泊松过程-poissonPPT文件格式下载.ppt
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(3)若st,N(s)N(t);
(4)当st时,N(t)N(s)等于区间(s,t中“事件A”发生的次数。
泊松过程,定义称计数过程X(t),t0为具有参数的泊松过程,若它满足下列条件:
(1)X(0)=0;
(2)X(t)是独立增量过程;
(3)(平稳性)在任一长度为t的区间中,事件A发生的次数服从参数t的泊松分布,即对任意s,t,有,泊松过程的几个例子,考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。
令X(t)表示电话交换台在0,t时间内收到的呼叫次数,则X(t),t0是一个泊松过程。
考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。
若记X(t)为时间0,t内到达售票窗口的旅客数,则X(t),t0是一个泊松过程。
X(t)为某网站在时间0,t内的被访问次数。
参数为n和s/t的二项分布,例设在0,t内事件A已经发生n次,且0st,对于0kn,求在0,s内事件A发生k次的概率。
泊松过程的另一个定义,定义称计数过程X(t),t0为具有参数0的泊松过程,若它满足下列条件:
(2)X(t)是独立、平稳增量过程;
(3)X(t)满足下列两式:
6.2泊松过程的基本性质,泊松分布:
(1)泊松过程的数字特征,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,
(2)时间间隔与等待时间,设X(t),t0是泊松过程,令X(t)表示(0,t时间内事件A发生的次数,,Wn第n次事件A发生的时刻,或称等待时间,或者到达时间Tn从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔,或称第n个时间间隔,时间间隔Tn,定理设X(t),t0是具有参数的泊松过程,Tn,n1是对应的时间间隔序列,则随机变量Tn(n=1,2,)是独立同分布的参数为的指数分布。
等待时间(到达时间)Wn,定理设X(t),t0是具有参数的泊松过程,Wn,n1是对应的等待时间序列,则随机变量Wn服从参数为n与的分布(又称为爱尔兰分布),其概率密度为,例1已知仪器在0,t内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。
若仪器振动k(k1)次就会出现故障,求仪器在时刻t0正常工作的概率。
解,故仪器在时刻t0正常工作的概率为:
仪器发生第k振动的时刻Wk就是故障时刻T,则T的概率分布为分布:
(3)到达时间的条件分布,假设在0,t内事件A已经发生一次,确定这一事件到达时间W1的分布,分布函数:
分布密度:
均匀分布,到达时间的条件分布,定理设X(t),t0是泊松过程,已知在0,t内事件A发生n次,则这n次到达时间W1W2Wn可看成n个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量,例3设在0,t内事件A已经发生n次,求第k次(kn)事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。
Beta分布,例4设X1(t),t0和X2(t),t0是两个相互独立的泊松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。
记Wk
(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间,W1
(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间,求PWk
(1)W1
(2),即第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生的概率。
6.5非齐次泊松过程,定义称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数(t)的非齐次泊松过程,若它满足下列条件:
(3),非齐次泊松过程的分布,定理设X(t),t0为具有跳跃强度函数为的非齐次泊松过程,则有,令则X(t)服从参数为的poisson分布,例6,设X(t),t0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。
求EX(t)和DX(t)。
例7设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。
乘客流量如下:
5时平均乘客为200人/时;
5时至8时乘客线性增加,8时达到1400人/时;
8时至18时保持平均到达率不变;
18时至21时到达率线性下降,到21时为200人/时。
假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。
求12时至14时有2000人来站乘车的概率,并求出这两小时内乘客人数的数学期望。
6.6复合泊松过程,定义设N(t),t0是强度为的泊松过程,Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量,且与N(t),t0独立,令则称X(t),t0为复合泊松过程。
复合泊松过程的性质,定理设是复合泊松过程,则
(1)X(t),t0是独立增量过程;
(2)若,则,例8考虑电子管中的电子发射问题。
设t时间内到达阳极的电子数目N(t)服从泊松分布,每个电子携带的能量构成一个随机变量序列X1,X2,Xk,。
已知Xk与N统计独立,Xk之间互不相关且具有相同的均值和方差,则t时间内阳极接收到的能量为求S(t)的均值和方差。
泊松脉冲列,定义称泊松过程X(t),t0的导数过程为泊松脉冲列,记为Z(t),t0,即,泊松脉冲列的数字特征,均值函数,泊松脉冲列是平稳随机序列。
相关函数,功率谱密度,6.4散粒噪声,定义当线性系统h(t)输入一泊松脉冲列Z(t)时,其输出过程即为散粒噪声,记为S(t),即,散粒噪声的数字特征,均值函数,散粒噪声也是平稳随机过程,相关函数,功率谱密度,泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性,例5泊松脉冲列输入一线性系统h(t)=etu(t),求其输出散粒噪声的均值和方差。
解,线性系统的传递函数为,散粒噪声的功率谱密度为,相关函数为,均值和方差分别为,32,以上有不当之处,请大家给与批评指正,谢谢大家!
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