11集合及其运算.docx
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11集合及其运算
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A=B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩∁UA=∅;A∪∁UA=U;∁U(∁UA)=A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √ )
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
1.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
答案 D
解析 由题意知A={0,1,2,3},由a=2
,知a∉A.
2.(2016·江西重点中学联考)已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=
},则A∩B等于( )
A.[1,3]B.[1,5]C.[3,5]D.[1,+∞)
答案 C
解析 根据题意,得A={x|x2-6x+5≤0}={x|1≤x≤5},
B={x|y=
}={x|x≥3},
所以A∩B={x|3≤x≤5}=[3,5].
3.已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B等于( )
A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}D.{-1,0}
答案 A
解析 因为A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合B为整数集,所以集合A∩B={-1,0,1,2},故选A.
4.(2016·天津)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B等于( )
A.{1}B.{4}
C.{1,3}D.{1,4}
答案 D
解析 因为集合B中,x∈A,所以当x=1时,y=3-2=1;
当x=2时,y=3×2-2=4;
当x=3时,y=3×3-2=7;
当x=4时,y=3×4-2=10;
即B={1,4,7,10}.
又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.故选D.
5.(2016·云南名校联考)集合A={x|x-2<0},B={x|x 答案 [2,+∞) 解析 由A∩B=A,知A⊆B, 从数轴观察得a≥2. 题型一 集合的含义 例1 (1)(2017·济南调研)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) A.9B.8C.7D.6 (2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________. 答案 (1)B (2)0或 解析 (1)当a=0时,a+b=1,2,6; 当a=2时,a+b=3,4,8; 当a=5时,a+b=6,7,11. 由集合中元素的互异性知P+Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素. (2)若a=0,则A= ,符合题意; 若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a= . 综上,a的值为0或 . 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合; (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)(2016·临沂模拟)已知A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是( ) A.-1∉AB.-11∈A C.3k2-1∈A(k∈Z)D.-34∉A (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ,则b-a=________. 答案 (1)C (2)2 解析 (1)∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈A. (2)因为{1,a+b,a}= ,a≠0, 所以a+b=0,得 =-1, 所以a=-1,b=1,所以b-a=2. 题型二 集合的基本关系 例2 (1)(2016·唐山一模)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是( ) A.5B.4C.3D.2 (2)已知集合A={x|x2-2017x+2016<0},B={x|x 答案 (1)B (2)[2016,+∞) 解析 (1)∵{1,2}⊆B,I={1,2,3,4}, ∴满足条件的集合B有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. (2)由x2-2017x+2016<0,解得1 故A={x|1 又B={x|x 可得a≥2016. 引申探究 本例 (2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________. 答案 (-∞,1] 解析 A={x|1 可得a≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. (1)已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为( ) A. 或- B.- 或 C. 或- 或0D.- 或 或0 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 答案 (1)D (2)(-∞,4] 解析 (1)由题意知A={2,-3}. 当a=0时,B=∅,满足B⊆A; 当a≠0时,ax-1=0的解为x= , 由B⊆A,可得 =-3或 =2, ∴a=- 或a= . 综上,a的值为- 或 或0. (2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2; 当B≠∅时,若B⊆A,如图, 则 解得2 综上,m的取值范围为(-∞,4]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B等于( ) A. B. C. D. (2)(2016·浙江)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)等于( ) A.[2,3]B.(-2,3] C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由A={x|x2-4x+3<0}={x|1 B={x|2x-3>0}={x|x> }, 得A∩B={x| ,故选D. (2)由已知得Q={x|x≥2或x≤-2}. ∴∁RQ=(-2,2).又P=[1,3], ∴P∪(∁RQ)=[1,3]∪(-2,2)=(-2,3]. 命题点2 利用集合的运算求参数 例4 (1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12 C.a≥-1D.a>-1 (2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ) A.0B.1C.2D.4 答案 (1)D (2)D 解析 (1)因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1. (2)由题意可得{a,a2}={4,16},∴a=4. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2016·山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B等于( ) A.(-1,1)B.(0,1) C.(-1,+∞)D.(0,+∞) (2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1 A.