新高三暑期作业高考复习方法策略17讲第16讲 概率复习重在模型含答案解析.docx
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新高三暑期作业高考复习方法策略17讲第16讲概率复习重在模型含答案解析
第16讲 “概率”复习重在模型
概率是高中数学的重要内容,高考对概率的考查,往往以实际问题为背景,重点考查古典概型,几何概型,尤其是相互独立事件和独立重复试验.对概率的复习,要做到审准题意,弄准概型,用准公式.
1.明确概念,分清概型.
抓住古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验这些基本概型的特征,能根据试验的特点与过程,判断其概率模型,正确运用相应的概率计算公式.古典概型与几何概型是基本的概率模型,前者能一一列举,后者是“连续的”,需用长度、面积或体积度量,至于是用长度、面积还是体积度量,取决于试验的基本事件的变量个数.弄清相互独立事件与独立重复试验的区别.
2.把握常见事件,理清关系.
把握常见事件的概念,如随机事件,必然事件,不可能事件,基本事件,包含关系,互斥事件,对立事件,相互独立事件.理清相互关系,如必然事件的对立事件是不可能事件;互斥不一定对立,对立一定互斥;若A、B相互独立,则A与B,A与B也相互独立,等等.掌握互斥事件的和事件的概率加法公式,相互独立事件的积事件的概率乘法公式.
3.会分解、转化复杂事件.
把一个复杂事件表示为几个互斥事件的和事件,或转化为对立事件,是解决概率问题的重要策略.
例1 已知关于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0,a,b∈R.
(1)若a是从1,2,3三个数中任意取的一个数,b是从0,1,2三个数中任意取的一个数,求已知方程有两个不相等实根的概率;
(2)若a是从[0,3]内任意取的一个数,b是从[0,2]内任意取的一个数,求已知方程有实根的概率;
解后反思
古典概型往往用列表、图示等方法将基本事件罗列出来,确定事件所包含的基本事件,要有规律地列举基本事件,避免基本事件的“重”和“漏”.对于几何概型,若基本事件对应直线上的点,需用长度度量;若基本事件对应平面内的点,需用面积度量;若基本事件对应空间内的点,需用体积度量.
例2 两台车床加工同一种机械零件如下表
合格品
次品
总计
甲机床加工的零件数
35
5
40
乙机床加工的零件数
50
10
60
总计
85
15
100
从这100个零件中任取一个零件,求所取零件是甲机床加工的合格品的概率.
解后反思
在古典概型下,P(B|A)=.
例3 为推行新课程改革,某校决定开设一批选修课程,分别为文学、艺术、竞赛三类,这三类课程所含科目的个数分别占总数的、、,现在3名学生独立地从中任选一个科目参加学习.
(1)求他们选择的科目所属类别互不相同的概率;
(2)记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数,求ξ=2的概率.
解后反思
1.两个事件相互独立是指这两个事件彼此没有影响.独立重复实验是指在相同条件下多次进行,每次实验只有两个结果:
A发生或A不发生,每次实验A发生的概率都一样.在例3中,3名学生独立地从中任选一个科目参加学习,可看作3次实验,尽管每次实验都有3个结果:
文学、艺术、竞赛,可转化为两个结果:
选艺术、不选艺术,每次实验选艺术的概率都是,即为独立重复实验.
2.概率计算首先要根据条件分清概型,然后理清事件之间的关系,把随机事件表示为几个互斥事件的和,把每个互斥事件表示为基本事件的积.
总结感悟
1.求解概率问题时,首先要根据条件定准概型,然后理清事件之间的关系,根据相关公式进行计算;
2.概率计算时,往往把一个复杂事件表示为几个互斥的事件的和,或转化为对立事件,然后再把这些事件表示为基本事件的积;
3.古典概型往往用列表、图示等方法,将基本事件有规律地罗列出来,避免基本事件的“重”和“漏”.对于几何概型,需用长度、面积或体积度量,度量的“维度”,取决于试验的基本事件的变量个数;
4.两个事件相互独立是指这两个事件之间彼此没有影响.独立重复实验是指在相同条件下多次进行,每次实验只有两个结果:
A发生或A不发生,每次实验A发生的概率都一样.
A级
1.在200瓶饮料中,有4瓶已过保质期,从中任取一瓶,则取到的是已过保质期的概率是( )
A.0.2B.0.02C.0.1D.0.01
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.B.C.D.1
3.(2016·全国Ⅰ)某公司的班车在7:
00,8:
00,8:
30发车,小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.B.C.D.
