概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解最新版.docx
- 文档编号:10532981
- 上传时间:2023-05-26
- 格式:DOCX
- 页数:32
- 大小:994.84KB
概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解最新版.docx
《概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解最新版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解最新版.docx(32页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解最新版
概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解
习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
ππ
sinxsiny,0x,0y
F(x,y)=22
其他.0,
求二维随机变量(X,Y)在长方形域0x【解】如图P{0X
πππ
y内的概率.463
πππ
Y公式(3.2)463
ππππππF(,F(,F(0,F(0,434636
ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0
434636
题3图
说明:
也可先求出密度函数,再求概率。
4.设随机变量(X,Y)的分布密度
Ae(3x4y),x0,y0,
f(x,y)=
其他.0,
求:
(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;(3)P{0≤X<2}.>
f(x,y)dxdy
Ae-(3x4y)dxdy
A
得A=12
(2)由定义,有F(x,y)
yx
f(u,v)dudv
y0,x0,
其他
yy
(3u4v)dudv(1e3x)(1e4y)0012e
0,0,
(3)P{0X1,0Y2}
P{0X1,0Y2}
12e(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.
5.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};>
k(6xy),0x2,2y4,
其他.0,
f(x,y)dxdy
k(6xy)dydx8k1,
故R
18
(2)P{X1,Y3}
(3)P{X1.5}
f(x,y)dydx
x1.5
13
k(6xy)dydx0288
f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdy
D1
dx
(4)P{XY4}
XY4
2
127xy)dy.2832
f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdy
4
D2
Dx
12xy)dy.83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为
5e5y,y0,
fY(y)=
0,其他.
求:
(1)X与Y的联合分布密度;
(2)P{Y≤X
题6图
【解】
(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
1
0x0.2,
fX(x)0.2
其他.0,
5e5y,y0,
fY(y)
其他.0,
所以
f(x,y)XY,独立fXx(f)Yy(
)1
5e5y0.225e5y,0x0.2且y0,
0,0,其他.
(2)P(YX)
(x,y)dxdy如图y
fx
25e5ydxdy
D
0.2x
0
dx25edy0.2
(5e5x0
5)dx
=e-10.3679.
7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
x,y)=
(1e4x)(1e2yF(),
x0,y0,
0,
其他.
求(X,Y)的联合分布密度.
【解】f(x,y)2F(x,y)8e(4x2y),x0,yxy0,
0,
其他.
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=4.8y(2x),0x1,0yx,
0,其他.求边缘概率密度.【解】fX(x)
f(x,y)dy
=x
204.8y(2x)dy2.4x(2
x),0x1,
0,
0,其他.fY(y)
f(x,y)d
x=
1y4.8y(2x)dx2.4y(34yy2),0y1,
0,
0,其他.
题8图题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(x,y)=eyf,0xy,
0,
其他.
求边缘概率密度.【解】fX(x)
f(x,y)dy
yx=xedye,x0,
0,
0,其他.fY(y)
f(x,y)dx
y
yx=0edxye,y0,
0,
0,其他
题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=cx2y,x2y1,
0,
其他.
(1)试确定常数c;
(2)求边缘概率密度.【解】
(1)
f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdy
D
=
1
-1
dx1
4
x
2cx2ydy
21
c1.得c
.
(2)fX(x)
f(x,y)dy
121x2x2ydy218x2(1x4
),1x1,
4
0,0,
其他.f
Y(y)
f(x,y)dx
2
ydx75xy2,0y1,0,2
0,其他.11.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=
1,yx,0x1,
0,
其他.
求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y)
题11图
【解】fX(x)
f(x,y)dy
x
x1dy2x,0x1,
0,
其他.1y1dx1y,1y0,
ff(x,y)dx1
Y(y)
y1dx1y,0y1,其他0,
.
所以
fy|x)f(x,y)1
|y|x1,
Y|X(f2x
X(x)
0,
其他.
1
1y,yx1,
f(x,y)1
yx1,fX|Y(x|y)
fY(y)1y
0,其他.
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大
的号码为Y.
(1)求X与Y的联合概率分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】
(1)X与Y的联合分布律如下表
(2)因P{X1}P{Y3}
6161P{X1,Y3},101010010
故X与Y不独立
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【解】
(1)X和Y的边缘分布如下表
(2)因P{X2}P{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为
1y/2e,
fY(y)=2
0,
y0,其他.
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
y
12
1,0x1,e,y1,
【解】
(1)因fX(x)fY(y)2
0,其他;0,其他.
1y/2
e
故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)2
0,
0x1,y0,其他
题14图
(2)方程a2XaY0有实根的条件是
2
(2X)24Y0
故X2≥Y,
从而方程有实根的概率为:
P{X2Y}
x2y
f(x,y)dxdy
1y/2edy
1
(1)(0)]
dx
1
x2
0.1445.
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服
从同一分布,其概率密度为
1000,x1000,
f(x)=x2
其他.0,
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数FZ(z)P{Zz}P{
(1)当z≤0时,FZ(z)0
(2)当0z<1时,(这时当x=1000时,y=<
X
z}Y
FZ(z)
y
xz
1000
)(如图a)z
6
yz10106
dxdy103dy322dx2210xyxyz
103106z
=
10323dy
zy2zy
题15图
(3)当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b)
FZ(z)
y
x
z
6
zy10106
dxdy3dy322dx221010xyxy
1031061
=323dy1
10yzy2z
1
12z,z1,z
0z1,即fZ(z),
2
其他.0,
1
2z2,z1,1
0z1,故fZ(z),2
其他.0,
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,
求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202),
从而
P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之间独立P{X1180}P{X2180}
P{X3180}P{X4180}
X1180}][P1X[1P{2{180}P][X1{3
4
18P0}X][1{4
180}]
180160
[1P{X1180}]4120
[1
(1)]4(0.158)40.00063.