[-1,2)B.[-1,3] C.[2,+∞)D.[-1,+∞) 答案 (1)C (2)D 解析 (1)∵A={y|y>0},B={x|-1 ∴A∪B=(-1,+∞),故选C. (2)由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A. ①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2. ②当B≠∅时,有 解得-1≤m<2. 综上,m的取值范围为[-1,+∞). 题型四 集合的新定义问题 例5 已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为( ) A.77B.49C.45D.30 答案 C 解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“ ”,集合B表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“ ”+所有圆点“ ”+所有圆点“ ”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在; (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 定义一种新的集合运算△: A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于( ) A.{x|3 C.{x|3 答案 B 解析 A={x|1 1.集合关系及运算 典例 (1)已知集合A={1,3, },B={1,m},A∪B=A,则m等于( ) A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3或0 (2)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B⊆A,则实数a的取值范围是________. 错解展示 解析 (1)由A∪B=A得B⊆A,∴m=3或m= , 故m=3或m=0或m=1. (2)∵B⊆A,讨论如下: ①当B=A={0,-4}时, 解得a=1. ②当BA时,由Δ=0得a=-1, 此时B={0}满足题意, 综上,实数a的取值范围是{1,-1}. 答案 (1)D (2){1,-1} 现场纠错 解析 (1)A={1,3, },B={1,m},A∪B=A,故B⊆A,所以m=3或m= ,即m=3或m=0或m=1,其中m=1不符合题意,所以m=0或m=3,故选B. (2)因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 答案 (1)B (2)(-∞,-1]∪{1} 纠错心得 (1)集合的元素具有互异性,参数的取值要代入检验. (2)当两个集合之间具有包含关系时,不要忽略空集的情况. 1.(2016·四川)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( ) A.3B.4C.5D.6 答案 C 解析 由题意可知,A∩Z={-2,-1,0,1,2},则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 2.已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的子集的个数为( ) A.8B.4C.3D.2 答案 B 解析 由题意得P={3,4},∴集合P有4个子集. 3.已知集合A={x|1 A.[ ,+∞)B.[0, ) C.(-∞,0]D.[0,+∞) 答案 D 解析 ∵A∩B=∅, ①若2m≥1-m,即m≥ 时,B=∅,符合题意; ②若2m<1-m,即m< 时, 需满足 或 解得0≤m< 或∅,即0≤m< . 综上,实数m的取值范围为[0,+∞). 4.(2017·潍坊调研)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{0,1}B.{1} C.{1,2}D.{0,1,2} 答案 B 解析 因为A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为A去掉A∩B,所以阴影部分所表示的集合为{1}. 5.已知集合A={x|-1 A.(-∞,0]B.[0,+∞) C.(-∞,0)D.(0,+∞) 答案 B 解析 用数轴表示集合A,B(如图), 由A⊆B,得a≥0. 6.(2016·河北衡水中学模拟)已知U为全集,集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|2 A.{x|-1≤x≤4}B.{x|2 C.{x|2≤x<3}D.{x|-1 答案 B 解析 ∵A={x<-1或x>3}, ∴∁UA={x|-1≤x≤3},B={x|2 ∴B∩(∁UA)={x|2 7.(2016·宁夏银川二中考试)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是( ) A.(0,1]B.[1,+∞) C.(0,1)D.(1,+∞) 答案 B 解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1. 8.(2015·浙江)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q等于( ) A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2] 答案 C 解析 ∵P={x|x≥2或x≤0},∁RP={x|0<x<2}, ∴(∁RP)∩Q={x|1<x<2},故选C. 9.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4}. ∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. *10.设集合M= ,N= ,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由已知,可得 即0≤m≤ ; 即 ≤n≤1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M= ,N= ,所以M∩N= ∩ = ,此时集合M∩N的“长度”的最小值为 - = ,故选C. 11.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为__________. 答案 - 解析 ∵3∈A,∴m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3, 不符合集合的互异性,舍去; 当2m2+m=3时,解得m=- 或m=1(舍去), 当m=- 时,m+2= ≠3,符合题意, ∴m=- . 12.(2017·南阳月考)设全集U=R,集合A={x|y= },B={y|y=ex+1},则A∪B=__________. 答案 (-∞,-1]∪(1,+∞) 解析 因为A={x|x≥3或x≤-1},B={y|y>1}, 所以A∪B={x|x>1或x≤-1}. 13.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是__________. 答案 (-∞,1] 解析 ∵1∉{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1. *14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 答案 6 解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个. *15.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5 由A∩B=(-1,n),可知m<1, 则B={x|m
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- 11 集合 及其 运算
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