离散型随机变量的数字特征课堂笔记Word文档格式.docx
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前面讨论了离散型随机变量的概率分布,它完整地
描述了随机变量的概率性质,而数字特征则是由概
率分布所决定的常数,它刻划了随机变量的某一方
面的性质。
在这些数字特征中,最常用的是
期望和方差
这一节主要介绍离散型随机变量的数学期望和方差.
引例有甲、乙两射手,他们的射击技术如下表:
甲:
击中环数
8
9
10
频率
30%10%
60%
乙:
89
20%50%
30%
问哪一个射手
水平较高?
问题:
平均值可以怎样算?
1.已知有n个数x1,x2,⋯xn,则
算
术
平
均
n
2.如果这n个数据中的不同数据有k个
且每个数据出现的频数分别是n1,n2,⋯nk
则有
kk
ni=1i=1
ni
k
=∑xifi
i=1
加
权
1n
∑=i1xi
1
引例解
8⋅0.3+9⋅0.1+10⋅0.6=9.3,
8⋅0.2+9⋅0.5+10⋅0.3=9.1,
可见甲的水平高些。
如果已知离散型随机变量X的概率分布,如何求X的
平均值?
频
率
稳定值
概率
x=∑xifi
i=1
频率替换为概率
x=∑xipi或x=∑xipi
i=1i=1
一、数学期望的定义
定义2.5设离型随机变量X的概率分布为
P{X=xi}=pi,i=1,2,⋯
∞
若级数
∑xipi
绝对收敛,
则称之为X的数学期望或均值,记为E(X),即
E(X)=∑xipi
例2.10见教材P53.表2-4
例2.11见教材P54.例5
例2.12如果X的概率分布列如下
X
P
-1
0.3
0.4
3
1)判断Y=2X+1,Z
2)写出其概率分布
3)求各自的数学期望
2
=X是否为离散型随机变量
二、数学期望的性质
定理2.1设X是一随机变量,g(.)是一实值函数,g(X)
也为随机变量。
定理2.2设X是一随机变量,分布列为
pi=P(X=xi)(i=1,2,…)
g(X)
E[g(X)]=∑g(xi)pi
性质2.1
E(kX+c)=kE(X)+c
1.E(c)=c
(数学期望具有线性性质)
2.E(X+c)=E(X)+c
3.E(kX)=kE(X)
如果g(X)的数学期望+∞存在,则g(X)的数学期望为
性质2.2
推广情形
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(X1+X2+⋯+Xn)
=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)
期望值是代表随机变量取值的集中程度的“数量指
标”,反应了随机变量的平均值,但数学期望毕竟
只能反映平均值,有很大的局限性。
在某些场合,
仅仅知道平均值是不够的。
以手表的日走时误差为
例:
如果有甲乙两种牌号的手表,它们的日走时误差
分别为X1和X2,各具有如下的分布列:
⎛X1−101⎞
⎝pk0.10.80.1⎠⎧E(X1)=0
⎨
⎛X2−2−1012⎞⎩E(X2)=0
⎝pk0.10.20.40.20.1⎠
如何判断两种手表的优劣?
⎟⎜
⎟⎜
是否可以用一个指标来衡量一个随机变量离开它的
期望值E(X)的偏离程度?
如果X是要讨论的随机变量,E(X)是它的数学期
望,这时|X−E(X)|就衡量了随机变量X和它的期望
值E(X)之间偏差的大小。
但是绝对值运算有许多不
便之处,人们便用
[X−E(X)]2去衡量这个偏
差。
但是
[X−E(X)]2是一个随机变量,
应该用它的平均值,即用
这个数值来衡量X离开它的平均值E(X)的偏离程
度,
为此,引入下述定义
三、方差的定义
定义2.6设离散型随机变量X的概率分布为
P{X=xi}=pi,i=1,2,⋯
∑(xi−E(X))
pi
收敛,
则称之为X的方差,记为D(X),即
D(X)=∑(xi−E(X))pi=E(X−E(X))
例2.13见教材P63.例3
例2.14见教材P64.例4
定理2.3设X是一随机变量,分布列为
pi=P(X=xi)
如果其方差存在,则其方差为
22
例2.15见教材P65.例7
(i=1,2,…)
四、方差的性质
性质2.3
1.D(c)=0
2.D(X+c)=0
)()(XDkckXD=+(方差不具有线性性质)
)()(.3XDkkXD=
例2.16见教材P83.例11,例13
作业:
P84,2.05;
P85,2.08
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