小学数学竞赛环形跑道问题学生版解题技巧培优易错难.docx
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小学数学竞赛环形跑道问题学生版解题技巧培优易错难
环形跑道问题
讲课目的
1、掌握以下两个关系:
(1)环形跑道问题同一地点出发,假如是相向而行,则每合走一圈相遇一次
(2)环形跑道问题同一地点出发,假如是同向而行,则每追上一圈相遇一次
2、遇到多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析
3、用比率解、数论等知识解环形跑道问题
知识精讲
本讲中的行程问题是特别场所行程问题之一。
是多人(一般最少两人)多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的重点是看我们能否能够正确的对题目中所描绘的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后,频频的在每一段行程上利用:
行程和=相遇时间×速度和
行程差=追实时间×速度差
二、解环形跑道问题的一般方法:
环形跑道问题,从同一地点出发,假如是相向而行,则每合走一圈相遇一次;假如是同向而行,则每追上一圈相遇一次.这个等量关系常常成为我们解决问题的重点。
环线型
同一出发点直径两头
同向:
行程差nSnS+0.5S
相对(反向):
行程和nSnS-0.5S
模块一、常例的环形跑道问题
【例1】一个圆形操场跑道的周长是500米,两个学生同时同地背向而行.黄莺每分钟走66米,麻雀每
分钟走59米.经过几分钟才能相遇?
【坚固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道漫步,王老师每分钟走55米,周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米,他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后,王老师再走
米就回到出发点。
【例2】上海小学有一长300米长的环形跑道,小亚和小胖同时从起跑线起跑,小亚每秒钟跑6米,小
胖每秒钟跑4米,
(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米?
(2)小亚第二次追上小胖两人
各跑了多少圈?
【坚固】小张和小王各以必定速度,在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.⑴小张和小王同时从同一地点出发,反向跑步,1分钟后两人第一次相遇,小张的速度是多少米/分?
⑵小张和小王同时从同一点出发,同一方向跑步,小张跑多少圈后才能第一次追上小王?
【坚固】一条环形跑道长400米,甲骑自行车每分钟骑450米,乙跑步每分钟250米,两人同时从同地
同向出发,经过多少分钟两人相遇?
【坚固】小新和正南在操场上比赛跑步,小新每分钟跑250米,正南每分钟跑210米,一圈跑道长800
米,他们同时从起跑点出发,那么小新第三次超出正南需要多少分钟?
【坚固】幸福村小学有一条200米长的环形跑道,冬冬和晶晶同时从起跑线起跑,冬冬每秒钟跑6米,
晶晶每秒钟跑4米,问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米,第2次追上晶晶时两人各跑
了多少圈?
【坚固】小明和小刚清早抵达学校操场练习跑步,学校操场是400米的环形跑道,小刚对小明说:
“我们
比比看谁跑的快”,于是两人同时同向起跑,结果10分钟后小明第一次从背后追上小刚,同学
们必定知道谁跑得快了,小明的速度是每分钟跑140米,那么假如小明第3次从背后追上小刚时,
小刚一共跑了米.
【坚固】如图1,有一条长方形跑道,甲从A点出发,乙从C点同时出发,都按顺时针方向奔跑,甲每
秒跑5米,乙每秒跑4.5米。
当甲第一次追上乙时,甲跑了圈。
【例3】两名运动员在湖的四周环形道上练习长跑.甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米,两人同时
同地同向出发,经过45分钟甲追上乙;假如两人同时同地反向出发,经过多少分钟两人相遇?
【坚固】两人在环形跑道上跑步,两人从同一地点出发,小明每秒跑3米,小雅每秒跑4米,反向而行,
45秒后两人相遇。
假仿佛向而行,几秒后两人再次相遇
【坚固】一条环形跑道长
400米,小青每分钟跑
260米,小兰每分钟跑
210米,两人同时出发,经过多
少分钟两人相遇
【坚固】甲、乙两人从钟甲比乙多走
400米的环形跑道上一点A背向同时出发,
0.1米,那么两人第五次相遇的地点与点A
8分钟后两人第五次相遇,已知每秒
沿跑道上的最短行程是多少米?
【例
4】
在300米的环形跑道上,田奇和王强同学同时同地起跑,假仿佛向而跑
2分
30秒相遇,假如背
向而跑则半分钟相遇,求两人的速度各是多少?
