一元二次不等式及其解法.docx
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一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
1、一元二次不等式的解法;2、含参一元二次不等式的解法
教学目标
1、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;
2、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;
3、会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
教学重点
一元二次不等式的解法
教学难点
含参一元二次不等式的解法
教学过程
一、课堂导入
问题:
已知函数
的图象与x轴的两个交点横坐标为-1,2,则当
时,
,当
时,
。
二、复习预习
一元二次不等式及其解法在高考中经常考察以下几点:
1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题;2.会从实际情景中抽象出一元二次不等
式模型;3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.所以在复习时,要掌握以下几点:
1.结合二次函数的图像,理解“三个二次”的关系,掌握二次不等式的解法;2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法,和函数单调性结合解一些指数不等式、对数不等式.
三、知识讲解
考点1
1.一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
(2)求出相应的一元二
次方程的根.
(3)利用二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
考点2
2.圆的标准方程和一般方程
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)的图像
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根x1,x2(x1 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c=0(a>0)的解集 {x|x {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1 ∅ ∅ 四、例题精析 考点一一元二次不等式的解法 例1已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}, (1)求a,b的值; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 【规范解答】 (1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系, 得 解得 (2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2 当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c 当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅ 所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2 当c<2时,不等式ax2-(ac+b )x+bc<0的解集为{x|c 当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅ 【总结与反思】 (1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图像写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论: 首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类. 考点二一元二次不等式恒成立问题 例2已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围 【规范解答】原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0对一切实数恒成立,显然a=-2时,解集不是R,因此a≠-2, 从而有 整理,得 所以 所以a>2.故a的取值范围是(2,+∞) 【总结与反思】不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时, 不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0 时,b=0,c<0;当a≠0时, 例3函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范 围; (2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 【规范解答】 (1)要使mx2-mx-1<0恒成立, 若m=0,显然-1<0; 若m≠0,则 ∴-4 (2)要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,即m 2+ m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法: 方法一 令g(x)=m 2+ m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)所以7m-6<0,所以m< ,则0 ; 当m=0时,-6<0恒成立; 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g (1)⇒m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述: m的取值范围是{m|m< }. 方法二 因为x2-x+1= 2+ >0, 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m< .[8分] 因为函数y= = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需m< 即可. 所以,m的取值范围是 . 【总结与反思】 1.与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.3.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.4.本题易错点: 忽略对m=0的讨论.这是由思维定势所造成的. 考点三一元二次不等式的实际应用 例4某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比 例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内? 【规范解答】 (1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0 整理得y=-6000x2+2000x+20000(0 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有 即 解得0 , 所以投入成本增加的比例应在 范围内. 【总结与反思】不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键. 课程小结 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二 次方程的根. (3)利用二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c=0(a>0)的解集 {x|x {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1 ∅ ∅
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- 关 键 词:
- 一元 二次 不等式 及其 解法
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