集合的概念难题汇编附答案.docx
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集合的概念难题汇编附答案.docx
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集合的概念难题汇编附答案
2013年9月犀利哥的高中数学组卷
一•选择题(共ii小题)
1.(2011?
广东)设S是整数集Z的非空子集,如果?
a,b€S有ab€S,则称S关于数的乘法是封闭的,若T,V是
Z的两个不相交的非空子集,TUV=Z,且?
a,b,c€T,有abed;?
x,y,z€V,有xyz€V,则下列结论恒成立的
是()
A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的
C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的
2.(2007?
湖北)设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x€P,且x?
Q},如果Q={x||x—2|
v1},那么P—Q等于()
A.{x|0vxv1}B.{x|0vxW}C.{x|1纟v2}D.{x|2^xv3}
3.(2010?
延庆县一模)将正偶数集合{2,4,6,从小到大按第n组有2°个偶数进行分组如下:
第一组第二组第三组…
4}ie.已10,12]114,16-20,22,24(26:
26}…
则2010位于()
A.第7组B.第8组C.第9组D.第10组
4.(2009?
闸北区一模)设A是整数集的一个非空子集,对于k€A,如果k—1?
A且k+1?
A,那么k是A的一个孤
立元”给定A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中,只有一个孤立元"的集合共有()
A.10个B.11个C.12个D.13个
2、
2},B={x||x+ax+1|=1},且A*B=1,由a的所有可能值构成的集合是
6.(2013?
宁波模拟)设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={a1,a2,a3}是S的子集,且a1,a2,a3
满足a1va2va3,a3—a2詬,那么满足条件的集合A的个数为()
A.78B.76C.84D.83
7.下列命题正确的有()
(1)很小的实数可以构成集合;
(2)集合{y|y=x2—1}与集合{(x,y)|y=x2—1}是同一个集合;
(3)1,丄,|-丄.0.5这些数组成的集合有5个元素;
242
(4)集合{(x,y)|xyW),x,y€R}是指第二和第四象限内的点集.
A.0个B.1个C.2个
9.定义A?
B={z|z=xy+二x€A,y€B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1}.则集合(A?
B)?
C的所有元素V
之和为()
D.27
C.18
11.设集合P={x|x=2k-1,
k€Z},集合Q={y|y=2n,n€Z},若x0€P,y0€Q,a=x0+y0,b=x0?
y0,则(
A.a€P,b€Q
B.a€Q,b€P
C.a€P,b€P
D.a€Q,b€Q
二.填空题(共14小题)
12.(2004?
虹口区一模)定义集合A,B的一种运算*”,A*B={p|p=x+y,x€A,y€B}.若A={1,2,3},B={1,
2},则集合A*B中所有元素的和.
13.(2011?
上海模拟)已知集合A={s|—<0},且23,3?
A,则实数a的取值范围是
14.集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x€A时,若x-1?
A,x+1?
A,则称x为A的一个孤立元素”,那么S中无孤立元素”的4元子集的个数是.
15.(2006?
四川)非空集合G关于运算®满足:
(1)对任意的a,b€G,都有a®b€G,
(2)存在e€G,都有a®e=e®a=a,则称G关于运算®为融洽集”.现给出下列集合和运算:
1G={非负整数},®为整数的加法.
2G={偶数},①为整数的乘法.
3G={平面向量},®为平面向量的加法.
4G={二次三项式},®为多项式的加法.
5G={虚数},®为复数的乘法.
其中G关于运算①为融洽集”的是.(写出所有融洽集”的序号)
16.(2012?
安徽模拟)给定集合A,若对于任意a,b€A,有a+b€A,则称集合A为闭集合,给出如下五个结论:
1集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
2正整数集是闭集合;
3集合A={n|n=3k,k€Z}是闭集合;
4若集合A1,A2为闭集合,则A1UA2为闭集合;
5若集合A1,A2为闭集合,且A1?
R,A2?
R,则存在c€R,使得c?
(A1UA2).
其中正确的结论的序号是.
17.(2011?
绵阳三模)设集合A?
R,对任意a、b、c3,运算®具有如下性质:
(1)a®b3;
(2)a®a=0;(3)(a®b)®c=a®c+b®c+c
给出下列命题:
10€A
2若1€A,则(1®1)®1=0;
3若a€A,且a®0=a,则a=0;
4若a、b、c^A,且a®0=a,a®b=c®b,贝Ua=c.
其中正确命题的序号是__(把你认为正确的命题的序号都填上).
18.已知集合A={a1,a2,…,an,n€N且n>2},令TA={x|x=ai+aj},ai3,aj€A,1£孕令,card(TA)表示集合
Ta中元素的个数.
