数学教案正方形 探索式教学示例八年级数学教案.docx
- 文档编号:10525464
- 上传时间:2023-05-26
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:28.25KB
数学教案正方形 探索式教学示例八年级数学教案.docx
《数学教案正方形 探索式教学示例八年级数学教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学教案正方形 探索式教学示例八年级数学教案.docx(22页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
数学教案正方形探索式教学示例八年级数学教案
数学教案-正方形探索式教学示例_八年级数学教案
教学引入 师:
教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话:
把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。
现在请同学们拿出一个长方形纸条,按动画所示进行折叠处理。
动画演示:
场景一:
正方形折叠演示
师:
这就是我们得到的正方形。
下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规,我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。
请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。
[学生活动:
各自测量。
]
鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较,找出共同点。
讲授新课
找一两个学生表述其结论,表述是要注意纠正其语言的规范性。
动画演示:
场景二:
正方形的性质
师:
这些性质里那些是矩形的性质?
[学生活动:
寻找矩形性质。
]
动画演示:
场景三:
矩形的性质
师:
同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。
[学生活动;寻找菱形性质。
]
动画演示:
场景四:
菱形的性质
师:
这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。
及时提出问题,引导学生进行思考。
师:
根据这些性质,我们能不能给正方形下一个定义?
怎么样给正方形下一个准确的定义?
[学生活动:
积极思考,有同学做跃跃欲试状。
]
师:
请同学们回想矩形与菱形的定义,可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。
学生应能够向出十种左右的定义方式,其余作相应鼓励,把以下三种板书:
“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
”
“有一个角是直角的菱形叫做正方形。
”
“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
”
[学生活动:
讨论这三个定义正确不正确?
三个定义之间有什么共同和不同的地方?
这出教材中采用的是第三种定义方式。
]
师:
根据定义,我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。
动画演示:
场景五:
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
场景六:
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的性质关系
师:
当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图(图1)表示:
图1
师:
请同学们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系以及平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的性质关系整理在笔记本上。
例题讲解
例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:
BG=CE
分析:
据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.
证明:
∵四边形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC∴BG=CE
图2
说明:
应用正方形的性质,可以为证明全等提供条件,要注意等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。
巩固练习
巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。
讲解新课
师:
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形,那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形?
生:
证一组邻边相等。
师:
怎么判定一个菱形是正方形?
生:
证有一个角是直角。
师:
怎么判定一个平行四边形是正方形?
生:
根据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。
师:
那么,刚才的结论如果用图来表示,是不是如图2所示?
师:
图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。
这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但似乎有缺憾,能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全?
[学生活动:
积极思考,部分学生疑惑不解。
]
师点取上等学生回答问题,根据回答得图4。
生恍然大悟。
学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路,并要求其举出简单示例。
就势跟进,要求学生思考,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?
要求给出简单图例,并说出相应证明思路。
为进一步理解正方形的判定方法,可研究以下几个问题:
(1)对角线相等的菱形是正方形吗?
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?
(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?
若不是,还需增加什么条件?
(4)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?
”
(5)四个角都相等的四边形是正方形吗?
小结:
证明正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;遇到具体条件要学会具体分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。
这是一定要都要冷静,学会去分析。
动画演示:
场景七:
正方形的判定
例题讲解
例2 如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,
求证:
AD=AM。
分析:
欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得:
△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?
只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可。
这是是否发现△BCF≌△ANF?
由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。
问题得证。
证明:
略。
说明:
将此题中的中点E、F进行变化:
E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DE⊥CF。
这个变化后的图形在正方形中常常出现,要注意隐含的这个垂直条件。
课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系,更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边,是数学严谨性的一个体现;同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力;它还将在以后的学习中起着重要作用.
本节内容的难点一是三角形按边分类,很多学生常常把等腰三角形与等边三角形看成独立的两类,而在解题中产生错误.二是利用三角形三边之间的关系解题,在学习和应用这个定理时,“两边之和大于第三边”指的是“任何两边的和”都“大于第三边”而学生的错误就在于以偏概全;分类讨论在解题中也是学生感到困难的一个地方.
2、教法建议
没有学生参与的教学是不成功的教学,教师为了充分调动主体参与,必须在为学生提供必要的背景知识的前提下,与学生一道探索定理在结构上、应用上留给我们的启示.具体说明如下:
(1)强化能力
新课引入,先让学生阅读教材第一部分,然后通过回答教师设计的几个问题,使学生明确对三角形按边分类,做到不重不漏,其中等腰三角形包括等边三角形,反过来等边三角形是等腰三角形的一种特例.
