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helmholzt速度分解
第五章二元流体运动学基础
ChapterFiveDynamicsBasisofTwo-dimensionalFluid
第一节微元流团运动分析
SectionOneMovementAnalysisofFluidDifferentialElement
一、流体微团运动的基本形式(二维情况)
流体微团运动的基本形式有四种,即平移、转动、线变形和角变形。
1.平移
(1)含义:
流体团整体从一处平行移动至另一处。
(2)表示:
用平移速度(u,v)表示。
2.转动
(1)含义:
流体团绕某一转轴转动,同时伴有流团形状的改变(若取矩形流体团,转动后可按菱形考虑)。
(2)表示:
用旋转角速度
表示。
A.定义:
流体团中取正交的两条流体线,单位时间内绕某一转轴(如z轴)转动时,其旋转角度(旋转具有方向性)的平均值称为旋转角速度。
B.表示:
3.线变形
(1)含义:
流体团中的流体线伸长或缩短。
(2)表示:
用线变形速度
、
表示。
A.定义:
单位时间流体团中流体线的相对伸长或缩短量。
B.表示:
4.角变形
(1)含义:
绕某一转轴流体团形状发生改变(若取矩形流体团,转动后可按菱形考虑)。
(2)表示:
用角变形速度
表示。
A.定义:
流体团中取正交的两条流体线,单位时间内绕某一转轴(如z轴)时,其所夹直角变化量的平均值称为角变形速度。
B.表示:
二、海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理
1.定理实质:
主要研究流体微团内部相邻两流点间的速度关系,说明流体微团运动的基本形式有平移、转动、线变形与角变形四种。
2.定理内容:
将上式微元速度
、
及
展开,并组合成旋转角速度、线变形速度及角变形速度的形式,则
上式即为海姆霍兹速度分解定理。
3.意义:
(1)将旋转运动从一般运动中分离出来,使流体运动可以划分两大类:
有旋运动与无旋运动。
(2) 将变形运动从一般运动中分离出来,使问题研究更为广泛,如由角变形速度可进一步得出广义牛顿内摩擦定律(速度梯度的实质可理解为角变形速度)。
[注意]
海姆霍兹速度分解定理只适用于微元流团内部,是个局部定理,不同于《工程力学》中刚体的速度分解定理。
第二节有旋运动的基本概念
SectionTwoBasicConceptsofVortexMovement
一、区分有旋运动与无旋运动
1.定义:
流动中流体微团的旋转角速度为零或可以忽略不计,称此流动为无旋运动,否则为有旋运动。
2.区分有旋运动和无旋运动的判据:
旋转角速度
,即
为无旋运动,而
则为有旋运动。
[注意]
(1)不能只看外观表象,必须通过判据,即旋转解速度来区分有旋与无旋。
如剪切流u=ay,v=w=0,由判据可得
,因此剪切流是有旋运动;点涡流
,
,由判据可得
,因此点涡流是无旋运动。
若从表象看则结果正好与上述相反。
(2)有旋运动在工程中常见。
可以认为无旋运动是有旋运动退化的结果。
(3)流体应指明某点或某区域有旋或无旋,具有局部性质,区别于刚体的整体性质。
二、有旋运动的基本概念
1.旋涡现象:
2.有旋运动与无旋运动相对应的概念(可以对照理解有旋运动的相关概念)
(1)涡量场与涡量
(即角速度场与旋转角速度
)
速度场与线速度
;
(2)涡线
流线:
涡线是指涡量场(角速度场)中的瞬时光滑曲线,该曲线上任一点的切点方向与该点的涡量(或旋转角速度)的方向相重合。
(3)涡管、涡束与微元涡管、微元涡束
流管、流束与微元流管、微元流束:
涡管是指涡量场中取一封闭曲线(其本身不是涡线,且不能两次通过同一条涡线),该曲线上每一点所在的涡线所构成的管状表面。
涡束是指涡管中的涡线簇。
(4)涡通量I
体积流量qv:
,其中角标“n”表示面积的法方向。
3.速度环量:
(1)定义:
流场中取一封闭曲线l,流速沿该曲线的线积分称为速度环量,即
(2)说明:
A.有旋运动场,其流动空间既是速度场,又是涡量场或旋转角速度场。
