江苏专版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用练习 文doc.docx
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(江苏专版)2019高考数学大一轮复习第三章导数及其应用练习文
第16课 导数的概念及运算
A 应知应会
1.已知函数f(x)=x2+2xf'
(1),那么f'(-1)= .
2.某汽车的路程函数是s(t)=2t3-gt2(g=10m/s2),则当t=2s时,汽车的加速度为 .
3.已知函数f(x)=在x=1处的导数为-2,那么实数a的值为 .
4.(2015·盐城中学模拟)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集是 .
5.求下列函数的导数:
(1)y=xnex;
(2)y=;
(3)y=exlnx;
(4)y=(x+1)2(x-1).
6.在F1赛车中,赛车位移与比赛时间t间满足函数关系s=10t+5t2(s的单位为m,t的单位为s).
(1)当t=20s,Δt=0.1s时,求Δs与;
(2)求t=20s时的瞬时速度.
B 巩固提升
1.在函数y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy),则= .
2.已知函数f(x)=f'cosx+sinx,那么f
的值为 .
3.(2015·天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'
(1)=3,则a的值为 .
4.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2),则f1+f2+…+f2017= .
5.已知某物体的运动方程为s=(位移s的单位:
m,时间t的单位:
s).
(1)求该物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)求该物体的初速度v0;
(3)求该物体在t=1时的瞬时速度.
6.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导函数.若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)图象的“拐点”.已知函数f(x)=x3-3x2+2x-2.
(1)求函数f(x)图象的“拐点”A的坐标;
(2)求证:
f(x)的图象关于“拐点”A对称.
第17课 曲线的切线
A 应知应会
1.已知曲线f(x)=ax2+3x-2在点(2,f
(2))处的切线的斜率为7,那么实数a的值为 .
2.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 .
3.(2015·南师附中调研)若曲线f(x)=2ax3-a在点(1,a)处的切线与直线2x-y+1=0平行,则实数a的值为 .
4.曲线y=lnx上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值是 .
5.对于函数f(x)=x3+ax2-9x-1,当曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行时,求实数a的值.
6.已知曲线y=(ax-1)ex在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线y=(1-x)e-x在点B(x0,y2)处的切线为l2.若存在x0∈,使得l1⊥l2,求实数a的取值范围.
B 巩固提升
1.(2015·如东模拟)已知函数f(x)=f'(0)cosx+sinx,则函数f(x)的图象在x0=处的切线方程为 .
2.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则实数a= .
3.(2016·海安中学)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .
4.(2015·通州模拟)已知曲线C1:
y=x2与C2:
y=-(x-2)2,若直线l与C1,C2都相切,则直线l的方程为 .
5.已知曲线y=(x>0).
(1)求曲线在x=2处的切线方程;
(2)求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值.
6.已知曲线f(x)=x+(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM,PN,切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).
(1)求证:
x1,x2是关于x的方程x2+2tx-t=0的两根;
(2)设MN=g(t),求函数g(t)的表达式.
第18课 利用导数研究函数的单调性
A 应知应会
1.已知函数f(x)=x2-5x+2lnx,那么f(x)的单调增区间为 .
2.(2016·无锡期末改编)函数f(x)=lnx+的单调减区间是 .
3.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,那么实数a的最大值是 .
4.若函数f(x)=-(x-2)2+blnx在(1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围为 .
5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线的斜率为8.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
6.(2016·山东卷)已知函数f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间.
B 巩固提升
1.函数y=x-2sinx在(0,2π)内的单调增区间为 .
