专升本理论力学部分.docx
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专升本理论力学部分
第一篇静力学
本篇介绍力的一般性质、力系的平衡规律及合成法则。
重点是刚体、力、力矩、力偶、力系及其分类、等效、简化、平衡、约束、摩擦等有关概念、静力学公理、受力分析及力的投影、力矩、力系的主矢与主矩等的计算和力系的平衡及简化问题的解法。
难点是约束与约束反力、力系的等效、摩擦角与自锁等概念的建立以及物系(包括具有摩擦时)平衡问题的解法,在反复学习阅读练习中体会理解。
第一章静力学基本概念与公理
本章是静力学最基本内容的论述,概念较多。
介绍了刚体、力、力矩、力偶和力系及其分类、等效、平衡等有关概念;静力学公理、力矩关系定理、力系等效定理、力偶性质、合力矩定理等规律;力的投影、力矩、力系的主矢与主矩等的计算;汇交力系与力偶系的合成。
这些都是静力学基本知识,也是整个理论力学的基础,需要认真理解和熟练掌握。
§1-1静力学基本概念
本节介绍了静力学研究对象、主要内容、刚体、力和力系及其分类、等效、平衡等有关概念;是静力学基本知识,需要认真理解和熟练掌握。
一、静力学的研究对象:
物体的平衡规律、力的一般性质及合成法则。
二、静力学的主要内容:
力系简化;力系平衡。
三、力:
物体间的相互作用。
1.力的效应:
⑴力的外效应:
力可使物体的运动状态发生变化。
⑵力的内效应:
力可使物体的形状发生变化。
理论力学主要研究力的外效应。
力的内效应则由变形体力学如材料力学等来研究。
2.力的三要素:
大小、方向、作用点(作用位置)。
力的三要素决定了力对物体的作用效应。
其中,力的大小反映了力的作用强度;力的方向由力的作用线方位和指向联合表示;力的作用点即作用位置,一般作用位置是物体的一部分面积或体积,当作用面积或体积很小时可抽象为点即力的作用点,这时力称为集中力,否则力称为分布力。
既然力有大小、方向,就可由矢量来表示。
3.力的矢量表示:
F
⑴印刷物如书中:
黑体英文大写字母表示,如F;
⑵手写如作业和练习中:
白体英文大写字母并在其
上加一箭头表示,如
;不加箭头时表示大小,如F。
⑶图示:
力的大小由按一定比例尺的线段长度如AB
表示(图1-1);方向由线段方位和箭头指向联合表示;作用点由线段的起点如A或终点如B表示。
与线段重合的直线即力的作用线。
4.力的单位:
国际单位制(SI):
牛顿(N)或千牛(kN);
工程单位制(LFT):
公斤力(kgf)或吨力(tf)。
两制的换算关系为:
1kgf=9.8N,1tf=9.8kN。
四、力系:
作用于物体上的一群力。
1.物体的平衡:
物体于周围物体保持静止或匀速直线运动的状态。
一般工程技术问题中,该“周围物体”一般指地面。
2.平衡力系:
使物体保持平衡状态的物体上作用的力系。
力系的平衡条件:
力系使物体保持平衡所需要满足的条件。
3.等效力系:
作用效果相同的力系。
力系的等效替换:
一个力系替换另一个力系作用在物体上且其运动状态改变效果不变的过程。
该两力系即等效力系。
若一个力与一个力系等效,则该力成为该力系的合力,力系中各力称为合力的分力。
4.力系的简化:
一个简单力系等效替换另一个复杂力系的过程。
5.力系的分类:
力系依作用线分布不同分为
空间力系:
各力作用线在空间内分布的力系。
平面力系:
所有力的作用线在同一平面内的力系。
汇交力系:
所有力的作用线汇交于同一点的力系。
平行力系:
所有力的作用线心相互平行的力系。
一般力系:
各力作用线既不平行也不汇交的力系,也称任意力系。
平面力系:
各力作用线分布在同一平面内的力系。
平面力系分平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系、平面任意力系。
空间力系:
各力作用线在空间分布的力系。
空间力系也分空间汇交力系、空间平行力系、空间力偶系、空间任意力系。
汇交力系:
各力作用线汇交于一点的力系。
平行力系:
各力作用线相互平行的力系。
力偶系:
由多个力偶构成的力系。
任意力系:
各力作用线既不相互平行也不汇交的力系。
任意力系又称一般力系。
五、刚体:
任何情况下不变形的物体,是静力学的研究模型,故静力学又称为刚体静力学。
实际上物体都会受力发生变形,当物体的变形对所研究的问题不起主要作用时,可抽象为刚体,否则,就需视为变形体,由变形体力学如材料力学等来研究。
本节小结
本节主要介绍了力(定义、效应、三要素)、力系(定义、分类、等效力系、平衡力系)、刚体等概念。
理解和掌握这些概念是学好理论力学的基础。
思考题
1.理论力学仅研究力的外效应吗?
