函数的表示法附答案.docx
- 文档编号:10888819
- 上传时间:2023-05-28
- 格式:DOCX
- 页数:30
- 大小:109.78KB
函数的表示法附答案.docx
《函数的表示法附答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数的表示法附答案.docx(30页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
函数的表示法附答案
函数的表示法
[学习目标]1.掌握函数的三种表示方法:
解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
知识点函数的三种表示方法
表示法定义
解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系
思考
(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点?
(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗?
答
(1)三种表示方法的优、缺点比较:
优点缺点
①简明、全面地概括了变量间的关系;②可以通
解析法不够形象、直观
过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对一般只能表示部分自变量的
列表法
应的函数值函数值
直观、形象地表示出函数的变化情况,有利于通只能近似地求出自变量所对
图象法
过图形研究函数的某些性质应的函数值,有时误差较大
(2)不一定.
0,x∈Q,
并不是所有的函数都可以用解析式表示,不仅如此,图象法也不适用于所有函数,如D(x)=列表法1,x∈?
RQ.
虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段.
题型一作函数的图象
例1作出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x∈Z);
(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).
解
(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,如图
(1)所示.
第1页
(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线
y=x2-2x介于0≤x<3之间的一部分,如图
(2)所示.
跟踪训练1画出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x≤0);
(2)y=x
2-2x(x>1,或x<-1).
解
(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图
(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1,或x<-1)是抛物线y=x2-x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图
(2).
题型二列表法表示函数
例2已知函数f(x),g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g
(1))的值为________;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
答案12
解析∵g
(1)=3,∴f(g
(1))=f(3)=1.
f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
∴f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
跟踪训练2已知函数f(x),g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
(1)f[g
(1)]=__________;
(2)若g[f(x)]=2,则x=__________.
答案
(1)1
(2)1
第2页
解析
(1)由表知g
(1)=3,∴f[g
(1)]=f(3)=1;
(2)由表知g
(2)=2,又g[f(x)]=2,得f(x)=2,
再由表知x=1.
题型三待定系数法求函数解析式
例3
(1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解
(1)∵f(x)是一次函数,∴设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又∵f[f(x)]=4x-1,
∴a2x+ab+b=4x-1,
a2=4,
a=2,
a=-2,
即
解得
1
或
ab+b=-1,
b=-3
b=1.
∴f(x)=2x-13或f(x)=-2x+1.
(2)∵f(x)是二次函数,
∴设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=1,得c=1,
由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x.
左边展开整理得2ax+(a+b)=2x,
2a=2,a=1,
由恒等式原理知解得
a+b=0,b=-1.
∴f(x)=x2-x+1.
跟踪训练3已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f
(1)=2,f
(2)=5,求该二次函数的解析式.
c=1,
解设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得a+b+c=2,4a+2b+c=5,
a=1,
2
解得b=0,故f(x)=x+1.
题型四换元法(或配凑法)求函数解析式
例4求下列函数的解析式:
(1)已知f
1+x=1+x2
1,求f(x);
x
x2
+x
(2)已知f(x+1)=x+2x,求f(x).
解
(1)方法一(换元法)令t=1+x=1+1,
xx
第3页
则t≠1.把x=
1
代入f
1+x
=
1+x
2
1
,得
x
x
2
+x
t-1
1
2
1+t-1
+
1
=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1.
f(t)=
1
2
1
t-1
t-1
∴所求函数的解析式为
f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).
1+x
2
1+x2
1+x-x
1+x2
1+x
方法二
(配凑法)∵f
=
1+x+2x-2x1
=
-
=
+1,
x
x2
+x
x
x
-
x
x
∴
f(x)=x2-x+1.
又∵1+x=1+1≠1,
xx
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
(2)方法一(换元法)令x+1=t(t≥1),
则x=(t-1)2,
∴f(t)=(t-1)2+2t-12=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二(配凑法)∵x+2x=(x+1)2-1,
∴f(x+1)=(x+1)2-1.
又∵x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
跟踪训练4已知函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)=________.
答案x2-4x+3
解析方法一(换元法)令x+1=t,则x=t-1,可得f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3.
方法二(配凑法)因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x+1)2-4(x+1)+3,
所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,
即f(x)=x2-4x+3.
忽略函数的定义域致误
例5已知f(x-1)=2x+x,求f(x).
错解令t=x-1,则x=(t+1)2,
22
所以f(t)=2(t+1)+(t+1)=2t+5t+3,
2
所以f(x)=2x+5x+3.
正解令t=x-1,则t≥-1,x=(t+1)2,
22
所以f(t)=2(t+1)+(t+1)=2t+5t+3,
2
所以f(x)=2x+5x+3(x≥-1).
第4页
易错警示
错误原因
纠错心得
忽略t=x-1中t的取值范围,导致解析式
对于函数问题,不可忽视定义域,否则就容
不正确.
易导致失误.
跟踪训练5
已知f(1+
1
1
x)=x2-1,求f(x).
解令t=1+1(x≠0),则x=1
(t≠1),
x
t-
1
22
所以f(t)=(t-1)-1=t-2t(t≠1),
2
所以f(x)=x-2x(x≠1).
1.已知f(x+2)=6x+5,则f(x)等于()
A.18x+17B.6x+5
C.6x-7D.6x-5
2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻
合得最好的图象是()
3.已知函数f(x)由下表给出,则
f(f(3))=________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
4.已知f(x)是一次函数,且满足
3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)的解析式为_______.