通过阅读,使学生初步认识数学概念的含义,发现疑难;理解领会数学语言(文字语言、符号语言、图形语言),促进数学语言内化,从而提高学生的数学语言水平、自学能力及交流能力
(2)主动获取
在得出三角形三条边关系定理过程中,针对基础比较好的学生,让学生考虑回忆第
一册第一章中学过的这条公理并给出证明,在这个基础上,让学生把定理的内容叙述出来.(3)激荡思维
由定理获得了:
判断三条线段构成一个三角形的一种方法,除了这一种方法外,是否还有其它的判断方法呢?
从而激荡起学生思维浪花:
方法是什么呢?
学生最初可能很快得到“推论”,此时瓜熟蒂落,顺理成章地引出教材中的推论.在此基础上,让学生通过讨论,简化上述两种方法,由此得到下面两种方法.这里,学生若感到困难,教师可适当做提示.方法3:
已知线段,(),若第三条线段c满足-c则线段,,c可组成一个三角形.教学中采用这种教学方法可培养学生分析问题探索问题的能力,提高学生对数学知识结构完整性的认识.
(4)加深理解
进行必要的例题讲解和适当的解题练习,以达到熟练地运用定理及推论.从过程中让学生体味到数学造化之神奇.也可适当指出,此定理及推论不仅提供了判定三条线段是否构成三角形的根据,也为今后解决字母取值范围问题提供了有利的依据.
整个教学过程,是学生主动参与,教师及时点拨,学生积极探索的过程,教学过程跌宕起伏,问题逐步深化,学生思维逐步扩展,使学生在愉快、主动中得到发展.
教学目标:
(1)掌握三角形三边关系定理及其推论,会根据三条线段的长度判断他们能否构成三角形;
(2)弄清三角形按边的相等关系的分类;
(3)通过三角形的分类学习,使学生知道分类的基本思想,提高学生归纳概括的能力;
(4)通过三角形三边关系定理的学习,培养学生转化的能力;
(5)通过等边三角形是等腰三角形的特例,渗透一般与特殊的辩证关系.
教学重点:
三角形三边关系定理及推论
教学难点:
三角形按边分类及利用三角形三边关系解题
教学用具:
直尺、微机
教学方法:
谈话、探究式
教学过程:
1、阅读新课,回答问题
先让学生阅读教材的第一部分,然后回答下列问题:
(1)这一部分教材中的数学概念有哪些?
(指出来并给予解释)
(2)等腰三角形与等边三角形有什么关系?
估计有的学生可能把等腰三角形和等边三角形看成独立的两类.
(3)写出三角形按边的相等关系分类的情况.
教师最后板书给出.
(要求学生之间可互相补充,从一开始就鼓励双边交流与多边交流)
2、发现并推导出三边关系定理
问题1:
用长度为4cm、 10cm 、16cm的线绳(课前准备好的)能否搭建一个三角形?
(让学生动手操作)
问题2:
你能解释上述结果的原因吗?
问题3:
任何三条线段都能组成一个三角形吗?
满足什么条件时,三条线段可组成一个三角形?
定理:
三角形两边的和大于第三边
(发现过程采用小步子原则,让学生在不知不觉中发现数学中的真理)
3、导出三边关系定理的推论及其它两种方法
由前面得到了判断所给三条线段能否组成三角形的一个依据.那么是否还有其它方法呢?
请同学们在定理的基础上来找:
估计学生很容易得到推论,让学生用自己的语言叙述,教师稍加整理后给出规范叙述.
推论:
三角形两边的差小于第三边
(给每一个学生表现个人数学语言表达才能的机会)
能否简化上面定理及推论?
从而得到如下两种判定方法:
(1)、已知线段,(),若第三条线段c满足-c则线段,,c可组成一个三角形.
4、三角形三边关系定理及推论的应用
例1 判断题:
(出示投影)
(1)等边三角形是等腰三角形
(2)三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形
(3)已知三线段满足,那么为边可构成三角形
(4)等腰三角形的腰比底长
(本例主要考察学生对概念、定理及推论的理解程度,不要求做在本上,只需口答即可)
(本例要求学生说出解题思路,教师点到为止)
例3 一个等腰三角形的周长为18.
(1)已知腰长是底边长的2倍,求各边长.
(2)其中一边长4,求其他两边长.
这是一道有课堂练习性质的例题,允许学生有3分钟左右的独立思考,允许想出来的同学表达自己的想法,其它同学补充完善.
(数学教师的课堂教学应该是敢于放手,尽可能多地给学生创造展示自己的思维空间和时间)
例4草原上有4口油井,位于四边形ABCD的4个顶点,
如图1现在要建一个维修站H,试问H建在何处,
才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小,
说明理由.
