第5讲 几何辅助线技巧截长补短word版.docx
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第5讲 几何辅助线技巧截长补短word版.docx
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第5讲几何辅助线技巧截长补短word版
红包统计学
你有一台智能手机,如果你上面装了某个软件,那么你2015年的春节很可能是无限的摇一摇,抢一抢中度过的.期中有很多群流行阗一种“红包接力”的玩法,大概的规则是:
群里面先由一人发一个红包,然后大家开始抢,其中金额最大的那个人继续发新一轮的红包,之后不能往复循环.
这时候大家或许就会问了,一直这么玩下去会有什么结果呢?
是“闷声赚大钱”了,还是“错过了几个亿”了?
是最终实现“共同富裕”了,还是变成“寡头垄断”了?
要回答这些问题,我们不妨用统计模拟的方法来做一些随机实验,得到的结果或行会让你大跌眼镜呢.
要进行模拟实验,就需要设定一个红包金额的分配机制.但由于微信红包的算法并没有公开,所以我们只好双观察到的现象出发,“反推”出一个模型,让它尽量符合观察结果,其实这就是科学方法的精髓:
我们也许永远不可有知道宇宙的“源代码”,但是我们能为宇宙建立一个足够好用的模型.
一个完善的红包模型应该包括以下几点:
1、一次可以生成n个随机数,且总和为1,这样每个数乘以红包总金额就是每个人分得的钱;
2、每个随机的期望应该均等,即n分之一,这是为了保证抢红包机会平等;
3、有一个参数可以用来调节红包的“公平”程度,即金额分配的波动性是大还是小.我们可以用一个参数a来决定它的具体形式.a越大,每人分得的金额比例就是越倾向于平均,反之则波动性越大.
模拟接力游戏,开始!
有了这个假想的红包分配机制,我们就可以来模拟红包接力的游戏.首先假设我们有一个50人的群,每个初始手头上的可用金额为50元,根据规则,每次红包的总金额是20元,发放给10个人,其中抢得最大红包金额的人将发出下一轮的红包.如果某人发完红包后余额变成了负值,就不能再继续抢红包,因为他已经发不起下轮红包了,但允许现在其余额为负.在实际情况中,大家可能会根据自己余额的多少来决定是否继续参加,但在此我们忽略了这种可能.
我们让红包接力100次,从最后大家的余额可以看出,有两朋友大幸破产了,而最后资产最多的有92.20包,几乎翻了一倍,一个很明显的事实是,破产的玩家都是因为“中头奖”中得太多,导致不敷出.相反,最终收得92.20元的这位家属于“闷声发大财”.统计,他获得第一名0次,第二名3次,第三名2次,第四名2次,第五名4次…….
当然,概率面前人人平等,没有谁能预知自己抽中红包后会是最大的还是最小的,所以从对称性的角度考虑,个人选择的结果是完全随机的.如果我们将接力次数延长到了500次,可以看出,随着接力的进行,贫富差距会随着游戏的进行变得越来越大.这其实很好理解:
总是有人因为拿了太多头奖而破产,这样财富会在截来越少的人中间进行分配,所以相应地贫富差距就拉大了.
鉴于验证繁琐,红包数据收集不易,而且本身就是个娱乐项目,此处就不再有较真.欢迎感兴趣的读者进行更深入的验证.
最大提醒大家的是,红包主要还是在过年的时候图个喜庆,游戏有风险,抢包需谨慎.
第5讲几何辅助线技巧之截长补短
【专题简介】
截长补短是解决几何证明题的重要方法,求证已知线段等于另两线段之和(或差),一般通过全等转化为证两条线段相等的问题.方法是在另一个所在直线截取与已知边相等的线段来进行证明.无论是截长还是补短,构造全等三角形是解题关键.
【学习目标】
1.学会在合适的条件下可以用截长补短作辅助线.
2.学会合理的证明思路,正确写证明过程.
模块一截长补短
基础夯实
【例1】如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BD于D,求证:
CD=BD+AB
【练1】已知等腰△ABC中,AB=AC,E是AC一点,D是AB延长线上一点,且CE=BD,ED交BC于F,EG⊥BC于G,求证:
FG=BF+CG
总结:
“截长补短”分为“截长”或“补短”,辅助线的做法是否合理,取决于能否利用好已知条件.