5.已知f(x)为二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的表达式.
第5页
一、选择题
1.已知f(x)是一次函数,2f
(2)-3f
(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于(
)
A.3x+2
B.3x-2
C.2x+3
D.2x-3
2.已知f(x-1)=x2,则f(x)的解析式为(
)
A.f(x)=x2+2x+1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=x2+2x-1
D.f(x)=x2-2x-1
1
1
3.已知f(1-2x)
=x2,则f
(2)的值为(
)
1
1
A.4
B.
4
C.16
D.16
4.函数f(x)=x+|x|x的图象是()
5.如图中图象所表示的函数的解析式为()
3
A.y=2|x-1|(0≤x≤2)
33
B.y=2-2|x-1|(0≤x≤2)
3
C.y=2-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
6.设f(x)=2x+a,g(x)=
1
(x
2+3),且g(f(x))=x2-x+1,则a的值为()
4
A.1
B.-1
C.1或-1
D.1或-2
二、填空题
7.已知f(x)是一次函数,若
f(f(x))=4x+8,则f(x)的解析式为________________.
第6页
2
8.函数y=x
-4x+6,x∈[1,5)的值域是________.
9.若2f(x)+f
1
=2x+1(x≠0),则f
(2)=________.
x
2
10.如图,函数
y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为
(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=____.
三、解答题
11.作出下列函数的图象,并求出其值域.
(1)y=x2+2x,x∈[-2,2];
(2)y=|x+1|.
12.
(1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式.
13.求下列函数的解析式:
121
(1)已知fx-x=x+x2+1,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.
第7页
当堂检测答案
1.答案C
解析设x+2=t,得x=t-2,
∴f(t)=6(t-2)+5=6t-7,
∴f(x)=6x-7,故选C.
2.答案C
解析由题意,知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始时匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最
后是加快速度行驶,故选C.
3.答案1
解析由题设给出的表知f(3)=4,则f(f(3))=f(4)=1.故填1.
4.答案f(x)=2x+7
解析设f(x)=ax+b(a≠0),
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7.
5.解设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=c=0,
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)
=ax2+(2a+b)x+a+b,
f(x)+x+1=ax2+bx+x+1=ax2+(b+1)x+1.
又f(x+1)=f(x)+x+1,
2a+b=b+1,
a=
1,
2
∴
∴
1
a+b=1,
b=2.
1
2
1
∴f(x)=
x
+x.
2
2
课时精练答案
一、选择题
1.答案
B
解析
设f(x)=kx+b(k≠0),
k-b=5,
k=3,
∴f(x)=3x-2.
∵2f
(2)-3f
(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,∴
∴
k+b=1,
b=-2,
2.答案
A
解析
令x-1=t,则x=t+1,
∴f(t)=(t+1)2=t2+2t+1,
∴f(x)=x2+2x+1.
第8页
3.答案
C解析根据题意知
1-2x=1,解得x=1,故12=16.
2
4x
4.答案
C
解析
x+1,
x>0,
f(x)=
x-1,x<0.
5.答案
B
解析
由图象知,当
0≤x≤1时,y=3x;当1 x. 2 2 6.答案 B 解析 因为g(x)=1(x2+3),所以g(f(x))=1 [(2x+a)2+3]=1 (4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1,求得a=-1.故选B. 4 4 4 二、填空题 8 7.答案f(x)=2x+或f(x)=-2x-8 解析设f(x)=ax+b(a≠0), a2=4, a=2, a=-2, 则f(f(x))=f(ax+b)=a2x+ab+b=4x+8.所以 解得8 或 ab+b=8, b=3 b=-8. 8 所以f(x)=2x+3 或f(x) =-2x-8. 8.答案[2,11) 解析画出函数的图象,如图所示, 观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2),f(5)),即函数的值域是[2,11). 5 9.答案 2 解析 令x=2,得2f (2)+f1 =9,令x=1 ,得2f 1 +f (2)=3 ,消去f 1 ,得f (2)=5. 2 2 2 2 2 2 2 10.答案2 三、解答题 11.解 (1)y=x2+2x=(x+1)2-1,x∈[-2,2]. 列表如下: x -2 -1 0 1 2 y 0 -1 0 3 8 作出函数图象如图 (1)所示,图象是抛物线 y=x2+2x 在-2≤x≤2 的部分,可得函数的值域是[-1,8]. 第9页 (2)当x+1≥0,即x≥-1时,y=x+1; x+1,x≥-1, 当x+1<0,即x<-1时,y=-x-1.∴y= -x-1,x<-1. 作该分段函数的图象如图 (2)所示,可得函数的值域是[0,+∞). 12.解 (1)设f(x)=ax+b(a≠0), 则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21,所以a=2,b=5,所以f(x)=2x+5. (2)因为f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=1,得c=1. 又因为f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x,整理,得-2ax+a-b=4x,求得a=-2,b=-2, 所以f(x)=-2x2-2x+1. 13.解 (1)∵fx-1x=x-1x2+2+1=x-1x2+3.∴f(x)=x2+3. 2 (2)以-x代替x得: f(-x)+2f(x)=x-2x. 与f(x)+2f(-x)=x2+2x联立得: 12 f(x)=3x-2x. 第10页 第
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 表示 答案