乘法公式经典题型及拓展.docx
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乘法公式经典题型及拓展.docx
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乘法公式经典题型及拓展
乘法公式
、复习:
(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3—b3
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:
位置变化,
符号变化,
指数变化,
系数变化,
2ab
2a
4a2
b2
换式变化,
xy
xy
xy
22
xy
zmzmm
22
z2zmm
⑥增项变化,
连用公式变化,
逆用公式变化,
例1.已知a
解:
T(ab)
例2.已知a
xy
xy
2xy
2x
2y
2z
4xy
4xz
ab
求a2b2的值。
a22ab
2,ab1
b8,ab
b2
2b2=(a
二a2b2=22
求(ab)2的值。
b)2
2ab
解:
T(ab)2a22abb2(ab)
22
a
2abb2
二(ab)2(ab)24ab二(a
b)2
4ab=(ab)2
2
ab8,ab2二(ab)
82
4256
例3:
计算19992-2000X1998
解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。
解:
19992-2000X1998=19992-(1999+1)X(1999-1)
=1999
2-(19992-12)=+1=1
例4:
已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。
解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解:
a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2
a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0
例5:
已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。
求x2-z2的值。
解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值,比较麻烦,考虑
到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的,所以只要求出x-z的值即可。
解:
因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14
X4=56。
(22048+1)+1的个位数字是几
例6:
判断(2+1)(22+1)(24+1)
K解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的
规律可循。
观察到1=(2-1)和上式可构成循环平方差。
解:
(2+1)(22+1)(24+1)
/-,2048八.
(2+1)+1
(2-1)(22+1)(24+1)
/-,2048八.
(2+1)+1
=24096=161024
因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幕的个位
数字都是6,所以上式的个位数字必为6。
例7.运用公式简便计算
1982
(1)1032
10000
6009
40000
8004
1)1032
10609
)1982
39204
10032
20022
10022100332
22
200220022
例8.计算
4b3c
a4b
3c
3xy
3x
3c
4b
3c
4b
3c
4b
6a
22
9c16b
3x
3x
9x2
4y4
c22
9xy
4y
例9.解下列各式
(1)
已知a2b2
13,
ab
6,求
ab2,ab2的值
(2)
已知
ab
2
7,
ab
24,求a2b2,ab的值。
(3)
已知
aa
1
2a
b
2.2
2,求abab的值。
2
(4)
已知
x-3,
x
求:
x4A的值。
x
分析:
在公式a
b
22
a
b2
2ab中,如果把ab,a2
O
b2和ab
分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。
解:
(1)va2b213,ab6
ab2a2b22ab132625
ab2a2b22ab13261
ab27,ab24
a22abb27①
a22abb24②
①②得2a2b211,即a:
①②得4ab
3,即ab3
4
(3)由aa1
a2b2
22
b22ab1ab2
2
ab_12.2
ab—a
22
即X2
X2411
X
X21121即X4
X
1
—2121
X
X44r119
X
例10.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗为什么
分析:
由于123412552
3451121112
4561361192
方数。
解:
设n,n1,n2,
3是四个连续自然数
n1n2n31
3n2
2_
n3n
3n
n23n21
3n1
Tn是整数,
n2,3n都是整数
n23n1—定是整数
2c
n3n
是一个平方数
四个连续整数的积与1的和必是
一个完全平方数。
例11.计算
3mn
12
x21
2x3
2x2
2x
3m
3m
_22
9mn
分析:
两数和的平方的推广
2x3
3x2
2x
6mn
6mp
2np
3mn
23m
ab22abc
2ab
b2
2ac2bc
a2b2
几个数的和的平方,
2ab
2bc
2ac
2ab
2bc
2ac
等于它们的平方和加上每两个数的积的
2倍。
二、乘法公式的用法
同时能
(一)、套用:
这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,提高学生的观察能力。
25x49y4
22
例1.计算:
5x23y25x23y2解:
原式5x23y2
(二)、连用:
连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
a1a21a
解:
原式1
a21
a21
1a1
1a8
例3.计算:
3x2y5z
13x
2y5z1
解:
原式2y5z3x
12y
5z3x1
22
6x1
2y5z3x1
4y29x225z220yz
三、逆用:
学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。
例4.计算:
5ab78c5ab78c2
解:
原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c
10a14b16c
140ab160ac
四、变用:
题目变形后运用公式解题。
例5.计算:
xy2zxy6z
解:
原式
xy2z4zxy2z4z
2
y2z2
2y
1.a
2.a
3.a
4.a
b2
2b2b2
2b2
2aba2b2
2aba2b2
ab22a2b2
2
ab4ab
灵活运用这些公式,知识的能力。
往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用
例6.已知a
4,
ab5,求a2b2的值。
解:
a
2b2
b2
2a4b
22526
例7.计算:
cd
解:
原式
bc
ad
2
4z
2
12z2xy4xz4yz
五、
活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式
为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
2a22b22c22d2
4bc
4ad
例8.已知实数X、y、z满足xy
()
5,z2
xyy9,那么x2y3z
解:
由两个完全平方公式得:
ab
从而z2
152
4
25
4
2
y
2
y
15
4
6y
6y
2
3
2
2y
•••z2
2
y30
0,y3
2
2y3z22
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,
认清公式中的
相同,“2x2”
“2x2”则是公式中的b.
符号相反,因而“-5”是
例1计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析:
本题两个因式中“-5”
公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而
解:
原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4.
例2计算(-a2+4b)2
分析:
运用公式(a+b)2=a2+2at+b2时,“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)
二)、注意为使用公式创造条件
例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
分析:
粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”
“5”两项同号,“y”、“Z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.