1若A={2,4,8,16},贝Ucard(TA)=;
2若ai+1-ai=c(1£-1,c为非零常数),贝Ucard(TA)=.
19.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1,S2,…,Sk都是M的含两个元素的子集,且满足:
对任意的S={ai,bi},
Sj={aj,bj}(i舟,i、j€{1,2,3,…,k}),都有’丨.・1_i'i.'■’(min{x,y}表示两个数x,y中
的较小者),则k的最大值是.
若xO€A,且f[f(x0)](A,贝Ux0的取
B
21.(文)设集合A?
R,如果x0駅满足:
对任意a>0,都存在x€A,使得0v|x-x0|va,那么称x0为集合A的聚点.则在下列集合中:
(1)Z+UZ-
(2)R+UR-(3)「十匚八■宀
(4)£|応『}
以0为聚点的集合有(写出所有你认为正确结论的序号).
22.用描述法表示图中的阴影部分(包括边界)
////{
2
23.设E(忌门I(x-y)依二0}出]3y)llv|=l],则aab用列举法可表示为.
24.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,即■■--1+■■-■,其中a,b€Q.则下列元素:
①-••:
;②:
;
3
25.用列举法表示集合:
K二5|#"€孔niE2〕=_一
「_如④列6_毎+后丽.其中是集合M的元素是_一.(填序号)
三.解答题(共5小题)
26.(2007?
北京)已知集合A={ai,a2,…,ak(k丝)},其中ai€Z(i=1,2,…,k),由A中的元素构成两个相应
的集合:
S={(a,b)|a€A,b€A,a+b3},T={(a,b)|a€A,b€A,a-b^A}.其中(a,b)是有序数对,集合
S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的a€A,总有-a?
A,则称集合A具有性质P.
(I)检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合,写出相应的集合S和T;
(II)对任何具有性质P的集合A,证明:
一
叫2
(III)判断m和n的大小关系,并证明你的结论.
27.对于集合A={x|x=m2-n2,m€Z,n€Z},因为16=52-32,所以16€A,研究下列问题:
(1)1,2,3,4,5,6六个数中,哪些属于A,哪些不属于A,为什么?
(2)
28.已知集合A={x|x=m+n_】,m,n€Z}.
x2=I.:
(2)任取X1,X2€A,试判断X1+X2,X1?
X2与A之间的关系.
(1)设X1=
X3=(1-302,试判断X1,X2,
X3与集合A之间的关系;
讨论集合B={2,4,6,8,…,2n,•••}中有哪些元素属于A,试给出一个一般的结论,不必证明.
p-1
29.已知集合A的全体元素为实数,且满足若a€A,则€A.
a+1
(1)若a=2,求出A中的所有元素;
(2)0是否为A中的元素?
请再举例一个实数,求出A中的所有元素;
(3)根据
(1)、
(2),你能得出什么结论?
30.设非空集合S具有如下性质:
①元素都是正整数;②若x€S,则10-x◎.
(1)请你写出符合条件,且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个;
(2)
S;若不存在,请说明理由;
S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?
是否存在恰有6个元素的集合S?
若存在,写出所有的集合
(3)由
(1)、
(2)的解答过程启发我们,可以得出哪些关于集合
2013年9月犀利哥的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一•选择题(共ii小题)
1.(2011?
广东)设S是整数集Z的非空子集,如果?
a,b€S有ab€S,则称S关于数的乘法是封闭的,若T,V是
Z的两个不相交的非空子集,TUV=Z,且?
a,b,c€T,有abed;?
x,y,z€V,有xyz€V,则下列结论恒成立的
是()
A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的
C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的
考点:
元素与集合关系的判断.
专题:
压轴题;阅读型;新定义.
分析:
本题从正面解比较困难,可运用排除法进行作答•考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T,V
的并集,如T为奇数集,V为偶数集,或T为负整数集,V为非负整数集进行分析排除即可.
解答:
解:
若T为奇数集,V为偶数集,满足题意,此时T与V关于乘法都是封闭的,排除B、C;
若T为负整数集,V为非负整数集,也满足题意,此时只有V关于乘法是封闭的,排除D;
从而可得T,V中至少有一个关于乘法是封闭的,A正确
故选A.
点评:
此题考查学生理解新定义的能力,会判断元素与集合的关系,是一道比较难的题型.
2.(2007?
湖北)设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x€P,且x?
Q},如果P二丘|1一-<0},Q={x||x-2|
v1},那么P-Q等于()
A.{x|0vxv1}B.{x|0vxW}C.{x|1纟v2}D.{x|2^xv3}
考点:
元素与集合关系的判断;绝对值不等式的解法.
专题:
计算题•
分析:
首先分别对P,Q两个集合进行化简,然后按照P-Q={x|x€P,且x?
