计算方法及答案.docx
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计算方法及答案
《计算方法》练习题一
一、填空题
1.二-3.14159上的近似值,准确数位是()。
2.满足f(a)二c,f(b)二d的插值余项R(x)二()。
3.设{Pk(x)}为勒让德多项式,则(P2(x),P2(x))=()。
4.乘幕法是求实方阵()特征值与特征向量的迭代法。
5.欧拉法的绝对稳定实区间是()。
6.e=2.71828上具有3位有效数字的近似值是()。
7.用辛卜生公式计算积分[
生()。
01+x
8.设=(ajk」))第k列主兀为
aP”,则
aP严
=()
10•已知迭代法:
Xnq=「(xn),(n=0,1,上)收敛,则■(x)满足条件()。
、单选题
1.已知近似数a,b,的误差限;(a),;(b),则;(ab)=()。
A.;(a);(b)b.;(a);(b)c.a;(a)b;(b)d.a;(b);(a)
2.设f(x)=x2x,则f[1,2,3]=()。
JIJIJIJI
A.—B.—C.—D.—
2346
4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有()敛速.
A.线性B.超线性C.平方D.三次
5.改进欧拉法的局部截断误差阶是()
A.0(h)
23
B.o(h)c.o(h)
D.0(h4)
A.110^
2
7.矩阵A满足(
6.近似数a=0.47820102的误差限是()。
11
B.—10」C.—10’
22
),则存在三角分解A=LR。
A.detA=0
B.detAk=0(1込k:
:
n)
c.detA0d.detA:
:
0
已知x=(-1,3,-5)丁,则|x1=()。
A.9
B
.5
C.—3
D.—5
设{Pk(x)}为勒让德多项式,
则(P3(X),R(X))
=()。
2
2
2
2
一B.
—
C.一D.
—
5
7
9
11
计算题
'X1+X2
=3
求矛盾方程组:
*
捲+2x2
=4的最小二乘解。
%-x2=2
21
.用n=4的复化梯形公式计算积分-dx,并估计误差。
1x
『2论+5x2+3x3=6
.用列主元消元法解方程组:
2x-i4x23x3=5。
4捲6x22x3二4
.用雅可比迭代法解方程组:
(求出x⑴)。
_4
-1
'.0
.用切线法求x3-4x,1=0最小正根(求出x1)o
已知f(x)数表:
x
0
1
2
y
-2
0
4
求抛物插值多项式,并求f(0.5)近似值。
已知数表:
x
0
1
2
y
1
3.2
4.8
求最小二乘一次式。
8
9
A.
三、
1
2
3
4
5
6
7
&已知求积公式:
111
J(x)dx:
AfG-)Aif(0)A2f(-)。
求A。
Ai,A,使其具
有尽可能高代数精度,并指出代数精度。
1
■4
9.用乘幕法求A=1
0
31的按模最大特征值与特征向量。
14
10.用予估—校正法求初值问题:
四、证明题
/=2x—y在x=0(0.2)0.4处的解。
.y(0)=1
1.证明:
若f”(x)存在,则线性插值余项为:
f7t)R(x)(X—xo)(x—xj,xo:
:
:
:
:
x1。
2!