B.实验观测到:
有旋运动中,流体围绕某一核心旋转,涡通量越大,旋转角速度越快,旋转的范围越大。
因此,涡通量与环绕核心的流体线速度有密切关系,于是引入速度环量这一概念。
C.考察速度环量的方向时,认为被封闭曲线所围绕的面积正法线方向与绕行正方向遵循右手定则。
三、有旋运动的基本定理
1.斯托克斯(Stokes)定理
(1)内容:
沿封闭曲线l的速度环量等于通过该曲线所围曲面面积A的涡通量,即
(2)意义:
A.涡通量与速度环量都可以表征流体的有旋性,但涡通量不能直接测得,而用速度环量则较容量。
B.若
,则曲线l所围面积A内有涡线通过,流体一定有旋运动;若曲线l所围面积A内不包含涡线,则
,流体一定无旋;若单单给出
,则不能明确判断有旋或无旋。
2.汤姆生(Thomson)定理
(1)内容:
正压性理想流体,在有势质量力作用下,沿任何封闭流体线的速度环量不随时间变化,即
(2)意义:
A.速度环量不随时间变化,意味着涡通量不随时间变化(斯托克斯定理),即若某一时刻流体有旋,则此前此后都是有旋;若某一时刻无旋,则此前此后都是无旋;若某一时刻由于某种原因,在无旋运动场内产生旋涡,它必然成对产生大小相等、方向相反的旋涡,以保持整体仍为无旋运动。
因此,汤姆生定理指明旋涡具有不生不灭的性质。
B.旋涡不生不灭是有条件的,即流体必须是正压性理想流体,质量力必须是有势力,且流体质点必须还是原来的全部质点组成。
所谓正压性流体是指流体的密度只压力有关(工程上,其它物理量的影响可忽略时也可如是认为)。
3.海姆霍兹(Helmholtz)三定理
(1)内容:
A.海姆霍兹第一定理:
任一瞬时,沿涡管长度各截面上的旋涡强度(即涡通量)相等。
即
或
对于微元涡管,则
或
因此,海姆霍兹第一定理又称为涡管强度守恒原量,可参照一维不可压缩流体动的连续性方程
理解此定理。
B.海姆霍兹第二定理:
正压性理想流体,在有势质量力作用下流动,则涡管一直保持为相同流体质点组成的涡管而不被破坏。
C.海姆霍兹第三定理:
正压性理想流体,在有势质量力作用下流动,则任何涡管的涡通量不随时间变化,永远保持定值。
(2)意义:
A.海姆霍兹第一定理阐述了涡通量守恒原理,即涡管不能在运动中产生或消失,只能自行封闭成涡环或终止(或开始于)边界,如吸烟时所吐的烟圈;龙卷风始于地面,终于高空;漏斗中的有旋流动角速度将随面积收缩而增大等等。
B.海姆霍兹第二、第三定理说明,在限定条件下,涡管、涡线上的流体质点永远保持在涡管、涡线上,随其一起运动,好象冻结在其上面一样,此种现象称为冻结性。
第三节无旋运动的一般性质
SectionThreeGeneralPropertiesofPotentialMovement
一、速度势函数
1.存在条件:
只要是无旋运动就存在速度势函数,因此无旋运动又称为势流。
2.势函数表示:
无旋运动的旋转角速度为零,即
根据高数知识,上式是
成为某个“函数”(这里记作
)全微分的充要条件,即
称函数
为速度势函数。
3.势函数意义:
(1)势函数与速度的关系
因为
,对照
,则
(2)势函数是调和函数
将上述势函数与速度的关系代入不可压缩流体的连续性方程
,则
称之为势函数
的拉普拉斯方程,满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数,因此势函数是调和函数。
(3)势函数的应用
将不可压缩流体的无旋运动归结为求解拉普拉斯方程的问题(结合初始条件和边界条件可获得某一具体问题的解),然后根据所得的势函数可求出速度分布,进而应用伯努利方程可获得压强分布。
二、速度流函数
1.存在条件:
不可压缩流体的平面流动就存在速度流函数。
2.流函数表示:
不可压缩流体平面流动的连续性方程为
或
,
根据高数知识,上式是
成为某个“函数”(这里记作
)全微分的充要条件,即
称函数
为速度流函数。
3.流函数意义:
(1)流函数与流线的关系
平面流动的流线方程为
或
,结合
可得
或
因此,流线上的流函数是常数,这也是为何称为“流线”的原因。
(2)流函数与速度的关系
因为
,对照
,则
