1997考研数一真题及解析.docx
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1997考研数一真题及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
、填空题(此题共5分,每题3分,总分值15分.把答案在题中横线上.)
3sinxx2cos
(1)
x
(1cosx)ln(1x)
(1)
二元函数f(x,y)=
xy
"y
「(x,y)-(0,0),在点(0,0)处
⑵设幕级数vanxn的收敛半径为3,那么幕级数vnan(^1)n1的收敛区间为
n=0n=J
a—
⑶对数螺线J二e1在点(几R=(e2,)处的切线的直角坐标方程为.
2
12-2
⑷设A=4t3,B为三阶非零矩阵,且AB=0,那么t=
3-11一
(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,那么第二个人取得黄球的概率是.
二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(x,y)二(0,0)
(A)连续,偏导数存在
(C)不连续,偏导数存在
(B)
(D)
连续,偏导数不存在不连续,偏导数不存在
b
设在区间[a,b]上f(x)0,f(xh:
:
0,f(x)0,令S1=f(x)dx,S2二f(b)(b-a),
a
1
—[f(a)f(b)](b-a),那么
2
S3
(A)
SS2S3
(B)
S2:
:
S:
:
:
S3
(C)
(D)
E:
:
:
S^:
:
:
S!
设F(x)二
x
(A)为正常数
xsint
e
sintdt,那么F(x)
恒为零
(D)
不为常数
为负常数
(C)
(B)
设=
axbyg=0,a2xpyq=0,
因跨考敎肓
护匸二JKUAKAOEDUCATION
a3xb3yc^0(其中q2•b:
=0,i=1,2,3)交于一点的充要条件是()
(A):
j,:
・2,:
3线性相关
(B):
j,>2,>3线性无关
(C)秩r(:
1,:
2,:
3)=秩r(:
1,:
2)
(D):
〞二,:
线性相关,',>2线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,那么随机变量3X-2Y的方差是
()
(A)8(B)16(C)28(D)44
三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分.)
(1)
计算Iiii(x2-y2)dv,其中门为平面曲线
-2
y=2z,
绕z轴旋转一周形成的曲面与
平面z=8所围成的区域
计算曲线积分
[c(z-y)dx(x-z)dy(x「y)dz,其中C是曲线
-22
xy=1,
x-yz=2,
轴正向往z轴负向看,C的方向是顺时针的
.设该人群的总人数为
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的
N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为
x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k0,求x(t).
四、(此题共2小题,第
(1)小题6分,第⑵小题7分,总分值13分.)
'x+v+b=022
(1)设直线L:
'在平面1」上,且平面1」与曲面z=x2,y2相切于点
-X+ay_z_3=0
(1,-2,5)求a,b之值.
m2z^2z
⑵设函数f(u)具有二阶连续导数,而z=f(exsiny)满足方程一三,re2xz,求
excy
f(u).
五、(此题总分值6分)
因跨考敎肓
厂二JKUAKAOEPUCAT1ON
设f(x)连续,w(x)=[f(xt)dt,且lim上凶=A(A为常数),求申'(x)并讨论护'(x)匕7x
在x=0处的连续性.
六、(此题总分值8分)
m11
设曰=2,a「i(an),n=1,2,...,证明:
2an
(1)liman存在;
□a
⑵级数'、
n=1
七、(此题共2小题,第
(1)小题5分,第⑵小题6分,总分值11分.)
(1)设B是秩为2的54矩阵,:
、=(1,1,2,3)T,:
2=(-1,1,4,-1)13=(5,-1,-8,9)丁是
齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.
「11「2-12]
⑵匕=1是矩阵A=5a3的一个特征向量.
]-1一.-1b-2一
(I)试确定参数a,b及特征向量■所对应的特征值;
(n)问A能否相似于对角阵?
说明理由.
八、(此题总分值5分)
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆;
⑵求AB4.
九、(此题总分值7分)
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互
2
独立的,并且概率都是-.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数
5
和数学期望.
十、(此题总分值5分)
设总体X的概率密度为
+1)x日
卫
0:
x:
1,
其它,
因跨考敎肓
厂二JKUAKAOEPUCAT1ON
其中二._1是未知参数.治,冷川|,人是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别
用矩估计法和最大似然估计法求-的估计量•
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
、填空题
(1)【答案】
【分析】
(此题共5分,每题3分,总分值15分.把答案在题中横线上.)
3
2
这是°型极限.注意两个特殊极限limsinx
x,得
3nx1
3xcos-
mx—
J、ln(1x)(1cosx)x
0
【解析】将原式的分子、分母同除以
213sinxxcos
lim—
x—0(1cosx)ln(1x)
ln(1x),
1.