2.已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2) 3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是 . 4.(2015·唐山一中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,那么不等式exf(x)>ex+3的解集为 . 5.(2016·上饶期初)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间上是减函数,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=alnx+,其中a为常数. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性. 第19课 利用导数研究函数的最(极)值 A 应知应会 1.函数y=x+2cosx在区间上的最大值是 . 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,那么= . 3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,那么实数a= . 4.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值,则实数m的取值范围是 . 5.已知f(x)=alnx++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 6.(2016·南通、扬州、泰州三模)已知函数f(x)=xex-asinxcosx(a∈R). (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)若对于任意的x∈,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围. B 巩固提升 1.已知函数f(x)=x3+a2x2+ax+b,且当x=-1时,函数f(x)的极值为-,那么f (2)= . 2.已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,那么实数a的取值范围是 . 3.(2015·中华中学模拟)函数y=+(x∈(0,π))的最小值为 . 4.(2016·苏州、无锡、常州、镇江二模)已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,当0≤x1<4≤x2≤6时,f(x1)=f(x2),则x1·f(x2)的取值范围是 . 5.(2016·无锡期末改编)已知函数f(x)=lnx+(a>0),若不等式f(x)≥a对于任意x>0恒成立,求实数a的取值范围. 6.(2016·南通一调)已知函数f(x)=a+lnx(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)试求函数f(x)的零点个数,并证明你的结论. 第20课 导数的综合应用 A 应知应会 1.若函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围是 . 2.已知函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,那么实数a的取值范围是 . 3.(2015·无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y(单位: 万元)与年产量x(单位: 万件)间的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件. 4.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,那么当正六棱柱的体积最大时,其高为 . 5.(2015·曲塘中学模拟)已知函数f(x)=x3-x2+6x-a. (1)若对于任意实数x,f'(x)≥m恒成立,求实数m的最大值; (2)若方程f(x)=0有且仅有一个实数根,求实数a的取值范围. 6.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)某植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙.现有两种方案: 方案一,多边形为直角三角形AEB(∠AEB=90°),如图 (1)所示,其中AE+EB=30m;方案二,多边形为等腰梯形AEFB(AB>EF),如图 (2)所示,其中AE=EF=BF=10m.请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积,并从中确定使苗圃面积最大的方案. 图 (1) 图 (2) (第6题) B 巩固提升 1.已知a∈R,函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,那么实数a的取值范围是 . 2.若函数y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为 . 3.(2016·北京卷改编)若函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同的零点,则实数c的取值范围为 . 4.(2015·海门中学模拟)若对任意的x∈[1,e],都有alnx≥-x2+(a+2)x恒成立,则实数a的取值范围是 . 5.(2015·全国卷)已知函数f(x)=lnx+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求实数a的取值范围. 6.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口. (1)若窗口ABCD为正方形,且面积大于m2(木条的宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围; (2)若四根木条总长为6m,求窗口ABCD面积的最大值. (第6题) 第三章 导数及其应用 第16课 导数的概念及运算 A 应知应会 1.-6 【解析】f'(x)=2x+2f' (1),f' (1)=2+2f' (1),所以f' (1)=-2,所以f'(x)=2x-4,故f'(-1)=-6. 