17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为
P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
P{Z=i}=
p(k)q(ik),i=0,1,2,….
k0
i
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,
所以{Zi}{XYi}
{X0,Yi}{X1,Yi1}{Xi,Y0}于是
P{Zi}P{Xk,Yik}X,Y相互独立
k0
i
P{Xk}P{Yik}
k0
i
p(k)q(ik)
k0
i
18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参
数为2n,p的二项分布.
【证明】方法一:
X+Y可能取值为0,1,2,…,2n.
P{XYk}P{Xi,Yki}
i0
k
P(Xi)P{Yki}
k
nnkinki
piqnipqi0iki
k
nnk2nk
pqi0iki2nk2nkpqk
方法二:
设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则
X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.
(1)求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
(2)求V=max(X,Y)的分布律;(3)求U=min(X,Y)的分布律;(4)求W=X+Y的分布律.【解】
(1)P{X2|Y2}
P{X2,Y2}
P{Y2}P{X2,Y2}
0.051
0.252
P{Xi,Y2}
i0
5
P{Y3|X0}
P{Y3,X0}
P{X0}P{X0,Y3}
0.011
;0.033
P{X0,Yj}
j0
3
(2)P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
P{Xi,Yk}P{Xk,Yi},i0,1,2,3,4,
k0
k0
所以V的分布律为
(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}
P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
P{Xi,Yk}
ki
3
ki1
5
P{Xk,Y
i}
i0,1,2,3
于是
(1)求P{Y>0|Y>X};
(2)设M=max{X,Y},求P{M>0}.
题20图
【解】因(X,Y)的联合概率密度为
12222,xyR,
f(x,y)πR
其他.0,
(1)P{Y0|YX}
P{Y0,YX}
P{YX}
y0yx
f(x,y)df(x,y)d
π
yx
1
π/402rdr
5
πR1
π4/4d0πR2rdr
d
R
3/83
;1/24
(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}
1P{X0,Y0}1
x0y0
f(x,y)d1
13.44
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少?
题21图
【解】区域D的面积为S0
e2
1
1
dxlnxx
2.(X,Y)的联合密度函数为
1xe,0y,
f(x,y)2x
0,其他.
(X,Y)关于X的边缘密度函数为
11/x1
dy1xe2,0
fX(x)22x
其他.0,
所以fX
(2)
1
.4
22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和
【解】因P{Yyj}Pj
2
P{Xx,Yy},
i
j
i1
故P{Yy1}P{Xx1,Yy1}P{Xx2,Yy1},从而P{Xx1,Yy1}
111.6824
而X与Y独立,故P{Xxi}P{Yyj}P{Xxi,Yyi},
11P{Xx1,Yy1}.624111
即:
P{Xx1}/.
2464
从而P{Xx1}
又P{Xx1}P{Xx1,Yy1}P{Xx1,Yy2}P{Xx1,Yy3},
111P{Xx1,Yy3},4248
1
从而P{Xx1,Yy3}.
1213
同理P{Yy2},P{Xx2,Yy2}
28
即又
P{Yy}1,故P{Yy}1.j3
623j1
3
同理P{Xx2}从而
3
.4
P{Xx2,Yy3}P{Yy3}P{Xx1,Yy3}.
3124
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率
为p(0p<1),且中途下车与否相互独立,以y表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;
(2)二维随机变量(x,y)的概率分布.
m
m
nm
0mn,n0,1,2,.
(2)P{Xn,Ym}P{Xn}P{Ym|Xn}
Cp(1p)
mn
mnm
en
nmn,n0,1,2,.n!
21
,而Y的概率密度为f(y),0.30.7
24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X~
求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
【解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为
G(u)P{XYu}0.3P{XYu|X1}0.7P{XYu|X2}
0.3P{Yu1|X1}0.7P{Yu2|X2}
由于X和Y独立,可见
G(u)0.3P{Yu1}0.7P{Yu2}
0.3F(u1)0.7F(u2).
由此,得U的概率密度为
g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u2)
0.3f(u1)0.7f(u2).
25.25.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P{max{X,Y}≤1}.
解:
因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有
11,0x3,,0y3,f(x)3f(y)3
0,x0,x3;0,y0,y3.
因为X,Y相互独立,所以
1
0x3,0y3,
f(x,y)9
0,x0,y0,x3,y3.
推得P{max{X,Y}1}
26.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
1.9
其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5,记Z=X+Y.求:
(1)a,b,c的值;
(2)Z的概率分布;(3)P{X=Z}.
解
(1)由概率分布的性质知,
a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由E(X)0.2,可得
ac0.1.
再由P{Y0X0}
P{X0,Y0}ab0.1
0.5,
P{X0}ab0.5
得ab0.3.
解以上关于a,b,c的三个方程得
a0.2,b0.1,c0.1.
(2)Z的可能取值为2,1,0,1,2,
P{Z2}P{X1,Y1}0.2,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1,
P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3,
P{Z2}P{X1,Y1}0.1,
即Z
(3)P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 习题 答案 详解 最新版
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)