(3)流函数与体积流量的关系
两点流函数之差(即两条流线间的距离)等于通过此两点连线的体积流量。
(4)平面势流中,不可压缩流体的流函数是调和函数。
根据无旋运动的旋转角速度为零,平面流动时可表示为
或
将流函数与流速的关系式代入,得
因此,平面势流中,不可压缩流体的流函数是调和函数。
(5)流函数的应用
将不可压缩流体的平面势流归结为求解拉普拉斯方程的问题,然后根据所得的流函数可求出速度分布,进而应用伯努利方程可获得压强分布。
三、极坐标系下的势函数与流函数
1.势函数:
,则
,
;
2.流函数:
,则
,
四、流网
1.含义:
等势函数线与等流函数线(即流线,因为流线上的流函数是常数)所构成正交网络称为流网。
2.存在条件:
(1)前提条件:
同时存在速度势函数与流函数,即流动不可压缩流体的平面势流。
(2)等势函数线与等流函数线的正交性条件:
4.特征:
(1)流网中等势线与等流线正交;
(2)等势线的势函数沿流线方向增大,而流线的流函数则沿逆流线900的方向增大。
(3)无论是等势线还是等流线,其疏密程度反映流速的大小,越密则流速越大。
3.应用:
获得流网后,等势线与等流线可互相推出,进一步可获得整个流场的速度和压强分布。
第四节简单平面势流的叠加
SectionFourCombinationofSimplePlanePotential-flow
一、简单的平面势流
1.均匀流
(1)含义:
流体在平面内作等速直线运动,各流点的速度大小相等,方向相同。
(2)速度场:
A.沿某一坐标轴(如x轴)的均匀流:
,
;
B.速度与x轴成某一角度的均匀流:
,
。
(3)流网:
A.沿某一坐标轴(如x轴)的均匀流网:
垂直(流线)、水平网络;
B.速度与x轴成某一角度的均匀流网:
倾斜的正交网络。
2.点源与点汇
(1)含义:
平面上,流体从某一点沿“径向”直线均匀地向各方流出,此流动称为点源流,某点称为源点;若流体沿“径向”直线均匀从各方流入某一点,此流动称为点汇流,某点称为汇点。
(2)速度场:
A.点源:
,
;
B.点汇:
,
。
(3)流网:
点源与点汇的流网,其等势线都是同心圆,而流线为不同极角的径线;流线从源点指向外部的为点源流;流线从外部指向汇点的称为点汇流。
3.点涡
(1)含义:
由某一涡束所诱导的环流称为涡流,若取该涡束为z轴,则其所诱导的环流在xoy面是以原点为圆心环流,称之为点涡。
(2)速度场:
,
。
(3)流网:
点涡的流网,其流线是以原点为圆心的同心圆,而等势线为不同极角的径线。
二、简单平面势流的叠加
1.叠加的意义
不可压缩流体的平面势流中势函数与流函数都是调和函数,都是拉普拉斯方程的解。
根据数学知识,拉普拉斯方程的解叠加后仍是原拉普拉斯方程的解。
因此将简单平面势流叠加将得到新的平面势流,具有工程实际意义,即工程上某一复杂的平面势流可由简单平面势流进行叠加获得。
2.叠加应用举例
(1)将点汇与点涡叠加可得到螺旋流,如离心泵或风机中叶轮外缘与壳体间流道内的流动等。
(2)将点源与点汇叠加可得到偶极流,再将均匀流与偶极流叠加可得到直线运动流体绕流某一物体时无环量的流动,如水绕流过桥墩的流动等。
(3)将均匀流、偶极流与点涡叠加可得到直线运动流体绕流某一物体时有环量的流动,如冲动式汽轮机的叶轮即是利用这种叠加产生轮周力矩使其转动的。
北航版:
2、速度分解定理
德国物理学家Helmholtz(1821-1894)1858年提出的流场速度的分解定理,正确区分了流体微团的运动形式。
设在流场中,相距微量的任意两点,按泰勒级数展开给出分解。
以x方向速度分量为例,由泰勒级数展开,有:
将上式分别加、减下列两项:
得到:
如果令:
综合起来,有:
对于y,z方向的速度分量,也可得到:
写成矢量形式:
其中,第一项表示微团的平动速度,第二项表示微团转动引起的,第三项表示微团变形引起的。
定义如下:
流体微团平动速度:
流体微团线变形速度:
流体微团角变形速度(剪切变形速度):
流体微团旋转角速度:
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