.8km,S3=3.9km,S4=15.8km,试求各线路的权之比。
70应用水准测量测定了三角点A、B、C之间的高差,设该三角形边长分别为Si=10km,
S2=8km,S3=4km,令40km的高差观测值为单位权观测,求各段高差的权。
71已知距离AB=100m,丈量一次的权为2。
丈量4次平均值的中误差为土2cm,距离CD=400m,丈量16次,其中每100m丈量一次的精度同AB距离的精度,试求距离CD的中误差bCDo
72某一距离分成三段各往返测量一次,其结果列下表,若令1km距离往、返测量平均值
的权为单位权,试求
(1)该距离最佳估值;
(2)单位权中误差(1km往返高差平均值的中误差);
(3)全长一次测量中误差;
(4)全长平均值的中误差;
(5)第二段一次测量的中误差。
观测值见下表:
段号
往测(m)
返测(m)
1
1000.009
1000.007
2
2000.011
2000.009
3
3000.008
3000.010
73有一水准路线分三段进行测量,每段均作往返观测,其观测值见下表
路线长度
往测咼差(m)
返测咼差(m)
2.2
2.563
2.565
5.3
1.517
1.513
1.0
2.526
2.526
试求:
(1)1km观测高差中数的中误差;
2)
3)
4)
5)
各段一次观测高差的中误差;各段高差平均值的中误差;全长一次观测高差的中误差;全长高平均值的中误差。
第三章平差函数模型及条件方程线性化
第一节条件平差函数模型
1试确定图3-1中各水准网按条件平差时条件方程式的个数。
A
2试确定图
3-2中各图形按条件平差时条件方程式的个数。
C
P3
S3
P4
P2
图3-2
3试列出图3-3的水准网中按条件平差平差函数模型。
4在图3-4
图3-3
的测角网中,已知
EF边的坐标方位角为Tab及Tef,观测值向量
AB边及
B,
X
3,1
P3
2,试按条件上平差列出条件方程式。
第二节间接平差函数模型
6在图3-6水准网中,A点为已知水准点,Pi,P2,P3为待定点,观测高差向量
为~~i~2~3~4~5T,现选取Pi,P2,P3点高程为未知以参数
〜〜〜T
XiX2X3,试列出间接平差函数模型。
图3-6
7在图3-7的测边网中,
A,
B点为已知点,
Pi,P2点为待定点,观测值为Si(i=1,2,….5),
〜T
现选取待定点坐标为
X
X1¥X2
丫2,试列出间接平差函数模型。
B
P3,P4为待定点,观测高差为
TT
X4hih2h9hio,
8在图3-8的水准网中,A,B点为已知水准点,Pi,P2,
hi(i=1,2,……10),若选未知参数为XXiX2X3
4,1
试列出观测方程。
B
A,B,C点为已知三角点,
9在图3-9的测角网中,
i(i=1,2,….5)。
若选P点坐标为未知参数,
P点为待定点,角度观测值为B
〜T
Yp,试列出观测方程。
Xi
Xp
P
第四章条件平差
第一节条件差原理
1在图4-1中,已知A,B点高程为HA=62.222m,HB=61.222m,观测高差值及路线长度如下:
h1=-1.003m,
h
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