评注:
使用洛必达法那么的条件中有一项为哪一项
limf(x)应存在或为
x沟g(x)
:
:
而此题中,
21
(3sinxxcos—)limx
x0
1.(1cosx)ln(1x)1
11
3cosx2xcossin
=limxx
x01cosx
-sinxln(1x)
1+x
极限不存在,也不为:
:
不满足使用洛必达法那么的条件,故此题不能用洛必达法那么
1.有界量乘以无穷小量为无穷小量
【相关知识点】
⑵【答案】(-2,4)
【解析】考察这两个幕级数的关系.令t=X-1,那么
送nantnd1=t2送nantnJL=t2送(antn
n吕nTnm
由于逐项求导后的幕级数与原幕级数有相同的收敛半径
oO
,一antn的收敛半径为3:
nd
qQqQ
却“的收敛半径为3.从而antn
n生
oO
二、nantn1的收敛半径为3,收敛区间即
n壬
(-3,3),
QO
回到原幕级数7nan(x-1)n1,它的收敛区间为
一3:
:
x—1:
:
:
3,即(-2,4).
评注:
n=1
幕级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点•
oO
对于7anxn
n为
9n^■:
它的收敛半径是
an
R=-.但是假设只知它的收敛半径
an1
二1,因为lim
Rn-j:
:
an1
an
可以不存在
(对于缺项幕级数就是这种情形).
k=yx,而yx可由/_e1的参数方程
兀
⑶【答案】xy=e2
【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率
x=『cosv-ecosv,yf注
求得:
y〞y召Jsin日+Jcos日sinT+cos日y1
x=e^co^-^sinrcosv-sin二山三
所以切线的方程为y-e^=_(x-0),即x•y=e^2.
评注:
此题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系
⑷【答案】
t二-3
【解析】
由AB=0,对B按列分块,设1^,■:
2,■:
3],那么
AB二A「:
「:
2,yArA2A:
3丨-0,0,01,
即]i,j「3是齐次方程组Ax=0的解.
又因B=O,故Ax=0有非零解,那么
1
2
-2
1
0
-2
A
=
4
t
3
=
4
t+3
3
=7(t+3)=0
3
-1
1
3
0
1
由此可得t=-3.
评注:
假设熟悉公式AB=0,那么r(A),r(B)辽n=3,可知r(A):
:
:
3,亦可求出t=—3.
2
⑸【答案】一
5
【解析】方法1:
利用全概率公式•
求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关•这就要用全概率公式•全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题•
设事件A=“第i个人取得黄球〞,i=1,2,那么完全事件组为A,入(分别表示第一个人
取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知
30
50
{}黄球的个数202{一}白球的个数
PS’’球的总数=50=5;P'A':
球的总数
P〔一|A1二型J=理(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成20-1=19,球
50-149
19)
);
49
黄球个数亦为20,球的总数变成
的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为卩轴宀20(第一个人取得白球的条件下
49
20
50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为).
49
故应用全概率公式
p讥:
,P「AIPA|AlpIAIpCa?
|瓦1=219--?
^=-.
5495495
方法二:
利用“抽签原理〞.
只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个
人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为20_2
50一5.
【相关知识点】
1.全概率公式:
p「a2.;=卩1人沖加21a,}卩1入8加2|入?
;
2.古典型概率公式:
有利于事件A的样本点数
样本空间的总数
二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)【答案】(C)
【解析】这是讨论f(x,y)在(0,0)点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义
迴£f(x,0),迴罟f(0,y)
xdxx=0:
ydy
由于
f(x,0)=0(-x),f(O,y)=0(-y),
偏导数且
excy
再看f(x,y)在(0,0)是否连续?
由于
lim
(x,y)j0,0)
y二x
x2
1
hf(0,°)
因此f(x,y)在(0,0)不连续.应选(C).
评注:
①证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度•证明分段函数f(x,y)在某点
M°(x0,y°)不连续的方法之一是:
证明点(x,y)沿某曲线趋于M。
时,f(x,y)的极限不存在
或不为f(x°,y。
).
②证明limf(x,y)不存在的重要方法是证明点(x,y)沿两条不同曲线趋于
M°(x0,y°)时,f(x,y)的极限不想等或沿某条曲线趋于M。
时,f(x,y)的极限不存在
对于该题中的f(x,y),假设再考察
1
/l、im“f(x,y)=lim0=0l、im“f(x,y),
x=0
(x,y)—<0,0)y_2(x,y)>(0,0)
y=x
因跨考隸肓
KUAKAOEDUCATION
(x,y)%f(x,y)不存在.
