第10讲向量的坐标运算和数量积老师.docx
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第10讲向量的坐标运算和数量积老师
第十讲向量的数量积和坐标运算(新课)
1.数量积的有关概念
(1)两个非零向量a与b,过O点作=a,=b,则.叫做向量a与b的夹角;范围是.
(2)a与b的夹角为度时,叫a⊥b.
(3)若a与b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cosθ.
(4)a在b的方向上的投影为.
(5)熟悉数量积定义的变形
1:
2:
3:
2.数量积满足的运算律
已知向量a、b、c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:
(1)a·b=;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=;
(3)(a+b)·c=.
3.注意
(1)两个向量的数量积是一个实数.∴0·a=0(实数)而0·a=0.
(2)数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c).
(3)a·b中的“·”不能省略.
例1
(1)已知|a|=2,|b|=5,若:
①a∥b;②a⊥b;③a与b的夹角为30°,
(1)分别求a·b.,
(2)a与b的夹角为30°,求(2a+b)·(a–b)
【解析】 ①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角为0°.
∴a·b=|a||b|cos0°=2×5×1=10.
若a与b反向,则它们的夹角为180°.
∴a·b=|a||b|cos180°=2×5×(-1)=-10.
②当a⊥b时,它们的夹角为90°.
∴a·b=|a||b|cos90°=2×5×0=0.
③当a与b的夹角为30°时,
a·b=|a||b|cos30°=2×5×=5.
(2)
(2)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=________.
(2)∵2=+,=-,
∴
(2)2=(+)2,2=(-)2.
∴4·=42-2=-64.
∴·=-16.
例2(夹角问题)
(1)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为()( )
A.B.C.D.
【解析】 设a与b的夹角为θ.由题意,得a·b=|a|·|b|·cosθ=1×4×cosθ=2,cosθ=,即θ=.
(2)已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:
①a与b的夹角;
②a-b与a+b的夹角的余弦值.
【解析】 ①∵(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=,
又∵|a|=1,∴|b|=.,设a与b的夹角为θ,则cosθ===.
∴θ=45°.
②∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×+=,∴|a-b|=.
∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,∴|a+b|=.
设a-b与a+b的夹角为φ,
则cosφ===.∴cosφ=.
例3(模的问题)
(1)已知向量a,b满足|a|=6,|b|=4,且a与b的夹角为60°,求|a+b|和|a-3b|.
解析】 方法一 因为|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°.
所以,a·b=|a|·|b|·cosθ=6×4×=12,
(a+b)2=a2+2a·b+b2=36+24+16=76,
(a-3b)2=a2-6a·b+9b2=36-72+144=108.
所以,|a+b|=2,|a-3b|=6.
练习:
1.关于平面向量a,b,c,有下列命题:
①若a·b=a·c,则b=c;②|a·b|=|a|·|b|⇔a∥b;
③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|;
⑤若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.
其中真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)
答案 ②③
2.(2013·衡水调研卷)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()( )
A.-4 B.4C.-2D.2
解析 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=18cos〈a,b〉=-12,
cos〈a,b〉=-.a在b方向上的投影是|a|cos〈a,b〉=-4.
3.已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.
解析 由题设知|e1|=|e2|=1,且e1·e2=,所以b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e=3-2×-8=-6.
4.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|和|a-b|;
(3)若=a,=b,作△ABC,求△ABC的面积.
答案
(1)120°
(2), (3)3
解析
(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,
得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
∵|a|=4,|b|=3,代入上式求得a·b=-6.
∴cosθ===-.
又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.
(2)可先平方转化为向量的数量积.
|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32=13,
∴|a+b|=.
同理,|a-b|==.
(3)先计算a,b夹角的正弦,再用面积公式求值.
由
(1)知∠BAC=θ=120°,
||=|a|=4,||=|b|=3,
∴S△ABC=||·||·sin∠BAC
=×3×4×sin120°=3.
用坐标表示数量积
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=.
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),夹角为θ,则|a|=,
cosθ=.
a⊥b⇔.a∥b⇔.
例4:
(1)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
A.-12B.-6C.6D.12
答案 D
解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.
(2).设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=________.
解析 由题意可得a+c=(3,3m).
由(a+c)⊥b,得(a+c)·b=0.
即(3,3m)·(m+1,1)=3(m+1)+3m=0,
解得m=-,∴a=(1,-1),|a|=.
(3)如图所示,在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则·=________.
【解析】 由于四边形ABCD为平行四边形,设O为AC与BD的交点,连接O点与DC的中点E,则=2=2=(+)=(-1,2),所以·=-1+2×2=3.
例5:
(1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|=________.
(2)(2012·重庆)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.B.C.2D.10
(3).已知|a|=3,|b|=2,a,b=60°,若(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为( )
A.B.C.D.
【解析】
(1)∵a∥b,∴-2×1=2×y,∴y=-1.
∴b=(-2,-1),∴3a+b=(1,5).
∴|3a+b|==.
(2)由a⊥c,得a·c=2x-4=0,解得x=2.由b∥c,得=,解得y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),
|a+b|=,故选B项.
(3)由已知可得(3a+5b)·(ma-b)=0.
即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0⇒3m·32+(5m-3)·3×2·cos60°-5×22=0,解之得m=.
例6
(1)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于()( )
A. B.-C.D.-
【解析】 由题可知,设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以可以解得x=-5,y=12,故b=(-5,12).由cosa,b==,故选C.
例7 已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为原点.
(1)若∥,求tanα的值;
(2)若⊥,求sin2α的值;
(3)若|+|=且α∈(0,π),求与的夹角.