4.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )
A.B.C.D.
5.已知A、B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,
则P(AB)=________;P(AB)=________.
6.从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取2个数字相加,其和为偶数的概率是________.
7.某条道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是________.
B级
8.某种动物活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A.0.32B.0.5C.0.4D.0.8
9.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( )
A.B.C.D.1
10.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:
质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( )
A.()5B.C()5
C.C()3D.CC()5
11.如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则
(1)P(A)=________;
(2)P(B|A)=________.
12.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q,他们各投两次,若p=,且甲比乙投中次数多的概率恰好等于,则q的值为________.
13.计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为,,;在上机操作考试中合格的概率分别为,,.所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大?
(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率.
第16讲 “概率”复习重在模型题型分析
例1 解 设“方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等实根”为事件A,“方程9x2+6ax-b2+4=0有实根”为事件B.
(1)由题意,得基本事件有9个,它们为(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的值,第二个数表示b的值.
由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0,得a2+b2>4.
可知(1,2),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)满足条件,
所以事件A发生的概率为P(A)==;
(2)a,b的取值记为(a,b),构成一个矩形区域,如图.构成事件B的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a2+b2≥4},所以事件B发生的概率为P(B)=
=1-.
例2 解 记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A,记“从
100个零件中任取一件取得合格品”为事件B.
则P(B|A)==÷==0.875.
例3 解 记第i名学生选择的科目属于文学、艺术、竞赛分别为事件Ai、Bi、Ci、i=1,2,3.由题意知A1A2A3相互独立,B1B2B3相互独立,C1C2C3相互独立,Ai、Bj、Ck(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,
P(Bj)=,P(Ck)=.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的事件分别为:
A1B2C3,A1C2B3,,B1A2C3,B1C2A3,C1A2B3,C1B2A3,
则他们选择的科目所属类别互不相同的概率为:
P=P(A1B2C3)+P(A1C2B3)+P(B1A2C3)+P(B1C2A3)+P(C1A2B3)+P(C1B2A3)
=6×××=.
(2)设3名学生中选择的科目属于艺术的人数为η,由已知,得η~B(3,),且ξ=3-η.
所以P(ξ=2)=P(η=1)=C()()2=.
线下作业
1.B [所求概率为=0.02.]
2.C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A+B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=+=.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.]
3.B [如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P==,故选B.]
4.C [P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=,故选C.]
5.
解析 ∵P(A)=,P(B)=,
∴P(A)=,P(B)=.
∴P(AB)=P(A)P(B)=×=,
P(AB)=P(A)P(B)=×=.
6.
解析 从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种,其中和为偶数的情况有(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6),共6种,所以所求的概率是.
7.
解析 P=××=.
8.B [记事件A表示“该动物活到20岁”,事件B表示“该动物活到25岁”,由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能,故事件A包含事件B,从而有P(AB)=P(B)=0.4,所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)===0.5.]
9.C [设事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”.依题意知,事件A和B相互独立,且P(A)=,P(B)=.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C,则
C=(AB)∪(AB),且AB和AB互斥.
故P(C)=P(AB)∪P(AB)
=P(AB)+P(AB)
=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=×(1-)+(1-)×=.]
10.B [质点每次只能向上或向右移动,且概率均为,所以移动5次可看成做了5次独立重复试验.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为
C()2()3=C()5.]
11.
(1)
(2)
解析
(1)由题意可得,事件A发生的概率
P(A)===.
(2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”,
则P(AB)===.
故P(B|A)===.
12.
解析 所有可能情形有:
甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.
依题意有:
Cp(1-p)·C(1-q)2+Cp2[C(1-q)2+Cq(1-q)]=,
解得q=或q=(舍去).
13.解 记“甲理论考试合格”为事件A1,“乙理论考试合格”为事件A2,“丙理论考试合格”为事件A3,记“甲上机考试合格”为事件B1,“乙上机考试合格”为事件B2,“丙上机考试合格”为事件B3.
(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A,记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B,记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C,
则P(A)=×=,
P(B)=×=,P(C)=×=,
有P(B)>P(C)>P(A),
故乙获得合格证书可能性最大.
(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D.
P(D)=P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)]
=P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)
=P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)
=×××××=.
所以,这三人计算机考试都获得合格证书的概率是.
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