【坚固】在400米的环形跑道上,甲、乙两人同时同地起跑,假仿佛向而行
3分
20秒相遇,假如背向而
行40秒相遇,已知甲比乙快,求甲、乙的速度各是多少?
【例
5】
周老师和王老师沿着学校的环形林荫道漫步,王老师每分钟走55已知林荫道周长是480米,他们从同一地点同时背向而行。
在他们第米就回到出发点。
米,周老师每分钟走65米。
10次相遇后,王老师再走
【坚固】在周长为200米的圆形跑道—条直径的两头,甲、乙两人分别以
时同向出发,沿跑道行驶。
问:
16分钟内,甲追上乙多少次?
6米/秒,5米/秒的骑车速度同
【坚固】在环形跑道上,两人在一处背靠背站好,此后开始跑,每隔
同向同时跑,每隔20分钟相遇一次,已知环形跑道的长度是
多少?
4
分钟相遇一次;假如两人从同处
1600米,那么两人的速度分别是
【例6】
甲、乙二人在操场的
400米跑道上练习竞走,两人同时出发,出发时甲在乙后边,出发后
6分
甲第一次超出乙,
22分时甲第二次超出乙。
假定两人的速度保持不变,问:
出发时甲在乙后边
多少米?
【例7】在400米的环行跑道上,A,B两点相距100米。
甲、乙两人分别从A,B两点同时出发,
按逆时针方向跑步。
甲甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟。
那么甲追上乙需要时间是多少秒?
【例8】在环形跑道上,两人都按顺时针方向跑时,每12分钟相遇一次,假如两人速度不变,此中一人
改成按逆时针方向跑,每隔4分钟相遇一次,问两人跑一圈各需要几分钟?
【例9】有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.假如3个人同
时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟此后,3人又能够相聚在跑道
上同一处?
【例10】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行.此刻已知甲走一圈的时间是70
分钟,假如在出发后45分钟甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的时间是多少分钟?
【例11】林琳在450米长的环形跑道上跑一圈,
已知她前一半时间每秒跑
5米,后一半时间每秒跑
4米,
那么她的后一半行程跑了多少秒?
【坚固】某人在360米的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,
则他后一半行程跑了多少秒?
【例12】甲、乙、丙在湖畔漫步,三人同时从同一点出发,绕湖行走,甲速度是每小时5.4千米,乙速
度是每小时4.2千米,她们二人同方向行走,丙与她们反方向行走,半个小时后甲和丙相遇,在过5分钟,乙与丙相遇。
那么绕湖一周的行程是多少?
【例13】甲和乙两人分别从圆形场所的直径两头点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当
乙走了
100米此后,他们第一次相遇,在甲走完一周前
60米处又第二次相遇。
求此圆形场所的
周长?
【坚固】如图,A、B
一次相遇,C
是圆的直径的两头,小张在A点,小王在B离A点80米;在D点第二次相遇,D点离
点同时出发反向行走,他们在B点6O米.求这个圆的周长
.
C点第
【坚固】如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两头A与C同时出发,绕圆周相向而行.它们第一
次相遇在离A点8厘米处的B点,第二次相遇在离C点处6厘米的D点,问,这个圆周的长是
多少?
B
第一次
相遇
A
第二次
C
相遇
D
【坚固】A、B是圆的直径的两头,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇.已知C离A有75米,D离B有55米,求这个圆的周长是多少米?
【例
14】两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不停行驶,甲车每分行驶20米.甲、乙两车同时分
别从相距90米的A,B两点相背而行,相遇后乙车马上返回,甲车不改变方向,当乙车抵达B
点时,甲车过B点后恰巧又回到A点.此时甲车马上返回(乙车过B点连续行驶),再过多少
分与乙车相遇?
【坚固】周长为400米的圆形跑道上,有相距100米的A,B两点.甲、乙两人分别从A,B两点同时相
背而跑,两人相遇后,乙即转身与甲同向而跑,当甲跑到A时,乙恰巧跑到B.假如此后甲、
乙跑的速度和方向都不变,那么甲追上乙时,甲从出发开始,共跑了多少米?
【坚固】在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,6分后两人相遇,再过4分甲到
达B点,又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?