2.4m/s2 【解析】由题意知汽车的速度函数为v(t)=s'(t)=6t2-2gt,则v'(t)=12t-2g,故当t=2s时,汽车的加速度是v' (2)=12×2-2×10=4(m/s2). 3.2 【解析】由题设得f'(x)=-,当x=1时,-a=-2,即a=2. 4.(2,+∞) 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2->0,解得x>2. 5.【解答】 (1)y'=nex+xnex= ex(n+x). (2)y'==-. (3)y'=exlnx+ex·=ex. (4)因为y=(x+1)2(x-1)=(x+1)·(x2-1)=x3+x2-x-1, 所以y'=3x2+2x-1. 6.【解答】 (1)Δs=s(20+Δt)-s(20)= 10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m). ==210.5(m/s). (2)由导数的定义知瞬时速度为v(t)====5Δt+10t+10. 当Δt→0,t=20s时,v=10×20+10=210(m/s). B 巩固提升 1.Δx+2 【解析】==Δx+2. 2.1 【解析】由题意得f'(x)=-f'sinx+cosx⇒f'=-f'sin+cos,所以f'==-1,所以f(x)=(-1)cosx+sinx,所以f=(-1)cos+sin=1. 3.3 【解析】因为f'(x)=a(1+lnx),所以f' (1)=a=3. 4.1 【解析】f2(x)=f'1(x)=cosx-sinx,f3(x)=f'2(x)=-sinx-cosx,f4(x)=f'3(x)=sinx-cosx,f5(x)=f'4(x)=sinx+cosx,故周期为4,前四项和为0,所以原式=f1=sin+cos=1. 5.【解答】 (1)因为该物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 该物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, 所以该物体在t∈[3,5]内的平均速度为==24(m/s). (2)求该物体的初速度v0即求该物体在t=0时的瞬时速度. 因为该物体在t=0附近的平均变化率为= = =3Δt-18, 当Δt无限趋近于0时,=3Δt-18无限趋近于-18, 所以该物体的初速度v0为-18m/s. (3)该物体在t=1时的瞬时速度即为函数s在t=1处的瞬时变化率. 因为物体在t=1附近的平均变化率为= = =3Δt-12, 当Δt无限趋近于0时,=3Δt-12无限趋近于-12, 所以该物体在t=1时的瞬时速度为-12m/s. 6.【解答】 (1)f'(x)=3x2-6x+2,f″(x)=6x-6. 令f″(x)=6x-6=0,得x=1, f (1)=1-3+2-2=-2, 所以拐点A的坐标为(1,-2). (2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=-3+2x0-2. 因为P(x0,y0)关于点A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0), 将P'代入y=f(x),得左边=-4-y0=-+3-2x0-2, 右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2, 所以左边=右边, 所以点P'(2-x0,-4-y0)在函数y=f(x)的图象上, 所以y=f(x)的图象关于点A对称. 第17课 曲线的切线 A 应知应会 1.1 【解析】因为f'(x)=2ax+3,由题意知2a×2+3=7,解得a=1. 2.5x+y+2=0 【解析】因为y'=-5ex,所以所求切线的斜率k=-5e0=-5,所以切线方程是y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0. 3. 【解析】由题意得f'(x)=6ax2,所以f' (1)=6a=2,所以a=. 4. 【解析】设曲线y=lnx在点(x0,y0)处的切线与直线x-y+1=0平行.因为y'=,令=1,解得x0=1,所以切点坐标为(1,0),所以距离的最小值为点(1,0)到直线x-y+1=0的距离,即为. 5.【解答】由题意知f'(x)=3x2+2ax-9=3-9-, 即当x=-时,函数f'(x)取得最小值-9-. 因为曲线y=f(x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行, 所以-9-=-12,即a2=9, 所以a=±3. 6.【解答】由y=(ax-1)ex,得y'=aex+(ax-1)ex=(ax+a-1)ex.由y=,得y'==. 由题意知(ax0+a-1)·=-1,即(ax0+a-1)(x0-2)=-1在上有解,方程可化为ax0+a-1=-.设f(x0)=ax0+a-1,g(x0)=-,作图可知1≤a≤. 另法: 方程可化为a=,求函数t(x0)=在x0∈上的值域即可 故实数a的取值范围为. B 巩固提升 1.y=-x+1+ 【解析】因为f'(x)=-f'(0)sinx+cosx,则f'(0)=-f'(0)·sin0+cos0,所以f'(0)=1,所以f(x)=cosx+sinx,所以f'=-1,f=1,所以切线方程为y=-x+1+. 2.64 【解析】由题知x>0,y'=-,所以k=-,切线方程为y-=-(x-a).令x=0,得y=;令y=0,得x=3a.所以三角形的面积S=·3a·==18,解得a=64. 3.(-∞,0) 【解析】由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为“当x>0时,导函数f'(x)=2ax+存在零点”,即等价于“方程2ax+=0在(0,+∞)上有解”,显然a=-∈(-∞,0). 4.y=0或y=4x-4 【解析】设两个切点的坐标依次为(x1,),(x2,-(x2-2)2).由题意得 解得或从而切线方程为y=0或y=4x-4. 5.【解答】 (1)设f(x)=, 则f'(x)=1-, 所以k=f' (2)=1-=. 又因为f (2)==, 所以所求切线方程为y-=(x-2), 即3x-4y+4=0. (2)由题知曲线y=(x>0)与直线3x-4y-11=0不相交,所以设曲线在点(x0,y0)处的切线与直线3x-4y-11=0平行.