y"=-10y
2.对初值问题'',当0 .y(°)=1 3•设P(A)是实方阵A的谱半径,证明: P(A)勻A。 4.证明: 计算..a(a■0)的单点弦法迭代公式为: xnCxna,n二0,1,\ C+Xn 《计算方法》练习题二 一、填空题 1.近似数a=0.63500103的误差限是()。 2.设|x|>>1,则变形、,1・x-: $x=(),计算更准确。 「%+2x2=3 3•用列主元消元法解: “2,经消元后的第二个方程是( 2石+2x2=4 4.用高斯一赛德尔迭代法解4阶方程组,则x3m°=()。 5.已知在有根区间[a,b]上,f'(x),f''(x)连续且大于零,则取x0满足(),则切线 法收敛。 6•已知误差限;(a),;(b),则;(ab)=()。 1dx 7•用辛卜生公式计算积分 02x 8•若A=A。 用改进平方根法解Ax二b,则0二()o 9•当系数阵A是()矩阵时,则雅可比法与高斯一赛德尔法都收敛。 10•若人=—再,且帖”可(iK3),则用乘幕法计算s()o 二、选择题 3 1•已知近似数a的;r(a)=10/0,则;r(a)二() A.10/0B.20/0C.30/0D.40/0 2•设{Tk(X)}为切比雪夫多项式,则(T2(X).T2(X))=()o B—.C.—D.二 42 641亠一 3•对A=[直接作三角分解,则「22=()O : 36一 A.5B.4D.2 4.已知A=D-L-U,则雅可比迭代矩阵B=()o A.DJ(LU)B.D°(L-U)C.(D-L)」UD.(D-U),L 5•设双点弦法收敛,则它具有()敛速° A.线性 B. 超线性C. 平方D.三次 6•J 2=1.41424A,则近似值10 的精确数位是()。 7 A. 10」 B 10, C.10’D.10“ 7•若 ? 21 _|10]『11「12「 ,则有「22=()° .2 4一 ^211^0G一 A. 2 B.3 D.0 &若 A= I4 门 ,则化A为对角阵的平面旋转角日=()° 4一 n JI 3131 A. —— B. —C. —D.— 2 3 46 9.改进欧拉法的绝对稳定实区间是( )。 A.[-3, 0] B.[ 0] C.[,0]D.[-2,0] 二、计算题 x 0 1 2 用插值法求f(X)=0在[0,2]的根。 2.已知数表 x 0 1 2 3 y 求最小二乘一次式。 6已知函数表 x 1 2 y -1 0 Fy 0 2 1 &求积公式: 0f(x)dx常Af(0)+Bf(xj,试求捲,A,B,使其具有尽可能高代数精度,并指出代数精度。 9.用双点弦法求x3-5x•2=0的最小正根(求出X2)。 IV'=X—v 10.用欧拉法求初值问题: 在x=0处的解。 IV(0)=1 四、证明题 1.证明: A-B。 1a 2.证明: 计算5a的切线法迭代公式为: Xni(4x「r),n=0,1,… 5Xn 3.设lo(x),…,ln(x)为插值基函数,证明: n 二: lk(X)=1。 k=0 4.若B: : : 1。 证明迭代法: f2严」Bx(m)F,m=0,1,…收敛。 33 《计算方法》练习题一答案 一•填空题 $.[-2,0] X2=1, 1.102.f-(1(x-a)(x-b)3.—4•按模最大 2! 5 1丄1 6.10,7.-^=__-,8. 2.1xx 9.—b373必『°-a32x2m-a34x4m),10f(x°)0 a33 •单选题 l.C2.A 3. C4. B 5.C 6.C7.D8.B 9 .B 三.计算题 1(X1,X2)=(X1X2 -3)2 (x-i2x2- -4)2(Xi -X2-2)2, 3%+2x2=9 \2人+6x2=9 解得兀=®,X2=9。 714 2435 T 123 T 224 4624 ii 224 ii 11 3 6 2 6 2 5 3. 回代得: X =(-1,1,1)丁 =(0.5,1.25,0.5)丁。 5.因为f(0)=10,f(0.5)二―0.875: : : 0,所以x[0,0.5],在[0,0.5]上, 2 f(x)=3x-4: : 0,f(x)=6x_0。 由f(Xo)f(x)_0,选X。 =0,由迭代公式: 3xn-4 计算得: x^=0.25。 