解:
原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕
22
=(2x+5)2-(y-z)2
22=4x2+20x+25-y+2yz-z2.
例4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
分析:
若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗,但注意逆用幂的运
算法则,则可利用乘法公式,使运算简便.
解:
原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2
3632
=[(a3-1)(a6+a3+1)]2
=216-1
3)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2二a2+2ab+b2,可推广得到:
2222
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
可叙述为:
多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2
倍.
例6计算(2x+y-3)2
解:
原式=(2x)2+y2+(-3)2+2•2x-y+2•2x(-3)+2-y(-3)
22
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y.
4)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7
(1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;
(2)已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
分析:
粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形:
x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,问题则十分简单.
解:
(1)Vx3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知条件代入得100=103-3xy•10,
二xy=30故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2x30=40.
(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8x6=1.
例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2.
分析:
直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变
2222换出(a+b)+(a-b)=2(a+b),因而问题容易解决.
解:
原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2
=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]
=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2
=4a2+4b2+4c2
五)、注意乘法公式的逆运用
例9计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2.
分析:
若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多.
解:
原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac.
例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析:
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便.
解:
原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2
2
=[(2a+3b)+(4a-5b)]2
=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2.
四、怎样熟练运用公式:
一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:
符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算
22
=a
(x+2y—3z)2,若视x+2y为公式中的a,3z为b,则就可用(a—b)—2ab+b2来解了。
(3)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化女0(3x+5y)(5y—3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化女如(—2m—7n)(2m—7n)变为一(2m+7n)(2m—7n)后就可用平方差公式求解了(思考:
不变或不这样变,可以吗)
3、数字变化女口98X102,992,912等分别变为(100-2)(100+2,(100—1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化女口(4n+巴)(2n—巴)变为2(2n+n)(2n—卫)后即可2444
用平方差公式进行计算了.
5、项数变化女口(x+3y+2z)(X—3y+6z)变为(x+3y+4z—2z)(x—3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(4)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1)2•(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1)
/2八-2/4八284.
(a—1)]=(a-1)=a-2a+1.
J,
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-》)(1-?
)(1-1)•-(1-9)(1-^0若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式二(1-1)(1+1)(1-1)(1+丄)x-x(1-丄)(1+丄)
22331010
=!
x3x2x4x…xAx11=1x11=2!
2233101021020
有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:
a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.
2222
如已知m+n=7,mn=—18,求m+n,m—mnn的值.
面对这样的问题就可用上述变式来解,
即mi+n2=(n+n)2-2mn=72-2x(-18)=49+36=85,
22
m-mr+n二(m+n)
2-3mn=72-3x(-18)=103.
F列各题,难不倒你吧!
1、若a+1=5,求
(1)
a
a2+4,⑵(a-丄)2的值.
aa
2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位数字.
(答案:
1.
(1)23;
(2)21.2.6)
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2,(a士b)=a2士2ab+b2,
(a士b)(a2士ab+b2)=a3士b3.
第一层次一一正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用.
例1计算
(2)(
—2x—y)(2x—y).
解⑴原式彳|扌-(列冷宀討
'S'
⑵原式=[(—y)—2x][(—y)+2x]=y2—4x2.
第二层次——逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
(1)19982—1998-3994+19972;
⑵卜右)卜訊1日』日卜击
解
(1)原式=19982—2•1998•1997+1997=(1998—1997)2=1
f1
⑵原式=1--
1S
132
=—»—*一
223
S1091111—♦=—
99101020
:
根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使
第三层次一一活用
用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一
个因式“2-T便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解.
解原式=(2—1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.
例4计算:
(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符.于是可创造条件一“拆”数:
—1=2-3,5=2+3,使用公式巧解.
解原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5.
第四层次一一变用:
解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2-2ab,a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2和a3+b3的值.
解:
•••a+b=9,ab=14,A2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92
2•14)=106,
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=93-3•14-9=351
第五层次综合后用:
将(a+b)=a+2ab+b和(a—b)=a—2ab+
b2综合,
222222
可得(a+b)+(a-b)=2(a+b);(a+b)-(a-b)=4ab;
aS-
鮎+1/
fa-bV
12i
〔2丿
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、
简捷.
例6计算:
(2x+y—z+5)(2x—y+z+5).
解:
原式=1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2--[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
44
=(2x+5)2—(y—z)2=4x2+20x+25—y2+2yz—z2
六、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式:
对于学习的两种(三个)乘法公式:
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+t2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
11
I
a►
i
1
1
4
b
■
■
*b+
0
■
■
a
|-4n
Ji
a
■
V
2、乘法公式的使用技巧:
1提出负号:
对于含负号较多的因式,带来的麻烦。
通常先提出负号,以避免负号多
例1、运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x)
(-2m-1)2
解:
(
(-1+3x)(-1-3x)二[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=1
1)
2-(3x)2=1-9x2.
2222
(2)(-2m-1)=[-(2m+1)]=(2m+1)=4m+4m+1.
2改变顺序:
运用交换律、结合律,可以使公式的特征更加明显.
调整因式或因式中各项的排列顺序,
例2、运用乘法公式计算:
(1)已寸)(-
1a
4b-a);
(2)(x-1/2)(x
2+1/4)(x+1/2)
解:
(1)(ga-fb)(
1a
4b-a
1
4b+3a)(-
1
4b-
1
3a)
1」12
神-9a
2+1/4)
(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)=(x-1/2))(x+1/2)(x
=(x2-1/4)(x2+1/4)=x
2-1/16.
3逆用公式
a2-b2
得anbn=(ab):
等等,在解题时常会收到
将幕的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,事半功倍的效果。
例3、计算:
(1)(x/2+5)2-
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