Q},求出P-Q即可.
解答:
解:
•••片{訂1-ZVQ}
化简得:
P={x|0vxv2}
而Q={x||x-2|v1}
化简得:
Q={x|1vxv3}
•••定义集合P-Q={x|x€P,且x?
Q},
/•P-Q={x|0vxW}
故选B
点评:
本题考查元素与集合关系的判断,以及绝对值不等式的解法,考查对集合知识的熟练掌握,属于基础题.
3.(2010?
延庆县一模)将正偶数集合{2,4,6,从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下:
第一组第二组第三组…
检,4}已10,12^114,16-20,2為24,2鱼28}…
则2010位于()
D.第10组
A.第7组
考点:
元素与集合关系的判断;集合的表示法;等差数列;等比数列.
专题:
计算题.
分析:
首先将正偶数集合按大小顺序排列是一个等差数列,先求出2010是此数列中的第几项,然后按第n组有2n
个偶数进行分组,每组中集合元素的个数正好是等比数列,求出
解答:
解:
正偶数集按从小到大的顺序排列组成数列2,4,6・・2n
2n=2010,n=1005
由第一组{2,4}的元素是2个
第二组{6,8,10,12}的元素是4个
第三组{14,16,18,20,22,24,26,28}的元素是8个
第m组的元素是2n个2+4+8+・・+2n=「「I’=2m+1-2
1-2
2m+1-2V1005,解得2mV503.5
m€z,28=256,29=512,256V503.5V512
所以,m=9,
故选C.
点评:
此题表面是一个集合题,实际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和公式,但过程中一定要思路清晰,否则容易出错.
4.(2009?
闸北区一模)设A是整数集的一个非空子集,对于k€A,如果k-1?
A且k+1?
A,那么k是A的一个孤
立元”给定A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中,只有一个孤立元"的集合共有()
解:
孤立兀”是1的集
合:
{1};
{1
3,
4};
{1
4,
5};
{1,3,4,5};
孤立兀”是2的集合:
{2};{2,
4,
5};
孤立兀是3的集合:
{3};
孤立兀”是4的集合:
{4};{1,
2,
4};
孤立兀”是5的集合:
⑸;{1,
2,
5};
{2,
3,
5};
{1,
2,3,5}.
点评:
本题考查的是集合知识和新定义的问题.在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性,与集合子
A.10个B.11个C.12个D.13个
考点:
兀素与集合关系的判断.
专题:
综合题;压轴题.
分析:
本题考查的是新定义和集合知识联合的问题.在解答时首先要明确集合A的所有子集是什么,然后严格按
照题目当中对孤立元”的定义逐一验证即可.当然,如果按照孤立元”出现的情况逐一排查亦可.
解答:
5.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义
A*B=
pCA)-C(&);当C(A)(B)
(c(B)-c(A)(当C(A) ,若A={1, 集个数、子集构成的规律.此题综合性强,值得同学们认真总结和归纳. S,那么C(S)等于( 2、 2},B={x||x+ax+1|=1},且A*B=1,由a的所有可能值构成的集合是 考点: 兀素与集合关系的判断. 专题: 计算题;压轴题;新定义;分类讨论. 分析: 根据A={1,2},B={x||x2+ax+1|=1},且A*B=1,可知集合B要么是单兀素集合,要么是三兀素集合,然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论,即可求得a的所有可能值,进而可求C(S). 解答: 222 解: |x+ax+1|=1? x+ax+1=1或x+ax+1=-1,即x2+ax=0① 或x2+ax+2=0②, •/A={1,2},且A*B=1, •••集合B要么是单元素集合,要么是三元素集合, 1°集合B是单兀素集合,则方程①有两相等实根,②无实数根, •a=0; 2集合B是三兀素集合,则 方程①有两不相等实根,②有两个相等且异于①的实数根, 即]仔,解得a=塑应, lLA=a2-3=0 综上所述a=0或a=±^2, •C(S)=3. 故选B. 点评: 此题是中档题•考查兀素与集合关系的判断,以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用. 6.(2013? 宁波模拟)设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={ai,a2,as}是S的子集,且ai,a2,a3满足aiva2va3,a3-a2詬,那么满足条件的集合A的个数为() A.78 B.76C.84D.83 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 从集合S中任选3个兀素组成集合A,一个能组成Cg3个,再把不符合条件的去掉,就得到满足条件的集合A的个数. 解答: 解: 从集合S中任选3个兀素组成集合A,一个能组成Cg3个,其中A={1,2,9}不合条件,其它的都符合条件,所以满足条件的集合A的个数Cg3-仁83. 故选D. 