因为y'=1-,令1-=,解得x0=2,所以切点坐标为,所以距离的最小值为点到直线3x-4y-11=0的距离,即为3. 6.【解答】 (1)由题意可知y1=x1+, y2=x2+. 因为f'(x)=1-, 所以切线PM的方程为y-=(x-x1). 又切线PM过点P(1,0), 所以0-=(1-x1), 即+2tx1-t=0. ① 同理,由切线PN也过点P(1,0),得+2tx2-t=0. ② 由①②可得x1,x2是关于x的方程x2+2tx-t=0的两根. (2)由 (1)知 MN= = =, 所以g(t)=(t>0). 第18课 利用导数研究函数的单调性 A 应知应会 1.(2,+∞)和 【解析】因为函数f(x)=x2-5x+2lnx,且x>0,令f'(x)=2x-5+>0,解得x>2或0 2.(0,e) 【解析】因为f(x)=lnx+,x>0,所以f'(x)=-=,所以当x∈(0,e)时,f'(x)<0,故函数f(x)在(0,e)上单调递减. 3.3 【解析】由题意知f'(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立,又(3x2)min=3×12=3,所以a≤3,故amax=3. 4.(-∞,-1] 【解析】由f(x)=-(x-2)2+blnx,得f'(x)=-(x-2)+(x>0).由题意知f'(x)≤0,即-(x-2)+≤0在(1,+∞)上恒成立,所以b≤[x(x-2)]min,当x∈(1,+∞)时,[x(x-2)]∈(-1,+∞),所以b≤-1. 5.【解答】 (1)由函数f(x)的图象过点P(1,2),得f (1)=2,所以a+b=1. 因为函数图象在点P处的切线的斜率为8,所以f' (1)=8. 又f'(x)=3x2+2ax+b, 所以2a+b=5. 因此,a=4,b=-3. (2)由 (1)得f'(x)=3x2+8x-3. 令f'(x)>0,得x<-3或x>; 令f'(x)<0,得-3 故函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),;单调减区间为. 6.【解答】由f'(x)=lnx-2ax+2a,x>0, 得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞), 则g'(x)=-2a=. 当a≤0,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0,x∈时,g'(x)>0,则函数g(x)在上单调递增; 当a>0,x∈时,g'(x)<0,则函数g(x)在上单调递减. 综上,当a≤0时,函数g(x)的单调增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数g(x)的单调增区间为,单调减区间为. B 巩固提升 1. 【解析】由题意得y'=1-2cosx,x∈(0,2π).令y'>0,得cosx<,所以 2.(1,2) 【解析】由f(x)=lnx+2x,得f'(x)=+2xln2>0,x∈(0,+∞),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又由f(x2+2) 3.(-∞,-2) 【解析】①当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.②当a≠0时,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)和上为增函数,在上为减函数.因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.当a<0时,<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在和(0,+∞)上为减函数,在上为增函数.因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2.又因为a<0,故实数a的取值范围为(-∞,-2). 4.(0,+∞) 【解析】设g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex.因为f(x)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1>0,所以g'(x)>0,所以y=g(x)在定义域R上单调递增.因为exf(x)>ex+3,所以g(x)>3.又因为g(0)=e0f(0)-e0=3,所以g(x)>g(0),所以x>0,故不等式的解集为(0,+∞). 5.【解答】 (1)由题意得f'(x)=3x2+2ax+1,x∈R.当a2≤3时,Δ≤0,f'(x)≥0,则f(x)在R上单调递增;当a2>3时,由f'(x)=0,得x1=,x2=, 则函数f(x)在,上单调递增,在上单调递减. (2)因为函数f(x)在区间上是减函数,所以f'(x)=3x2+2ax+1<0在上恒成立,即f'(x)在上的最大值恒小于等于0.因为f'(x)=3x2+2ax+1的图象是开口向上的抛物线,所以它的最大值在区间的端点处取得.由得所以a≥2.故a的取值范围是[2,+∞). 6.【解答】 (1)由题意知当a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞). 此时f'(x)=,所以f' (1)=. 又f (1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为x-2y-1=0. (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=+=. 当a≥0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 则Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1). ①当a≤-时,Δ≤0,f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当-0. 设x1,x2(x1 则x1=, x2=. 因为x2>x1==>0, 因此,当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(x2,+∞)时,g(x
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