答案:
是
2.说明下列式子或叙述的意义和区别:
(1)
;
(2)P1=P2;(3)力P1等于力P2。
答案:
(1)表示
与
是等值、同向的两个矢量;
(2)表示P1与P2是等值的两个代数量;(3)表示P1与P2作用效果相同或等值、同向、同作用点的两个力。
3.力对物体的作用效果是仅使物体运动状态改变吗?
答案:
不是
§1-2静力学公理
本节介绍了静力学五个公理;是静力学基本知识,需要认真理解和熟练掌握并注意其适用性。
公理:
大量客观事实的概括总结,为大家所公认,无需证明.静力学公理是静力学基础。
公理1(二力平衡公理)作用于刚体上的两力平衡的充分必要条件是:
该两力大小相等,方向相反且作用在同一直线上,简称等值、反向、共线(图1-2)。
该公理是推证平衡条件的基础。
(b)
=
二力构件:
仅受两个力作用的而平衡的构件,也称二力杆。
公理2(加减平衡力系公理)作用于刚体的任意力系上加上或减去任意平衡力系,不改变原力系对刚体的作用效果。
该公理是力系简化的依据。
推论(力的可传性原理):
作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任一点,而不改变原力对刚体的作用效果。
证明:
设刚体上A点作用有力F(图1-3(a)),在其作用线上任一点B加上一对平衡力F1和F2,且取F1=-F2=F(图1-3(b)),然后,再减去一对平衡力F和F2,得到作用于B点的力F2(图1-3(c))。
由公理2得知,刚体上A点作用有力F与是作用于B点的力F2等效的。
这就证明了力的可传性原理。
力的可传性:
作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任一点,而不改变对刚体的作用效果的性质。
由此性质,在刚体上力的三要素可改为:
大小、方向、作用线。
公理3(平行四边形法则)作用于物体某一点的两个力的合力的大小和方向,可由该两力为邻边构成的平行四边形的对角线表示。
该公理是力系简化的基础。
F2
设物体上A点作用有力F1和F2(图1-4(a)),
则其合力R可由平行四边形ABCD的对角线AD
来表示,矢量表达式为
R=F1+F2
即合力R等于两个分力F1和F2的矢量和,作用
点也是A点。
如图1-4(a)所示,若将F2平移至对边BD(图1-4(b)),就形成由分力矢F1、F2和合力矢R构成的三角形ABD称为力三角形。
由此可知,无需画出整个平行四边形,即可得到合力,此即
力三角形法则:
作用于物体某一点的两个力的合力的大小和方向,可由该两力矢首尾相接构成的三角形的封闭边来表示。
推论(三力平衡汇交定理):
作用于刚体上的三个力平衡,且其中有两个力汇交时,则其余一力的作用线必然过该汇交点,且三力在同一平面内。
此定理可用于确定力的方位。
证明:
设刚体的A、B、C点分别作用有力F1、F2、F3而平衡,且F1和F2汇交于D(图1-5(a))。
由力的可传性,将F1和F2移至
=
D,由公理3求
其合力R(图1-
5(b))。
由合力R
代替F1和F2作
用(图1-5(c)),
由已知条件,则R和F3平衡。
由公理1知,R和F3共线,即F3必然过汇交点D,并且在F1和F2构成的平面内。
公理4(作用与反作用定律)两物体间作用与反作用力总是成对出现,大小相等,方向相反,沿同一直线,分别作用于两个物体上。
简称等值、反向、共线,作用于不同物体。
该公理是物体系统各物体受力分析相互过渡的基础。
公理5(刚化公理)变形体受力平衡时,将该物体视为刚体(刚化),平衡状态不变。
该公理是研究变形体平衡问题的基础。
应当注意:
这些公理是有局限的。
譬如:
绳索受等值、反向、共线的一对压力时,就不平衡,公理1则不适用;将杆上等值、反向、共线的一对压力,若由力的可传性,将两力分别移至彼端,平衡不变,但变形由受压变成了受拉。
这说明,公理1、2不适用于变形体。
本节小结
本节主要介绍了静力学五个公理及其推论。
反映了力的一般性质,是静力学的基础,熟练地掌握并会应用静力学公理是学习理论力学必备的。
思考题
是非判断:
(1)刚体上力是滑动矢量。
变形体上则是固定矢量。
()
(2)加减平衡力系公理、二力平衡公理和平行四边形法则适于一切物体。
()
(3)等值、反向、共线的二力一定是平衡力系。
()
(4)二力的合力大小必大于各分力的大小。
()
(5)作用于刚体上的力是否可沿其作用线移至与该刚体铰接的另一刚体上()
答案:
.