解析】
(1)=(cosα,sinα),=(-3,3),∥,
∴3cosα=-3sinα,∴tanα=-1.
(2)=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),
∵⊥,∴cos2α-3cosα+sin2α-3sinα=0,
sinα+cosα=,1+2sinαcosα=,sin2α=-.
(3)+=(3+cosα,sinα),
|+|2=(3+cosα)2+sin2α=13,∴cosα=.
∵α∈(0,π),∴α=,∴C(,),cos〈,〉
===.
∴与的夹角为.
练习:
若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()( )
A.-B.C.D.
解析 2a+b=(3,3),a-b=(0,3),则cos<2a+b,a-b>===,故夹角为,选C.
例8.已知向量a=(sinθ,),b=(1,cosθ),θ∈(-,).
(1)求a⊥b,求θ;
(2)求|a+b|的最大值.
解析
(1)因为a⊥b,所以sinθ+cosθ=0.
得tanθ=-.
又θ∈(-,),所以θ=-.
(2)因为|a+b|2=(sinθ+1)2+(cosθ+)2=5+4sin(θ+),
所以当θ=时,|a+b|2的最大值为5+4=9.
故|a+b|的最大值为3.
例9:
已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( )
A.1:
B.2C.D.
【解析】 方法一 设出单位向量的坐标和向量c的坐标,将问题转化为求函数的最值.
设|c|=r,设a=(1,0),b=(0,1),c=(rcosθ,rsinθ),则(a-c)·(b-c)=0,
即(1-rcosθ,-rsinθ)·(-rcosθ,1-rsinθ)=0,即-rcosθ+r2cos2θ-rsinθ+r2sin2θ=0,
即r2=r(sinθ+cosθ),当r≠0时,则r=sinθ+cosθ=sin(θ+)≤,即|c|的最大值是.
法二:
直接设出向量的直角坐标,把问题转化为坐标平面内曲线上的问题,根据曲线的几何意义解决.
设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则(a-c)·(b-c)=0,即(1-x,-y)·(-x,1-y)=0,
即x2+y2-x-y=0,即(x-)2+(y-)2=,这是一个圆心坐标为(,),半径为的圆,所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离,根据图形,最大距离是,即所求的最大值为.
方法三 因为|a|=|b|=1,a·b=0,展开(a-c)·(b-c)=0后得|c|2=c·(a+b),由于a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,故|a+b|=,设〈a+b,c〉=θ,则|c|2=c·(a+b)=|c|·|a+b|cosθ,当|c|≠0时,|c|=|a+b|·cosθ=cosθ≤,故|c|的最大值是
例10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的范围.
答案 (-7,-)∪(-,-)
解析 由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得<0,
即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,
化简即得2t2+15t+7<0,
解得-7 当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0, 但此时夹角不是钝角. 设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0, 可求得 ∴ ∴所求实数t的范围是(-7,-)∪(-,-). 例11.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么·的最小值为( ) A.-4+B.-3+ C.-4+2D.-3+2 答案 D 解析 方法一 设||=||=x,∠APB=θ,则tan=,cosθ=. 则·=x2×===x2+1+-3≥2-3. 当且仅当x2+1=,即x2=-1时,取“=”,故·的最小值为2-3. 方法二 设∠APB=θ,0<θ<π,则||=||=. ·=||||cosθ=()2cosθ=×(1-2sin2)=. 令x=sin2,0 方法三 以O为原点建立平面直角坐标系.圆的方程为x2+y2=1,设A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0), ·=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=x-2x1x0+x-y, ⊥⇒(x1,y1)·(x1-x0,y1)=0⇒x-x1x0+y=0⇒x1x0=1. 则·=x-2x1x0+x-y=x-2+x-(1-x)=2x+x-3≥2-3,当且仅当2x=x时,取等号. 求最值类的题目,在建立函数关系式时,最常见的问题就是函数关系中自变量的取值范围出现错误,这样求出的最值也就会出现错误,在这类试题中一定要注意建立的函数的定义域. 课后练习 1.设 则 的最大值是(B) A.49B.7C. D.1 2.若 用 表示 ,则 =__ ____________. 3.已知向量 满足 (D) A.1B.2C. D. 4.在 中,设 ,则 的面积为__________. 5 如题(10)图,在四边形 中, , 题(7)图 , , 则 的值为( C ) A B C D 6.已1.设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为( ) A.-2 B.-2 C.-1D.1- 答案 D 解析 依题意,设a=(1,0),b=(0,1),c=(sinθ,cosθ),则a-c=(1-sinθ,-cosθ),b-c=(-sinθ,1-cosθ),(a-c)·(b-c)=-sinθ·(1-sinθ)-cosθ(1-cosθ)=1-(sinθ+cosθ)=1-sin(θ+),则其最小值是1-. 7.已知正实数x满足方程2t3-t2x+2t(x+1)-x-x2=0,a=(1,x),b=(-3,2),c=a+tb,则a·c取最小值m时,m和x的值分别为( ) A.m=,x=B.m=,x= C.m=-,x=D.m=-,x= 答案 B 解析 原方程整理成关于x的二次方程x2+(t-1)2x-2t(t2+1)=0,即[x+(t2+1)]·(x-2t)=0,因为x>0,所以x=2t(t>0),a=(1,x)=(1,2t),c=(1-3t,4t). 所以a·c=1-3t+8t2=8(t-)2+. 所以m=,t=,x=. 8.若向量 与 垂直,向量 与 垂直,求向量 的夹角并证明不等式 对任意实数 恒成立。
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- 第10讲 向量的坐标运算和数量积老师 10 向量 坐标 运算 和数 老师