由本例可见,函数在一点处不连续,但偏导数却可以存在.容易找到这种例子,例如
f(x,y)=x+y,它在点(0,0)处连续,但f;(0,0)与f;(0,0)都不存在.可见二元函数的连
续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系
⑵【答案】(B)
特定的f(x)来观察结果是什么.例如取f(x)二
【解析】方法1:
用几何意义•由f(x).0,f(x):
:
:
0,f(x).0可知,曲线y二f(x)是
1
2,x[1,2],那么x
21115
S1-1~2dx■,S2,S3S2:
:
:
S]:
:
:
S3.
刃x248
【评注】此题也可用分析方法证明如下:
由积分中值定理,至少存在一个点',使f(x)dx二f(J(b-a),a「:
:
:
b成立,再由
f(x)<0,所以f(x)是单调递减的,故f()f(b),从而
b
S^f(x)dx=f()(b-a)f(b)(b-a)p.
a
1x
为证S3s令(x)二[f(x)f(a)](x-a)-f(t)dt,那么「(a)=0,
2a
11&)=新(x)(x-a)寸(心)f(a))-f(x)
11
=2f(x)(x-a)-?
(f(x)-f(a))
1.1.
f(x)(x-a)f()(x-a)(a:
:
:
:
:
:
x)(拉格朗日中值定理)
1
—(f(x)-f())(x-a),
由于「(x)・0,所以f(x)是单调递增的,故f(x)•「(),:
(x)0,即(x)在[a,b]上
同踵考豹肓
厂二JKU^KAOEDUCATION
-(a)=0,所以「(x).0,x・[a,b],从而
1b
:
(b)=2【f(b)f(a)](b—a)—af(t)dto
即S•S「因此,$:
:
:
S|:
:
:
S3,应选(D).
如果题目改为证明题,那么应该用评注所讲的方法去证,而不能用图证
【相关知识点】1.积分中值定理:
如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续,那么在(a,b)上至
b
少存在一个点',使下式成立:
f(x)dx二f(J(b-a)(a•;:
"•;:
•b).这个公式叫做积分中值
a
公式.
2.拉格朗日中值定理:
如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间a,b内可导,
那么在a,b内至少有一点(^:
:
:
b),使等式f(b)-f(a)=f(J(b-a)成立.
⑶【答案】(A)
【解析】由于函数esintsint是以2二为周期的函数,所以,
F(x)=
xd2;Tesintsintdt=
2二sint
0esintdt,
F(x)的值与x无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).
2n-t
估计esintsintdt的值有多种方法.
J0
方法1:
划分esintsint取值正、负的区间.
F(x)二esintsintdt二"esintsintdt亠丨esintsintdt
00•二
=f71'esintsintdt+(_sinu)du
0-0
二o(esint—e』nt)sintdt
0,所以F(x)0.选(A).
当0:
:
:
t:
:
:
二时,sint0,esint_e^t
方法2:
用分部积分法.
2"sint
F(x)esintdt
sint,
二一ecost
2二+
0
27
二esintdcost
0
2sint
costde
0
二—e0(1T)亠!
esintcost2dt二
esintcost2dt0.
故应选(A).
那么常将积分区间划分成假设干个,使每
【评注】此题的方法1十分有代表性.
被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时
同跨査敎育
护匸二JKUAKAOEDUCATION
个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可•
⑷【答案】(D)
【解析】方法1:
三条直线交于一点的充要条件是方程组
a/0yg=0a/dy--ga2xb2y=0=a2xb2y=_c2
I
a3xdyC3=0a3xbsy二-q
有唯一解.
f
a
b11
F1
将上述方程组写成矩阵形式:
A^X=b,其中A=
a2
b2
是其系数矩阵
b=—g
1
a3
b3一
那么AX=b有唯一解二r(A)=rLAbl-2(方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等
于未知量的个数),即A的列向量组冷「2线性相关.所以应选(D).
方法2:
用排除法.
(A)冷,>2,>3线性相关,当>1二>2二:
'3时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且
小于未知量的个数,那么①式有无穷多解,根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合
相交有无穷多点,(A)不成立.
(B):
d〉2,〉3线性无关,:
'3不能由:
1「2线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩
不相等,方程组无解,根据解得个数与直线的位置关系,所以一个交点也没有,(B)不成立.