(1)(√);
(2)(×);(3)(×);(4)(×);(5)(×)
§1-3力矩
本节介绍了力的分解和投影、力矩、汇交力系的合成、力矩关系定理、合力矩定理,重点是力的投影和力矩的计算、汇交力系合成的解析法。
难点是空间力对点之矩的计算和描述,可借助于力矩关系定理、合力矩定理的应用及力对轴之矩的计算来完成。
一、力的分解和投影
1.力的分解:
用几个力等效替换一个力的过程。
平面力的正交分解:
Fx=Fcosα,Fy=Fsinα
Y
力矢F在直角坐标轴向的分力Fx、Fy,
可通过以F=CH为对角线、平行于坐标轴
的线段为边做矩形而得到,即两邻边CA=
Fx,CD=Fy(图1-6)。
若已知F与坐标轴
间的方向角α,则分力的大小由上式表达。
Z
空间力的正交分解:
Fx=Fcosα,Fy=Fcosβ,Fz=Fcosγ(1-1)
力矢F在直角坐标轴向的分
力Fx、Fy、Fz,可通过以F=CH
为对角线、平行于坐标轴的线段
为边做正六面体而得到,即三邻
边CA=Fx,CD=Fy,CG=Fz(图
1-7)。
若已知F与坐标轴间的方
向角α、β、γ,则分力的大小由(1-1)式表达。
2.力在轴上的投影:
力矢始末两端向轴引垂线的两垂足间距离。
平面力在坐标轴上的投影:
X=Fcosα,Y=Fsinα
若已知F与坐标轴间的方向角α(图1-6),则其在坐标轴上的投影X、Y由上式表达。
反之,若已知F在坐标轴上的投影X、Y,则该力的大小F与方向角α为
空间力在坐标轴上的投影
直接投影法:
X=Fcosα,Y=Fcosβ,Z=Fcosγ(1-2)
即力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴夹角的余弦。
若已知F与坐标轴间的方向角α、β、γ(图1-7),则其在坐标轴上的投影X、Y、Z由(1-2)式表达。
二次投影法:
X=Fsinγcosφ,Y=Fsinγsinφ,Z=Fcosγ(1-3)
若已知F与坐标轴间的方位角φ和仰角γ,则其在坐标轴上的投影X、Y、Z由(1-3)式表达(图1-7)。
即先将投影在xy平面和z轴上,然后再将xy平面上的投影投影到x、y轴,由此得名二次投影法。
反之,若已知F在坐标轴上的投影X、Y、Z,则该力的大小F与方向角α、β、γ为
规定:
投影由起点到终点指向与轴正向一致为正值,反之为负值。
3.力的分力与投影的关系
y
力的分力与投影是两个不同的概念,力的分力是沿某个方向的分作用,是矢量,能够完全确定力的三要素;
而力的投影是代数量,由力的投影只可确定
力的大小和方向,不能确定作用位置。
力的分力与投影仅在正交轴上大小对
应相等Fx=X,Fy=Y,Fz=Z。
否则,大小不等,如图1-8中,X=AB≠Fx,Y=AC≠Fy。
D
例1-1如例1-1图所示长方体上作用有三个力,F1=0.5kN,F2=1kN,F3=1.5kN,求各力在坐标轴上的投影。
解:
1.方位角:
2.各力投影:
F1,F2方向角已知,可用直接投影法求解;已知方位角和仰角,用二次投影法求解。
各力投影分别为
X1=Y1=0.5cos90°=0,Z1=0.5cos180°=-0.5kN
X2=-1sin60°=-0.866kN,Y2=1cos60°=0.5kN,Z2=1cos90°=0
X3=1.5cosθcosφ=0.805kN,Y3=-1.5cosθsinφ=-1.073kN,
Z3=1.5sinθ=0.671kN
二、力矩:
力对刚体转动效应的度量量
1.力对点之矩:
力对刚体绕点转动效应的度量量
例如:
用扳手施力F旋动螺栓,使螺栓绕其中心O点转动(图
1-9),以达到旋紧或松脱的目的,经验说明其效果与力的大小和O点
h
到力F作用线垂直距离h有关,可由力矩来度量。
⑴平面力对点之矩:
mO(F)=±Fh,其中
矩心:
点O;
力臂:
矩心到力F作用线垂直距离h;
即平面力对点之矩等于力乘以力臂冠以正负号,正负号表示转向,规定力使物体绕矩心逆时针转为正,反之为负,是代数量。
平面力对点之矩效应的两要素:
①大小:
Fh=Frsinθ=2ΔOAB面积;②转向,由正负号表示。
⑵空间力对点之矩:
mO(F)=r×F(1-4)
力对任一点O之矩等于该点至力F作用点的矢径r与该力的叉乘,是矢量(图1-10),作用于矩心。
其中
h
力矩作用面:
矩心O与力矢F所在的平面。
空间力对点之矩效应的三要素:
①大小:
Fh=Frsinθ=2ΔOAB面积=│r×F│
即力乘以力臂或力与矩心构成的三角形面积的
二倍,亦即mO(F)的模,说明与平面问题是一
致的;
②作用面方位,例如飞机尾部和翼部各加以水平向前的力,设它们对飞机重心力矩大小相同,但由于作用面方位分别为铅垂、水平,效果分别为使飞机俯冲、转弯而不同,说明作用面方位对效应的影响,这点是与平面问题表达不同之处,因为平面问题各力矩作用面是相同
的,可用代数量表示,而空间问题是不同的,宜用矢量表示;
③在作用面内的转向。
作用面方位与在作用面内的转向可共同决定力矩的方向,即将右手置于作用面上,四指沿转向握起,竖起拇指的指向即力矩方向,与r×F决定的方向一致。
2.力对轴之矩:
力对刚体绕点转动效应的度量量。
h
例如:
手施力F于门把A
使门绕轴z转动(图1-11)。
过
A垂直于z的平面为xy面,将
力分解为沿z的分力Fz和垂直
于z的分力Fxy,经验说明Fz不
会使门转动,即对轴之矩为零。
故F对z之矩归结为Fxy对z之
矩,亦即Fxy对垂足O之矩,则
力对轴之矩:
(1-5)
力对某轴之矩等于该力在过其作用点与该轴正交的平面内的分量对的该平面与轴垂足之矩。
是代数量。
即
力对轴之矩效应的两要素:
⑴大小:
Fxyh,即力在过其作用点与该轴正交的平面内的分量乘以该分量到轴的垂直距离;⑵转向,由正负号表示,由右手螺旋法则来决定,即右手握住矩轴,四指沿转向,若竖起的拇指与轴正向一致为正,反之为负。
推论:
⑴力沿其作用线移动对轴矩不变;
⑵力作用线与轴共面(即相交h=0或平行Fxy=0)力对轴之矩为零;
⑶平面力系各力对平面内某点之矩即对垂直于该平面的轴之矩。
3.力矩的单位:
牛·米(N·m);千牛·米(kN·m)。
4.力矩关系定理:
(1-6)
定理:
力对点之矩在过该点某轴上的投影等于该力对该轴之矩。
反映了力对点之矩于对轴之矩的关系。
γ
证明:
如图1-12所示,ΔOA´B´与
Fxy分别为ΔOAB与F在Oxy坐标面内
的投影与分量,γ为ΔOAB与ΔOA´B´
间的夹角,z轴过O点。
∵│mO(F)│=2ΔOAB面积
│mz(F)│=2ΔOA´B´面积
mO(F)与z轴分别垂直于ΔOAB与ΔOA´B´,即mO(F)与z轴的夹角为γ。
∴
考虑正负号一致,则(1-6)式得证。
应用:
求力对点之矩。
步骤如下:
⑴由力矩关系定理,求力对点之矩投影即mx(F)、my(F)、mz(F);
⑵求力对点之矩大小mO(F)和方向(余弦)
其中,α、β、γ分别为mO(F)与坐标轴x、y、z间的夹角。
注意:
力矩无矩心(轴)无意义。
5.汇交力系的合成与合力矩定理
