2 第2讲 命题及其关系充分条件与必要条件Word格式.docx
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D.若a>
b,则a+c≤b+c
解析:
选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,故选A.
(教材习题改编)“x>
1”是“x2+2x>
0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
选A.由x2+2x>
0,得x>
0或x<
-2,所以“x>
0”的充分不必要条件,故选A.
设m∈R,命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是________.
把命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
(教材习题改编)命题p:
x2=3x+4,命题q:
x=
,则p是q的________条件.
当x2=3x+4时,x=-1或4,当x=-1时,x=
不成立,即p⇒/q.
当x=
时,x≥0,3x+4≥0,则x2=3x+4,即q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.
必要不充分
四种命题的相互关系及其真假判断
[典例引领]
(1)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( )
A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0
B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
(2)给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2
C.1D.0
【解析】
(1)“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D.
(2)原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;
它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.
【答案】
(1)D
(2)C
(2)由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将原命题的条件与结论互换即得到逆命题,将原命题的条件与结论同时否定即得否命题,将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.
[通关练习]
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
选B.依题意,得原命题的逆命题为:
若一个数的平方是正数,则它是负数.
2.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若
>1,则x>1”的逆否命题
选B.对于A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故为假命题;
对于B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知为真命题;
对于C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故为假命题;
对于D,命题“若
>1,则x>1”的逆否命题为“若x≤1,则
≤1”,易知为假命题,故选B.
充分条件、必要条件的判断
(1)(2017·
高考北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·
高考天津卷)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
【解析】
(1)因为m,n是非零向量,所以m·
n=|m|·
|n|cos〈m,n〉<
0的充要条件是cos〈m,n〉<
0.因为λ<
0,则由m=λn可知m,n的方向相反,〈m,n〉=180°
,所以cos〈m,n〉<
0,所以“存在负数λ,使得m=λn”可推得“m·
0”;
而由“m·
0”,可推得“cos〈m,n〉<
0”,但不一定推得“m,n的方向相反”,从而不一定推得“存在负数λ,使得m=λn”.综上所述,“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
0”的充分而不必要条件,故选A.
(2)由2-x≥0,得x≤2;
由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2](-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件,故选B.
【答案】
(1)A
(2)B
(1)充分条件、必要条件的判断方法
①利用定义判断:
直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么.
②从集合的角度判断:
利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分必要性的问题.
③利用等价转化法:
条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假.
(2)判断充要条件需注意三点
①要分清条件与结论分别是什么.
②要从充分性、必要性两个方面进行判断.
③直接判断比较困难时,可举出反例说明.
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )
选A.因为由“a=3”可以推出“A⊆B”,反过来,由A⊆B可以得到“a=3或a=2”,不一定推出“a=3”,所以“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件.
2.(2018·
湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x-3)<
1”是“4x>
8”的( )
C.充分必要条件
选A.由log2(2x-3)<
1⇒0<
2x-3<
2⇒
<
x<
,4x>
8⇒2x>
3⇒x>
,所以“log2(2x-3)<
8”的充分不必要条件,故选A.
3.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
选C.法一:
设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cosx≠cosy},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cosx=cosy},显然CD,所以BA,于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件.
法二:
(等价转化法)x=y⇒cosx=cosy,而cosx=cosy⇒/x=y.
充分条件、必要条件的应用
已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,求m的取值范围.
【解】 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
所以P={x|-2≤x≤10},
由“x∈P”是“x∈S”的必要条件,知S⊆P.
又因为集合S非空,
则
所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时,“x∈P”是“x∈S”的必要条件,
即所求m的取值范围是[0,3].
1.若本例条件不变,问是否存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.
解:
若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
所以
即不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.
2.本例条件不变,若“x∈¬
P”是“x∈¬
S”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
由本例知P={x|-2≤x≤10},
因为“x∈¬
P”是“x∈¬
S”的必要不充分条件,
所以P⇒S且S⇒/P.
所以[-2,10][1-m,1+m].
或
所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
根据充要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
1.若“x2-x-6>
0”是“x>
a”的必要不充分条件,则a的最小值为________.