【例15】以以下列图所示的三条圆形跑道,每条跑道的长都是0.5千米,A、B、C三位运动员同时从交点O
出发,分别沿三条跑道跑步,他们的速度分别是每小时4千米,每小时8千米,每小时6千米。
问:
从出发到三人第一次相遇,他们共跑了多少千米?
C
BA
O
【例16】甲、乙两车同时从同一点A出发,沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶.甲车每小时行
驶65千米,乙车每小时行驶55千米.一旦两车迎面相遇,则乙车马上调头;一旦甲车从后边
追上一车,则甲车马上调头,那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米?
【坚固】二人沿一周长400米的环形跑道均速行进,甲行一圈4分钟,乙行一圈7分钟,他们同时同地
同向出发,甲走10圈,改反向出发,每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。
问第十五次击掌时,甲走多长时间乙走多少行程?
【例
17】下如右图所示,某单位沿着围墙外面的小道形成一个边长两个对角处沿逆时针方向同时出发.假如甲每分走
300米的正方形.甲、乙两人分别从
90米,乙每分走70米,那么经过多少时间
甲才能看到乙?
【坚固】如图,一个长方形的房子长13米,宽8米.甲、乙两人分别从房子的两个墙角出发,甲每秒钟
行3米,乙每秒钟行2米.问:
经过多长时间甲第一次看见乙?
【例18】以下列图是一个边长90米的正方形,甲、乙两人同时从A点出发,甲逆时针每分行75米,乙顺时针每分行45米.两人第一次在CD边(不包含C,D两点)上相遇,是出发此后的第几次相遇?
【例
19】如图,8时10分,有甲、乙两人以同样的速度分别从相距60米的A,B两地顺时针方向沿长方
形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人马上以同样速度从D点出发.丙由D
向A走去,8时24分与乙在E点相遇;丁由D向C走去,8时30分在F点被乙追上.问三角形
BEF的面积为多少平方米?
【例20】甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个极点A,C同时出发绕池边缘A→B→C→D→A的方向行走。
甲每分行50米,乙每分行46米,甲、乙第一次在同一边上行走,是发生在出发后的第多少分?
第一次在同一边上行走了多少分?
【例
21】如图,长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。
位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向,位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发,分别沿着长方形的边爬行。
假如两只蚂蚁第一次在B点相遇,则两只蚂蚁第二次相遇在()边上。
(A)AB(B)BC(C)CD
【例
22】在一个周长90厘米的圆上,有三个点将圆周三均分。
A,B,C三个爬虫分别在这三点上,它
们每秒挨次爬行10厘米、5厘米、3厘米。
假如它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行,那么
它们第一次抵达同一地点需多长时间?
模块二、环形跑道——变道问题
【例
23】如图2,一个边长为50米的正方形围墙,甲、乙两人分别从A、C
时针方向运动,已知甲每秒走5米,乙每秒走3米,则最少经过
形的同一条边上。
两点同时出发,沿闹墙按顺
秒甲、乙走到正方
【例24】如图是一个跑道的表示图,
沿
ACBEA
走一圈是
400
米,沿
ACBDA
走一圈是
米,此中
A
到
B
275
的直线距离是
75米.甲、乙二人同时从
A点出发练习长跑,甲沿
ACBDA的小圈跑,每
100
米
用24秒,乙沿ACBEA的大圈跑,每100米用21秒,问:
⑴乙跑第几圈时第一次与甲相遇?
⑵发多长时间甲、乙再次在A相遇?
A
CDE
B
【例25】以以下列图,大圈是400米跑道,由A到B的跑道长是200米,直线距离是50米。
父子俩同时从
A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼,儿子跑大圈,父亲每跑到B点便沿直线跑。
父亲每
100米用20秒,儿子每100米用19秒。
假如他们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时,第一次与父亲相遇?
A
B
【例26】如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米行程相重.甲以每秒
6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑
道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?
甲乙甲乙
AA
乙乙
B
甲甲
【例27】有一种机器人玩具装置,装备长、短不同样的两条跑道,此中长跑道长400厘米,短跑道长300
厘米,且有200厘米的公用跑道(以以下列图)。
机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑
道上跑动,机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。
假如甲、乙两个机器
人同时从A点出发,那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时,机器人甲距离出发点A点
多少厘米?