⑴汇交力系的合成
几何法---力多边形法则:
作用于物体上的汇交力系的合力的大小和方向,由各力矢首尾相接构成的多角形封闭边(即由第一个力矢起
点向最后一个力矢终点所做的矢量)来表示,作用线过汇交点。
R2
证明:
如图1-13(a)所示,作用于物体
上的汇交力系F1、F2、F3、F4汇交于A点,
逐次采用力三角形法则(图1-13(b)),即R1
=F1+F2,R2=R1+F3=F1+F2+F3,得R=R2+F4
=F1+F2+F3+F4。
即各力矢首尾相接构成的多
角形封闭边或由第一个力矢起点向最后一个
力矢终点所做的矢量。
由此知
汇交力系的合成结果:
一合力,合力矢等于合理的矢量和,作用线过汇交点。
表达式为
(1-7)
这里,和为的简化表达,以下所有和的表达均用这种简化形式,不再说明。
解析法---合力投影定理:
合力在坐标轴的投影等于各分力在同坐标轴的投影的代数和。
表达式为
⑴平面汇交力系Rx=∑X,Ry=∑Y
由此可得合力大小和方向角为
合力作用线过汇交点。
α为R与坐标轴x间的夹角。
⑵空间汇交力系Rx=∑X,Ry=∑Y,Rz=∑Z(1-8)
由此可得合力大小和方向角为
合力作用线过汇交点。
α、β、γ分别为R与坐标轴x、y、z间的夹角。
汇交力系合成由于几何法易产生测量误差,故重点掌握解析法。
⑵合力矩定理:
或(1-9)
汇交力系的合力对某点之矩等于力系中各力对同点之矩的矢量和。
或合力对某轴之矩等于力系中各力对同轴之矩的代数和。
z
证明:
如图1-14所示,作用于物体上的汇交力系F1、F2、…、Fn汇交于A点,则合力为R=∑F。
设A
点由任意点O引出的矢径为r,则力系
合力对O点之矩为
mO(R)=r×R=r×∑F=∑r×F=∑mO(F)
根据力矩关系定理,对于过O点的任一
轴z,都有
[mO(R)]z=mz(R)=∑[mO(F)]z=∑mz(F)
应用:
合力矩定理给力臂不易求出的力矩的求解提供了方便。
α
例1-2如例1-2图所示,求作用于齿轮的啮合力Pn对轮心O之矩。
已知节圆直径D,压力角α。
解:
1.用力矩公式求:
如例1-2图所示
力臂
,则啮合力Pn对轮心O之矩
2.用合力矩定理求:
Pn向径向、切向分解得分量为
Pr=Pnsinα,Pt=Pncosα
由合力矩定理,啮合力Pn对轮心O之矩
5a
两种方法结果相同。
例1-3求作用于曲柄的铅锤力P(例
1-3图)对各坐标轴之矩。
解:
力P对各坐标轴之矩分别为
mx(P)=-6Pa,my(P)=-6Pacos30º=-5.196Pa,mz(P)=0
β
例1-4如例1-4图所示,求作用于斜齿轮的啮合力Pn对各坐标轴之矩。
已知节圆半径r,压力角α,螺旋角β。
解:
1.分解:
Pn向径向、切向、
轴向经二次分解得分量分别为
Pr=Pnsinα
Pt=Pncosαcosβ
Pa=Pncosαsinβ
2.对各坐标轴之矩:
由合力矩定理,Pn对各坐标轴之矩分别为
α
例1-5如例1-5图所示,已知平面汇交力系
F1=80kN,F2=40kN,F3=60kN,各力方向如图。
求该力系的合力。
解:
1.求合力的坐标投影:
取坐标系Oxy,
合力的坐标投影为
2.求合力:
合力大小、方向角分别为(例1-5图)
本节小结
一、基本概念:
力的分解与投影、力矩(对点之矩、对轴之矩及其要素)。
二、基本原理:
力矩关系定理;合力矩定理。
三、基本计算:
力的投影和力矩;汇交力系合成。
四、注意:
投影与分力等的关系。
理解和掌握力矩概念,掌握并会应用力矩关系定理、合力矩定理。