由x2-x-6>
0,解得x<
-2或x>
3.
因为“x2-x-6>
a”的必要不充分条件,
所以{x|x>
a}是{x|x<
3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3.
3
2.已知集合A={x|
2x<
8,x∈R},B={x|-1<
m+1,x∈R},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是________.
因为A={x|
8,x∈R}={x|-1<
3},所以由已知x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,得AB,所以m+1>
3,即m>
2.
(2,+∞)
四种命题的真假关系
原命题为真,它的逆命题、否命题不一定为真,但它的逆否命题一定为真,即互为逆否命题的两个命题是等价命题,具有相同的真假性,但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关系.因此一个命题的真假不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于(=)
大于(>
)
小于(<
是
否定词语
不等于(≠)
不大于
不小于
不是
都是
任意的
所有的
至多
有一个
至少
不都是
某个
某些
有两个
一个也
没有
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={p(x)},B={q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件.
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件.
(3)若A=B,则p是q的充要条件.
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件.
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件.
(6)若A
B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
易错防范
(1)否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A
B)两者的不同.
1.命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是( )
A.若x≤0,则x≤1 B.若x≤0,则x>1
C.若x>0,则x≤1D.若x<0,则x<1
选A.依题意,命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是“若x≤0,则x≤1”,故选A.
2.原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.4
选D.由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;
逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.
3.(2018·
兰州市高考实战模拟)设向量a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),则“a⊥b”是“x=2”的( )
选B.a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),若a⊥b,则a·
b=0,即(x-1)(x+2)+x(x-4)=0,解得x=2或x=-
,所以x=2⇒a⊥b,反之a⊥b⇒x=2或x=-
,所以“a⊥b”是“x=2”的必要不充分条件,故选B.
4.(2018·
石家庄市教学质量检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“sinA>
sinB”是“a>
b”的( )
选C.设△ABC外接圆的半径为R,若sinA>
sinB,则2RsinA>
2RsinB,即a>
b;
若a>
b,则
>
,即sinA>
sinB,所以在△ABC中,“sinA>
b”的充要条件,故选C.
5.已知命题:
“若a>
2,则a2>
4”,其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )
C.2D.3
选B.原命题显然是真命题,其逆命题为“若a2>
4,则a>
2”,显然是假命题,由互为逆否命题的等价性知,否命题是假命题,逆否命题是真命题.
6.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )
选C.依题意,若A⊆C,则∁UC⊆∁UA,当B⊆∁UC,可得A∩B=∅;
若A∩B=∅,不妨令C=A,显然满足A⊆C,B⊆∁UC,故满足条件的集合C是存在的.
7.下列命题中正确的个数是( )
①命题“若m>
-1,则方程x2+2x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+2x-m=0有实根,则m>
-1”;
②“x≠1”是“x2-3x+2≠0”的充分不必要条件;
③一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0.
A.0B.3
C.2D.1
选C.对于①,命题“若m>
-1”,故①正确;
对于②,由x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,所以“x≠1”不是“x2-3x+2≠0”的充分不必要条件,故②错误;
对于③,因为f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即k(-x)+b=-(kx+b),所以b=0,反之,如果b=0,那么f(x)=kx,所以f(-x)=-kx=-f(x),所以f(x)为奇函数,故③正确.正确命题的个数为2,故选C.
8.使a>
0,b>
0成立的一个必要不充分条件是( )
A.a+b>
0B.a-b>
C.ab>
1D.
1
选A.因为a>
0⇒a+b>
0,反之不成立,而由a>
0不能推出a-b>
0,ab>
1,
>
1.
9.(2018·
陕西省高三教学质量检测试题
(一))设a,b∈R,则“(a-b)a2<
0”是“a<
B.充要条件
选A.由(a-b)a2<
0可知a2≠0,则一定有a-b<
0,即a<
但是a<
b即a-b<
0时,有可能a=0,所以(a-b)a2<
0不一定成立,故“(a-b)a2<
b”的充分不必要条件,选A.