(C)秩「(:
、,>2,>3)=秩「(:
」,〉2),当2,〉3)=2)=1时,三条直线重合不只交于一点,与题设条件矛盾,故(C)不成立.
由排除法知选(D).
评注:
应重视线性代数中的几何背景.空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线
性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来
⑸【答案】(D)
【解析】因X与Y独立,故3X和2Y也相互独立.由方差的性质,有
D(3X_2Y)二D(3X)D(_2Y)=9D(X)4D(Y)=44.
【相关知识点】方差的性质:
X与Y相互独立时,
D(aXbYc)二a2D(X)b2D(Y),其中a,b,c为常数.
三、(此题共3小题,每题5分,总分值15分.)
(1)【分析】三重积分的计算有三种方法:
直角坐标中的计算,柱面坐标中的计算,球面坐标
中的计算,其中柱面坐标中又可分先z后(r门),或先(rj)后z两种方法.此题的区域门为
绕z轴旋转的旋转体,用柱面坐标先(r,v)后z方便•
【解析】方法1:
采用柱面坐标,先(r,v)后z,为此,作平面z=z.
DzX(x,y,z)|x2y2乞2z,z=z?
2282
\=(xy)dvdziirrdrdv(将直角坐标化为柱面坐标)QD;
3,1024二
82:
叮、;迈3
=dzdrr3dr=
0003
方法2:
将门投影到xOy平面,得圆域D=7(x,y)|x2y2_16二用柱面坐标先z后(r,r).
2
222兀r48343r1024^
\=(x2y2)dvddr,r3dz=2二r3(8)dr.
Q、0'0=023
评注:
做二次积分或三次积分时,如果里层积分的结果不含外层积分变量,那么里、外层积分
2兀
可以分别积分然后相乘即可•如本例方法2中dr可以单独先做•
(2)【解析】方法1:
写出C的参数方程,然后用曲线积分化为定积分的公式•
由平面上圆的参数方程易写出C的参数方程为:
x=x(t)=cost,y=y(t)=sint,z=z(t)=2-costsint,
由C的方向知,C在Oxy平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,于是t从2二到0.
在把参数方程代入被积表达式之前,先用C的方程将被积表达式化简,有
\=:
c(z—y)dx(x-z)dy(x-y)dz
二(2-x)dx(x-z)dy(2-z)dz
c
000
二:
2-(2-x(t))dx(t)2-[cost-(2-costsint)]costdt2-(2-z(t))dz(t)
=0°_.[2cos2t-sintcost-2cost]dt0
2■■:
2二2
--2costdt一-2-•
方法2:
用斯托克斯公式来计算•记S为平面x-y•z=2上C所围有限局部,由L的定向,
按右手法那么S取下侧•
dydz
dzdx
dxdy
ex
cz
z_y
X—z
x—y
2
x2y
=2dxdy.
S
原积分=口
S
S在xy平面上的投影区域Dxy为
<1•将第二类曲面积分化为二重积分得
原积分=一2dxdy=-2二.
Dxy
这里因S取下侧,故公式取负号.
dx
(3)【解析】已掌握新技术人数x(t)的变化率,即竺,由题意可立即建立初值问题
dt
主二kx(N-x),
*dt
x(0)
把方程别离变量得
dx
x(N-x)
=kdt,—(-1)dx二kdt.
NxN—x
1x
积分可得一In——=kt■g,
NN—x
kNt
cNe
x二
kNt
1ce
以x(0)=x0代入确定c=0
故所求函数为
N-xo
kNt
Nxoe
xkNt-
N-xoxoe
四、(此题共2小题,第
(1)小题6分,第⑵小题7分,总分值13分.)
(1)【分析】求出曲面S:
x2,y2-z=0在点M0(1,「2,5)(位于S上)处的切平面方程,再写出L的参数方程,L上的点的坐标应满足切平面方程,由此定出参数a与b.
【解析】曲面S在点M0的法向量
n二{2x,2y,-1}m0二{2,-4,T}.
切平面的方程是
2(x-1)-4(y2)-(z-5)=0,
即2x-4yiZ-5=0.
将直线L的方程改写成参数方程
y__x_b,
z二(1「a)x「ab「3.
将它代入平面二方程得
2x_4(_x-b)-(1-a)x'ab,3-5=0,即(5'a)x'4b'ab-2=0.
解得a=「5,b=「2•
⑵【分析】z=f(exsiny)是由一元函数z=f(u)与二元函数u二exsiny复合而成的二
元函数,它满足方程
:
x
2
2x
=ez.
(*)
为了求f(u),我们将用复合函数求导法
导出—,—
excy
_=x
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