A
200100200
【例28】以下列图是一个玩具火车轨道,A点有个变轨开关,能够连结B或许C.小圈轨道的周长是
1.5
米,
大圈轨道的周长是
3
米.开始时,A连结C,火车从A点出发,依据顺时针方向在轨道上挪动,
同时变轨开关每隔
1
分钟变换一次轨道连结.若火车的速度是每分钟
10米,则火车第
10
次回
到A点时用了
秒钟.
AC
B
【例29】以下列图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米,小圆直径30厘米。
两只甲虫同时从A
点出发,按箭头所指的方向以同样速度分别沿两个圆爬行。
问:
当小圆上甲虫爬了几圈时,两只甲虫初次相距最远?
【例30】三个环行跑道如图摆列,每个环行跑道周长为210厘米;甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按
箭头所示方向出发,甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动,乙爬虫绕3、2号环行跑道
作“8”字形循环运动,已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米,甲、
乙两爬虫第二次相遇时,甲爬虫爬了多少厘米?
A123B
【坚固】一个圆周长90厘米,3个点把这个圆周分红三均分,3只爬虫A,B,C分别在这
们同时出发,按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒,B的速度是
的速度是3厘米/秒,3只爬虫出发后多少时间第一次抵达同一地点?
3个点上.它
5厘米/秒,C
【例
31】以以下列图,甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步,乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动
路线的序次:
12341LL)。
假如甲、乙两人同时从A点出发,且甲、乙二人的速度分
别是每秒3米和5米,问两人第三次相遇的时间是出发后秒。
A
1
4
3
2
B
【例
32】如图,两个圆环形跑道,大圆环的周长为600
米,乙的速度为每秒4米。
甲、乙二人同时由
米,小圆环的周长为400米。
甲的速度为每秒A点起跑,方向以以下列图,甲沿大圆环跑一圈,
6
就跑上小圆环,方向不变,沿小圆环跑一圈,又跑上大圆环,方向也不变;而乙只沿小圆环跑。
问:
甲、乙可能相遇的地点距离A点的行程是多少?
(行程按甲跑的计算)
甲
的
方
向
甲
乙
的
的
方
方
向
向
模块三、环形跑道——变速问题
【例
33】甲、乙两人沿400甲比本来速度增添
米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后
2米/秒,乙比本来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。
求甲本来的速度。
【例34】环形跑道周长是500米,甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。
甲每分跑120米,乙每分
跑100米,两人都是每跑200米停下歇息1分。
甲第一次追上乙需多少分?
【例35】甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步.假如出发时乙的速度是甲的
2.5倍,当乙
第一次追上甲时,甲的速度马上提升
25%,而乙的速度马上减少20%,而且乙第一次追上甲的
地点与第二次追上甲的地点相距
100米,那么这条环形跑道的周长是
米.
A
C
B
【例36】以以下列图,甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。
跑道右半部分(粗线部分)
道路比较泥泞,因此两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米,而在泥
泞道路上两人的速度均为每秒4米。
两人向来跑下去,问:
他们第99次迎面相遇的地方距A点
还有米。
A
【例37】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特别训练:
他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每
人跑完第一圈抵达出发点后马上回头加快跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲速度的2/3.甲
跑第二圈时速度比第一圈提升了1/3;乙跑第二圈时速度提升了1/5.已知沿跑道看从甲、乙两
人第二次相遇点到第一次相遇点的最短行程是190米,那么这条椭圆形跑道长多少米?
【例38】如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上时速是90千米,在BC上的时速是
120千米,在
发出一辆汽车
在AB上一点
CD上的时速是
它们将在AB
N相遇.问A
60千米,在DA
中点相遇.假如从
至N的距离除以
上的时速是80千米.从CD上一点P,同时反向各
PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将
N至B的距离所获得的商是多少?
【例
39】一条环形道路,周长为2千米.甲、乙、丙3人从同一点同时出发,每人环行2周.现有自行
车2辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行出发,半途乙和丙下车步行,把自行车留给其余人骑.已
知甲步行的速度是每小时5千米,乙和丙步行的速度是每小时4千米,3人骑车的速度都是每
小时20千米.请你设计一种走法,使3个人2辆车同时抵达终点.那么环行2周最少要用多少
分钟?
【例40】
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