点评: 本题考查兀素与集合的关系,解题时要认真审题,仔细思考,认真解答. 7.下列命题正确的有() (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合; (3)1,丄,|-丄|.0.5这些数组成的集合有5个元素; 242 (4)集合{(x,y)|xy切,x,y€R}是指第二和第四象限内的点集. A.0个B.1个C.2个D.3个 考点: 集合的含义. 专题: 计算题. 分析: (1)(3)中由集合兀素的性质: 确定性、互异性可知错误; (2)中注意集合中的兀素是什么;(4)中注意 x=0或y=0的情况. 解答: 解: (1)中很小的实数没有确定的标准,不满足集合兀素的确定性; (2)中集合{y|y=x-1}的兀素为头数,而集合{(x,y)|y=x-1}的兀素是点; (3)有集合兀素的互异性这些数组成的集合有3个兀素; (4)集合{(x,y)|xyO,x,y€R}中还包括实数轴上的点.故选A 点评: 本题考查集合兀素的性质和集合的表示,属基本概念的考查. 关系的集合的个数为( ) A.15 B.16 &若x€A则一€A,就称A是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, C.28 一,1,2,34}的所有非空子集中,具有伙伴 考点: 元素与集合关系的判断.专题: 综合题;压轴题;新定义.分析: 先找出具有伙伴关系的元素: - 一、2, 、3共四组,它们中任一组、 二组、三组、四组均可组成非 空伙伴关系集合, 利用组合知识求解即可. 解: 具有伙伴关系的元素组有- 1,二、2, 、3共四组,它们中任 组、 二组、三组、四组均可组成非 空伙伴关系集合, 个数为C41+C42+C43+C44=15 故选A 点评: 本题考查集合的子集问题、排列组合等知识,考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力. 9.定义A? B={z|z=xy+匚x€A,y€B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1}.则集合(A? B)? C的所有元素V 之和为() A.3B.9C.18D.27 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 新定义. 分析: 首先根据题意,求出A? B中的元素,然后求出(A? B)? C中所含的元素,最后求和即可. 解答: 解: 由题意可求 (A? B)中所含的元素有0,4,5, 贝卩(A? B)? C中所含的元素有0,8,10, 故所有元素之和为18. 故选C 点评: 本题考查元素与集合关系的判断,通过集合间的关系直接判断最后求和即可,属于基础题. 10.已知元素为实数的集合A满足条件: 若施A,则厂: -: .,那么集合A中所有元素的乘积为() A.-1B.1C.0D.±1 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 分析: 解答: 计算题;新定义. 根据若,则;■-■: .依据定义令a^-代入|[进行求解,依次进行赋值代入 把集合A中元素所有的形式全部求出,再求出它们的乘积. 解: 由题意知,若a€A,则 1-丄 14-al 1 ;令a= 1 •代入 1-Fa. a _a_1 1-a i1+a 1_l-a a — a 1-a 岸 a a+1 ,代入 I'[进行化简, 14-a ,代入 },则所有元素的乘积为 令a=-- 1 a~1 a+1 =a, 1, 点评: 本题主要考查集合的应用,题目比较新颖,以及阅读题意的能力,有一定的难度,主要对集合元素的理解. 11.设集合P={x|x=2k-1,k€Z},集合Q={y|y=2n,n€Z},若xO€P,yO€Q,a=xO+yO,b=xO? yO,则() A.a€P,b€QB.a€Q,b€PC.a€P,b€PD.a€Q,b€Q 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 据集合中元素具有集合中元素的属性设出xo,y0,求出xO+yO,x0? y0并将其化简,判断其具有Q,P中哪一 个集合的公共属性. 解答: 解: Txo€P,yo€Q, 设xo=2k-1,yo=2n,n,kCZ, 则xo+yo=2k-1+2n=2(n+k)-1€P, xOyO=(2k-1)(2n)=2(2nk-n),故xOyO€Q. 故a€P,b€Q, 故选A. 点评: 本题考查集合中的元素具有集合的公共属性、元素与集合关系的判断、等基础知识,考查化归与转化思想.属 于基础题. 二.填空题(共14小题) 12.(2004? 虹口区一模)定义集合A,B的一种运算*”,A*B={p|p=x+y,x€A,y€B}.若A={1,2,3},B={1,2},贝燦合A*B中所有元素的和14. 考点: 集合的含义. 专题: 新定义. 分析: 由A*B={p|p=x+y,xCA,y€B},A={1,2,3},B={1,2},知A*B={2,3,4,5},由此能求出集合A*B中所有元素的和. 解答: 解: TA*B={p|p=x+y,x3,y€B}. A={1,2,3},B={1,2}, •••A*B={2,3,4,5}, 2+3+4+5=14. 故答案为: 14. 点评: 本题考查集合的概念,解题时要认真审题,注意
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