能够熟练地选择适当的方法计算力的投影、力矩、以及汇交力系的合成结果。
思考题
依下列条件考虑将一力分解为两个力:
F2
(1)沿任意两个方向;
(2)已知一分力;(3)一分力沿已知方位,另一分力要数值最小。
答案:
习题
(1)
1计算图示力P对O点之矩。
答案:
(1)-Pl;
(2)0;(3)Plsinα;(4)P(1.64l2+0.36a2-0.96la)0.5,cosα=-0.8l/(1.64l2+0.36a2-0.96la)0.5,
cosβ=(0.8l-0.6a)/(1.64l2+0.36a2-0.96la)0.5,cosγ=-0.6l/(1.64l2+0.36a2-0.96la)0.5;(5)-Pa;(6)-Pr;
(7)Plsinβ/cosα;(8)-Prcosα
2.图示三棱柱的底面为等腰三角形,OA=OB=a,侧面ABED内沿对角线AE作用一力F,与AB成φ=30
角,求此力对各坐标轴之矩。
答案:
0;-0.5Fa;0.612Fa
3.图示固定环受三绳拉力作用,P1=1kN,P2=2kN,P3=1.5kN,求该力系的合力。
答案:
R=2.77kN,与P2夹角6º10’(第4象限)
4.图示铆接薄板受三力作用,P1=100N,P2=50N,P3=50kN,求该力系的合成结果。
2题图
3图
4图
答案:
R=161N,与P1夹角29º44’(第1象限)
§1-4力系的主矢和主矩
本节介绍了力系的主矢和主矩和力系等效定理,重点是力系的主矢和主矩的计算的解析法、力系等效定理的应用。
难点是主矢和主矩的概念及其应用、空间矢量的表述,可结合内容的阅读理解、例题的复习体会来掌握。
对于如汇交力系这样的简单力系,由于很容易找到合力,其作用效果也容易知道,但对于一般力系则难于用已学的法则找到其合力,不容易了解对刚体的作用效果。
为此,引进力系的主矢和主矩的概念,用以度量力系使刚体运动状态改变效应,其计算是力系简化的基础。
对于作用于物体上的一般力系F1、F2、…、Fn,有
一、力系的主矢量:
力系使刚体移动效应的量度。
1.一般力系的主矢量:
(1-10)
力系的主矢量等于力系中各个力的矢量和,简称主矢。
主矢与合力是两个不同的概念,主矢有大小、方向,但不涉及作用点问题,合力须有大小、方向、作用点三个要素来决定。
2.主矢的计算步骤:
⑴平面汇交力系
①求主矢的投影Rx=∑X,Ry=∑Y
②求主矢大小和方向角为
α为R´与坐标轴x间的夹角。
⑵空间汇交力系
①求主矢的投影
②求主矢的大小
方向余弦
α、β、γ分别为R´与坐标轴x、y、z间的夹角。
二、力系的主矩:
力系使刚体转动效应的量度。
1.一般力系主矩:
(1-11)
力系对某点的主矩等于力系中各个力对同点之矩的矢量和,简称主矩。
主矩与矩心有关,而主矢与矩心无关。
2.主矩的计算步骤:
⑴平面力系MO=∑mO(F)(代数和)
⑵空间力系(矢量和)
①求主矩的投影
②求主矩的大小
方向余弦
α、β、γ分别为MO与坐标轴x、y、z间的夹角。
三、力系等效定理
定理:
两力系等效的充要条件是主矢相等,对任一点主矩也相等。
证明:
两力系等效时它们对刚体的移动和转动效应相同,则主矢和对任意点之主矩相同,即条件必要;两力系主矢和对任意点之主矩相同时,对刚体的移动和转动效应相同,两力系等效,则条件充分。
例1-6图
例1-6如例1-6图所示,
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