【例2】如图,在△ABC中,∠B=2∠C,作∠BAC的平分线AD交BC于D,求证:
AB+BD=AC
【练2】在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,P是AD上任意一点,求证:
AB-AC>PB-PC
强化挑战
【例3】如图,在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,E是BC上,F在CD上,∠EAF=45°,求证:
DF+BE=EF
【练3】如图,△ABC是等边三角形,∠BDC=120°,BD=CD,E、F分别是AB、AC上的点,∠EDF=60°,求证:
BE+CF=EF
【例4】已知△ABC为等边三角形,D是三角形外一点,若∠ADB=60°,求证:
(1)AD+CD=BD;
(2)∠BDC=60°
【练4】已知△ABC是等边三角形,D是三角形外一点,若∠ADC=120°,求证:
(1)AD+CD=BD;
(2)∠ADB=∠CDB=60°
【例5】已知△ACB,∠BCA=90°,D为BA中点,∠EDF=45°,交AC于E点,交BC于F点,连EF.
(1)求证:
CD⊥AB;
(2)求证:
CE+EF=BF
【练5】如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,∠BDC=90°,AH⊥BD,求证:
CD+DH=BH
【例6】在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,P为三角形外一点,∠PBA=20°,∠PCA=30°,求证:
PB+BA=AC.
【练6】已知△ABC,∠BAC=60°,∠ABC=80°,∠A、∠B的平分线交BC、CA于P、Q,求证:
AB+BP=AQ+BQ.
【例7】如图,△ABC为等腰直角三角形,CA=CB,如图,若点E为BC的中点,CN⊥AE于H交AB于N,连EN,求证:
AE=CN+EN.
【练7】如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,已知A(0,2),C(5,0).
(1)如图1,求点B的坐标;
(2)如图2,BF为△ABC的内部且过B点的任意一条射线,过A作AM⊥BF于M,过C作CN⊥BF于N点,写出BN-CN与AM之间的数量关系,并证明你的结论.
【例8】已知△ABC与△DEF为等腰三角形,AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上,点F在射线AC上
(1)如图,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:
AF=AE+AD.
(2)如图2,若AD=AB,求证:
AF=AE+BC
第5讲8年级尖端班课后作业
【习1】在△ABC中,∠BAC=60°,AD是∠BAC的平分线,且AC=AB+BD,∠ABC的度数为()
A.20°B.40°C.60°D.80°
【习2】如图,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.
【习3】在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,P是AD上任意一点,则()
A.AB-AC=PB-PCB.AB-AC<PB-PC
C.AB-AC>PB-PCD.不确定
【习4】已知,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC,求证:
∠BAD+∠BCD=180°
【习5】五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:
AD平分∠CDE
【习6】如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB上一点,OE∥BC,求证:
OD+OE=CD.
【习7】已知△ABC中,∠BAC=60°,D是三角形外一点,若∠ADB=∠CDB=60°,求证:
AD+CD=BD
【习8】如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=BC,E、F分别在AD、CD上,且∠EBF=60°,求证:
EF=AE+CF.
【习9】上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证:
AE=EF+CF.
【习10】如图,△DBC中,DB=DC,A为△DBC外一点,且∠BAC=∠BDC,DM⊥AC于M,求
的值.
【习11】如图,在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90,AB=BC=CD=AD.若F是CD的中点,E是BC边上一点,且AF平分∠DAE,求证:
AE=EC+CD.
【习12】已知:
如图,在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.若E为BC上一点,AF平分∠EAD,求证:
BE+DF=AE.
【习13】在△ABC和△
中,若
,
,求证:
△ABC≌
.
【习14】如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF,求证:
PA=PC.
【习15】
(1)如图,△ABC为等腰直角三角形,若E、F是CB上两点,且CE=BF,CN⊥AE于H交AB于N,求证:
AE=CN+FN
(2)如图,△ABC为等腰直角三角形,若E、F是直线CB上的点,且BE=CF,CN⊥AE于H交AB于N,探究AE、CN、FN三组线段之间的关系.
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