本例有一定的难度,给出的方法是解决此类型问题常见的极为简捷的方法,略微构造就可以使用三角形三边关系定理得出答案.
5、小结
本节课我们学习了三角形三边关系的定理和推论,还知道了定理和推论的一系列灵活运用:
(1)判断三条已知线段能否组成三角形
采用一种较为简便的判法:
若最短边与较长边的和大于最长边,则可构成三角形,否则不能.
(2)确定三角形第三边的取值范围
两边之差<第三边<两边之和
若时间宽裕,让学生经讨论后自由表述,其他同学补充,自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.
6、布置作业
a.书面作业P41#8、9
b.思考题:
1、在四边形ABCD中,AC与BD相交于P,求证:
(AB+BC+CD+AD)<AC+BD<AB+BC+CD+AD
2、用15根等长的火柴棒摆成的三角形中,最长边最多可以由几根火柴棒组成?
(提示:
由上面方法2,a+b+c>2a又a+b+c 板书设计:
教学目标:
1、知识目标:
(1)要掌握尺规作图的方法及一般步骤;
(2)掌握五种基本作图,明确尺规作图的意义。
2、能力目标:
(1)通过“作图题”练习,提高学生的几何语言表达能力;
(2)通过画图,培养学生的作图能力及动手能力.
3、情感目标:
(1)体验数学语言的简洁严谨。
(2)体会数学作图语言和图形的和谐统一。
教学重点:
熟练掌握五个基本作图,作图时要做到规范使用尺规,规范使用作图语言,规范地按照步骤作出图形。
教学难点:
作图语言的准确应用,作图的规范与准确。
教学用具:
直尺,圆规
教学方法:
讲练结合法
教学过程():
前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法,画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.
1、阅读教材,理解概念
学生阅读教材第一部分,并回答问题:
(1)尺规作图:
在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.
(学生使用的尺子都有刻度,这里告诉学生,直尺是用来画直线的,或者延长线段、射线成直线的.我们作图时,可以使用一般的刻度尺、三角板,只要不用它们去度量长度,就是这里所说的直尺)
(2)基本作图:
最基本、最常用的尺规作图,通常称基本作图.
一些复杂的尺规作图,都是由基本作图组成的,第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段,这是一种基本作图,下面再介绍几种基本作图:
练习:
作一条线段等于已知线段
2、讲解例题,熟悉语言
教师边作图边用语言叙述作法,让学生听懂。
前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段,学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等,进而达到角相等的目的.
1.作一个角等于已知角
分析:
解作图题的方法与证明题解法不相同,它一般应包括已知,求作。
对于作图首先将文字叙述转化为数学语言,即要写出题目的已知、求作、作法、证明。
已知:
AOB
求作:
使=AOB
分析:
假设∠AOB已作出,且∠AOB=∠AOB,如图2,在OA、OB、OA、OB上取点C、D、C、D,使OC=OD=OC=OD,那么△COD≌△COD.
由此可知,要作出∠AOB,使∠AOB=∠AOB,只要作出△OCD,使OC=OC,OD=OD,CD=CD,这就是前面学过的“已知三边画三角形”.
作法:
1、作射线 2、以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D
3、以点为圆心,以OC长为半径作弧,交于
4、以点为圆心,以CD长为半径作弧,交前弧于
5、经过点作射线。
就是所求的角
证明:
连结CD、CD,由作法可知
△COD≌△COD(SSS)
∴ ∠COD=∠COD(全等三角形对应角相等).
即∠AOB=∠AOB.
说明:
作图题的证明,常以作法为根据,只要“作法”中写明了作的是什么,证明中就可以用它作根据去证明.注意,在作图题的“证明”中,一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方,把条件省略了.
练习:
如图3,在∠AOB的外部作∠AOC,使∠AOC=∠AOB.
首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.
然后引导学生分析题意,弄清已知是什么,求作是什么?
画出已知条件(一个角),写出已知、求作.在求作中先写出什么图形,再写使它合乎什么条件.
作法可让学生或教师作图,学生叙述作法.
让学生写出证明过程.
2.平分已知角
前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC,怎样用尺规来画已知角的平分线呢?
分析:
如图4,假如∠AOB的平分线OC已经画出,在前面角的平分线的研究中,我们用折线的实验发现:
如果有OE=OD,那么CE=CD.这个实验也启发我们:
如果有OE=OD,CE=CD,那么OC平分∠AOB吗?
用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC,∠EOC=∠DOC,即OC平分∠AOB.于是容易看出,要作∠AOB的平分线OC,在于怎样才能找到起关键作用的点C?
怎样确定点C呢?
不难看出,为了确定C点,必须先找点E、D.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于D、E,那么OD=OE吗?