6•利用反插值法得 7.由方程组: 4a06a=48* 6a014a^102,解得: 色二3®.6,所以g1(x"36x。 他讥⑼冷(04)透(04)(02)=1.75 9.因为 a22==3月12-1, __2,2t ■i=4,Xi=(,,0) 22 所以: 2=3,X2=(0,1,0)T 近近T*2,X3=(,,0)T 22 10•应用欧拉法计算公式: yn彳=0.2xnT.1yn,n=0,1,y0=1。 计算得y1=1.1,y2=1.23。 四.证明题 1•设R(x)=k(x)(x—X0)(x—xjg(t)=f(t)-Ljt)一k(x)(t-x°)(t-xj,有 X0,X1,X为三个零点。 应用罗尔定理,g(t)至少有一个零点 g(f()-2! k(x)=o,k(x)。 2.由欧拉法公式得: yn-~n=1-OhnIy°-~0。 当0: : : h乞0.2时,则有 yn—~n|勻y°-~0。 欧拉法绝对稳定。 3.因为A=(A-B)+B,a匚a-b||: |b, 所以A-B|JA-B, 又因为B=(B-A)+A,B乞B-AA 所以B-A|.|B-A=A-B B||A乞A—B 4•因为计算5a等价求X5-a=0的实根, 5 xn—a xn”-4 5Xn 将f(x)=x5-a,f'(x)=5x4代入切线法迭代公式得: (4xn*—),n=0,1,…。 5Xn 《计算方法》练习题二答案 、填空题 10,,2. 珥G)<1 3.xn1 0Xn丄a Xn亠x^丄(n=1,2‘-;), 4. 5. f(Xn2,yn头) 6. |b|;(a)|a|;(b) 7. 73 180' 8. 皎,9.严格对角占优 rkk 10. 1 f(k42)V Xj_ (k) 二、单选题 1.C2.B3 6.A7.B8 三、计算题 6x-2y=19 2x_3y=5 ,解得: 474 "荷。 =0,一=0 11O 3.由48^210解得一3,取n=3, 复化梯形公式计算得: f-d^拓1[丄+6+1]茫0.4067。 02x62783 4. ■1 2 【° 2 3 -1 -1 10—1 ■1 0 ■.0 2 -1 0 回代得: =(~1,1,1J ■ 「忑0历 - 22 一2011 A= 010 020|| 卫0血 [,102 22一 5.因为 a33 所以.勺=3,x 2 0辽 2 二an n 4 二2,a12=1,- 2 0 J 2 ■2=3,X2=(0,1,0)T .22t "3,X3十 6H(x)=(12(x—1))(x-2)2(-1)(x—2)(x—1)22=x2-2x R(x)=f_;P(x—1)2(x—2)2,(1「: : 2) 4! 7.设 ****113*31 g1(x)二a0P0(x)a1P1(x),则a。 “xdx=0& 22- 所以g;(x)= &设求积公式对f(x)=1,x,x2精确得: A+B=1 1231 Xr=—,B=—,A=—o 2344 21 Bx1=— L.3 所以求积公式为: f(x)dx: 丄f(0)3f(-), 七443 312 再设f(x)=x,则左=右。 此公式具有3次代数精度。 49 9.因为f(0)=20,f(0.5)二―0.375: : 0,故x[0,0.5],在[0,]上, mb]=minf"(x)=4.25,M2=maxf"(x)=3, KR< M2 2|^| 0.5 諾: : 1 应用双点弦法 迭代公式: (人-5焉2) (xn-5xn2)-(xn丄〜5xn」2) 10.yni=O.IXn0.9yn,n=0,1,由y0=1,计算得: %=09y2=0.82 四、证明题 所以有汕2弘韵温 2•因为迭代函数是「(x)f(x),「'(X)=1-〉f'(X), 2 当0时则有一1: : : 1「二f'(x)=: : 1,即 |1f'(x)円"(X)卜: 1,所以迭代法收敛。 n所以有vl(x)二f(X)=1。 k=0 21 4•因为迭代矩阵为G=—I•—B,B叮, 33 所以G=21£b^|MI+1IIB<1,所以迭代法收敛。 2.(x,y)=(xy-4)2(x-y-3)2(2x-y-6)2,
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