10.(2018·
湖南五市十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{an}是等比数列”的( )
选B.若A=-B=0,则Sn=0,数列{an}不是等比数列;
若数列{an}是等比数列,则由a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq,a3=Aq3-Aq2及
=
得A=-B,故选B.
11.(2016·
高考北京卷)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
选D.取a=-b≠0,则|a|=|b|≠0,|a+b|=|0|=0,|a-b|=|2a|≠0,所以|a+b|≠|a-b|,故由|a|=|b|推不出|a+b|=|a-b|.由|a+b|=|a-b|,得|a+b|2=|a-b|2,整理得a·
b=0,所以a⊥b,不一定能得出|a|=|b|,故由|a+b|=|a-b|推不出|a|=|b|.故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.故选D.
12.(2018·
河北石家庄模拟)下列选项中,说法正确的是( )
A.若a>
b>
0,则lna<
lnb
B.向量a=(1,m),b=(m,2m-1)(m∈R)垂直的充要条件是m=1
C.命题“角α的终边在第一象限,则α是锐角”的逆否命题为真命题
D.已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)·
f(b)<
0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
选D.因为函数y=lnx(x>
0)是增函数,所以若a>
0,则lna>
lnb,故A错误;
若a⊥b,则m+m(2m-1)=0,解得m=0,故B错误;
(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题,而角的终边在第一象限,角α不一定是锐角,如α=-315°
,该角的终边落在第一象限,但不是锐角,故C错误;
命题“若f(a)·
0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则f(a)·
0”是假命题,如函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,4]上的图象连续不断,且在区间(-2,4)内有两个零点,但f(-2)·
f(4)>
0,故D正确.故选D.
13.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是________.
“a+b+c=3”的否定是“a+b+c≠3”,“a2+b2+c2≥3”的否定是“a2+b2+c2<
3”,故根据否命题的定义知,该命题的否命题为:
若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<
14.对于原命题:
“已知a、b、c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,真命题的个数为________.
原命题为真命题,故逆否命题为真;
逆命题:
若a>b,则ac2>bc2为假命题,故否命题为假命题,所以真命题个数为2.
2
15.若命题“ax2-2ax-3>
0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
由题意知ax2-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;
当a≠0时,得
解得-3≤a<
0,故-3≤a≤0.
[-3,0]
16.已知函数f(x)=2sin
(x∈R).设p:
x∈
,q:
m-3<
f(x)<
m+3.若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是________.
因为p:
⇒2x-
∈
,
所以f(x)∈[1,2],
又因为p是q的充分条件,
解得-1<
m<
4,即m的取值范围是(-1,4).
(-1,4)
1.(2018·
四川南山模拟)已知条件p:
<
16,条件q:
(x+2)(x+a)<
0,若p是q的充分而不必要条件,则a的取值范围为( )
A.[-4,+∞)B.(-∞,-4)
C.(-∞,-4]D.(4,+∞)
选B.由
16,得-2<
4,即p:
-2<
4.
方程(x+2)(x+a)=0的两个根分别为-a,-2.
①若-a>
-2,即a<
2,则条件q:
0等价于-2<
-a,由p是q的充分而不必要条件可得-a>
4,则a<
-4;
②若-a=-2,即a=2,则(x+2)(x+a)<
0无解,不符合题意;
③若-a<
-2,即a>
2,则q:
0等价于-a<
-2,不符合题意.
综上可得a<
-4,故选B.
2.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记φ(a,b)=
-a-b,那么“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的( )
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
选C.若φ(a,b)=0,即
=a+b,两边平方得ab=0,故具备充分性.若a≥0,b≥0,ab=0,则不妨设a=0,φ(a,b)=
-a-b=
-b=0,故具备必要性.
山西五校联考)已知p:
(x-m)2>
3(x-m)是q:
x2+3x-4<
0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.
p对应的集合A={x|x<
m或x>
m+3},q对应的集合B={x|-4<
1},由p是q的必要不充分条件可知BA,所以m≥1或m+3≤-4,即m≥1或m≤-7.
m≥1或m≤-7
4.有下列四个命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题为_____
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- 第2讲 命题及其关系充分条件与必要条件 命题 及其 关系 充分 条件 必要条件