再分别以D、E为圆心,适当的长度为半径作弧,设两弧交于点C,那么CD=CE吗?
而D、E为圆心,“适当”的长度为半径作弧,两弧有一交点时,怎样的长度才“适当”呢?
已知:
∠AOB如图5
求作:
射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
(1)在OA和OB上,分别截取OD、OE,使OD=OE.
(2)分别以D、E为圆心,大于的长为半径作弧,在内,两弧交于点C.
(3)作射线OC.
OC就是所求的射线.
证明:
连结CD、CE,由作法可知
△ODC≌△OEC
∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).
即∠AOC=∠BOC.
小结:
(1)基本作图1、2有一个不同之点,即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部,位置有指定性,基本作图1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制,但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁.
(2)作图工具只限直尺和圆规,用铅笔画图,并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).
(3)只画图的题,要求画完图,写明所求作的图形.如基本作图中要写出“∠AOB就是所求的角.”
3.经过一点作已知直线的垂线
分两种情况来考虑:
(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线.
引导学生写出解题的全过程:
已知、求作、作法、证明.关键地方和疑点要向学生解释清楚.
分析:
现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法,能利用角平分线的作法吗?
如图6,用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF,如果画出直线DE,那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗?
为什么?
如果我们把D、E看成一条直线上的两点,那么点O就是这条直线外的一点,图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F,你会确定点F吗?
①已知:
直线AB和AB上一点C,如图7.
求作:
AB的垂线,使它经过点C.
作法:
证明引导学生写出.
②已知:
直线AB和AB外一点C,如图8.
求作:
AB的垂线,使它经过点C.
作法:
引导学生写出,要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁,通过反例说明不这样作不行的道理.对教材中略去的证明要让学生补出来.提示:
连结CD、CE、FD、FE,设CF与AB交于点O.首先证明△CDF≌△CEF,再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO,从而得∠DOF=∠EOF=90°.
4.作线段的垂直平分线
先让学生理解线段垂直平分线的概念.
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,或中垂线.
分析:
在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗?
为什么?
想一想:
确定线段DE的垂直平分线的关键是什么?
引导学生写出已知、求作、作法.参照1.让学生补上证明过程.以判定两个三角形全等的公理或推论为根据,做几何作图题的证明,一方面可以使学生确信作图的正确性;另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法.
因为直线CD与线段AB的交点,就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
小结:
作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的:
根据“SSS”公理,确定两点,从而确定所求直(射)线.
至此,基本作图共讲了5个,第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”,本章又有4个.对于这些基本作图应该牢固掌握,灵活运用,因为它是几何作图的基础.反复练习5个基本作图,让学生熟悉解作图题的全过程,及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句
例4、已知:
线段
求作:
,使
作法:
1、作线段BC=a
2、分别以点B、C为圆心,以为半径作弧,两弧交于点A
3、连结AB、AC
就是所求作的三角形
例5、已知两角和其中一角的对边,求作三角形
已知:
求作:
作法:
1、作线段
2、在BC的同侧作
DE、EC交于点A。
为所求的三角形
证明:
(略)
让学生补充证明。
3、总结归纳,便于掌握
(一)常用的作图语言:
(1)过点、作线段或射线、直线;
(2)连结两点、;(3)在线段或射线上截取=;(4)以点为圆心,以的长为半径作圆(或画弧),交于点;(5)分别以点,点为圆心,以,的长为半径作弧,两弧相交于点;(6)延长到点,使=。
(二)作图题说明
在作图中,有属于基本作图的地方,写作法时,不必重复作图的详细过程,只用一句话概括叙述就可以了。
(1)作线段=;
(2)作∠=∠;(3)作(射线)平分∠;
(4)过点作,垂足为点;(5)作线段的垂直平分线;
4、课堂练习,巩固内容
(1)平分已知角
(2)作线段的垂直平分线
学生板书并讲解,教师点评。
5、布置作业:
a、书面作业P88#1
b、上交作业P88#3、9
板书设计:
教学设计示例运用公式法――完全平方公式
(1)
教学目标
1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式,初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法;
2.理解完全平方式的意义和特点,培养学生的判断能力.
3.进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.
4.通过运用公式法分解因式的教学,使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。
教学重点和难点
重点:
运用完全平方式分解因式.
难点:
灵活运用完全平方公式公解因式.
教学过程()设计
一、复习
1.问:
什么叫把一个多项式因式分解?
我们已经学习了哪些因式分解的方法?
答:
把一个多项式化成几个整式乘积形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学教案正方形 探索式教学示例八年级数学教案 数学教案 正方形 探索 教学 示例 年级
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)