初中数学一元二次方程与二次函数基础练习与常考题和提高题.docx
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初中数学一元二次方程与二次函数基础练习与常考题和提高题.docx
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初中数学一元二次方程与二次函数基础练习与常考题和提高题
一.选择题(共20小题)
1.若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+
ax﹣a2=0的一个根,则a的值为( )
A.﹣1或4B.﹣1或﹣4C.1或﹣4D.1或4
2.一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为( )
A.(x﹣3)2=14B.(x﹣3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=4
3.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时,原方程可变形为( )
A.(x+2)2=1B.(x+2)2=7C.(x+2)2=13D.(x+2)2=19
4.方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=x2=0B.x1=x2=2C.x1=0,x2=2D.x1=0,x2=﹣2
5.方程2x2=3x的解为( )
A.0B.
C.
D.0,
6.一元二次方程x2﹣4x=12的根是( )
A.x1=2,x2=﹣6B.x1=﹣2,x2=6C.x1=﹣2,x2=﹣6D.x1=2,x2=6
7.方程x2+x﹣12=0的两个根为( )
A.x1=﹣2,x2=6B.x1=﹣6,x2=2C.x1=﹣3,x2=4D.x1=﹣4,x2=3
8.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<5B.k<5,且k≠1C.k≤5,且k≠1D.k>5
9.关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
10.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定
11.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
12.若关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥1B.k>1C.k<1D.k≤1
13.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m>1B.m<1C.m≥1D.m≤1
14.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根,则k的值为( )
A.k=﹣4B.k=4C.k≥﹣4D.k≥4
15.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是( )
A.a>0B.a=0C.c>0D.c=0
16.抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )
A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)
17.对于二次函数y=﹣
+x﹣4,下列说法正确的是( )
A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值﹣3
C.图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7)D.图象与x轴有两个交点
18.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是( )
A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=2
19.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )
A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=7
20.二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是( )
A.开口向上,顶点坐标为(﹣1,﹣4)B.开口向下,顶点坐标为(1,4)
C.开口向上,顶点坐标为(1,4)D.开口向下,顶点坐标为(﹣1,﹣4)
二.填空题(共9小题)
21.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是 .
22.设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根,且x1+x2﹣x1x2=1,则x1+x2= ,m= .
23.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n= .
24.将二次三项式x2+4x+5化成(x+p)2+q的形式应为 .
25.若x2﹣4x+5=(x﹣2)2+m,则m= .
26.一元二次方程x2+3﹣2
x=0的解是 .
27.方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是 .
28.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 .
29.抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是 .
三.解答题(共11小题)
30.解方程:
x2+4x﹣1=0.
31.解方程:
2(x﹣3)2=x2﹣9.
32.已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0.
(1)若此方程的一个根为1,求m的值;
(2)求证:
不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
33.解方程:
x2﹣6x﹣4=0.
34.
(1)解方程:
x2﹣2x﹣3=0;
(2)解不等式组:
.
35.
(1)解方程:
x2+2x=3;
(2)解方程组:
.
36.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:
不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
37.已知关于x的一元二次方程(x﹣1)(x﹣4)=p2,p为实数.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)p为何值时,方程有整数解.(直接写出三个,不需说明理由)
38.关于x的两个不等式①
<1与②1﹣3x>0
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.
39.解不等式
.
40.解不等式组:
.
初中数学一元二次方程与二次函数基础练习与常考题和提高题(含解析)
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.(2016•攀枝花)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+
ax﹣a2=0的一个根,则a的值为( )
A.﹣1或4B.﹣1或﹣4C.1或﹣4D.1或4
【分析】把x=﹣2代入已知方程,列出关于a的新方程,通过解新方程可以求得a的值.
【解答】解:
根据题意,将x=﹣2代入方程x2+
ax﹣a2=0,得:
4﹣3a﹣a2=0,即a2+3a﹣4=0,
左边因式分解得:
(a﹣1)(a+4)=0,
∴a﹣1=0,或a+4=0,
解得:
a=1或﹣4,
故选:
C.
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
2.(2016•新疆)一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为( )
A.(x﹣3)2=14B.(x﹣3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=4
【分析】先把方程的常数项移到右边,然后方程两边都加上32,这样方程左边就为完全平方式.
【解答】解:
x2﹣6x﹣5=0,
x2﹣6x=5,
x2﹣6x+9=5+9,
(x﹣3)2=14,
故选:
A.
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0):
先把二次系数变为1,即方程两边除以a,然后把常数项移到方程右边,再把方程两边加上一次项系数的一半.
3.(2016•六盘水)用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时,原方程可变形为( )
A.(x+2)2=1B.(x+2)2=7C.(x+2)2=13D.(x+2)2=19
【分析】把方程两边加上7,然后把方程左边写成完全平方式即可.
【解答】解:
x2+4x=3,
x2+4x+4=7,
(x+2)2=7.
故选B.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
4.(2016•厦门)方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=x2=0B.x1=x2=2C.x1=0,x2=2D.x1=0,x2=﹣2
【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案.
【解答】解:
x2﹣2x=0
x(x﹣2)=0,
解得:
x1=0,x2=2.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程,正确分解因式是解题关键.
5.(2016•朝阳)方程2x2=3x的解为( )
A.0B.
C.
D.0,
【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:
方程整理得:
2x2﹣3x=0,
分解因式得:
x(2x﹣3)=0,
解得:
x=0或x=
,
故选D
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
6.(2016•沈阳)一元二次方程x2﹣4x=12的根是( )
A.x1=2,x2=﹣6B.x1=﹣2,x2=6C.x1=﹣2,x2=﹣6D.x1=2,x2=6
【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:
方程整理得:
x2﹣4x﹣12=0,
分解因式得:
(x+2)(x﹣6)=0,
解得:
x1=﹣2,x2=6,
故选B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
7.(2016•天津)方程x2+x﹣12=0的两个根为( )
A.x1=﹣2,x2=6B.x1=﹣6,x2=2C.x1=﹣3,x2=4D.x1=﹣4,x2=3
【分析】将x2+x﹣12分解因式成(x+4)(x﹣3),解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论.
【解答】解:
x2+x﹣12=(x+4)(x﹣3)=0,
则x+4=0,或x﹣3=0,
解得:
x1=﹣4,x2=3.
故选D.
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程,解题的关键是将x2+x﹣12分解成(x+4)(x﹣3).本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,牢记因式分解法解一元二次方程的一般步骤是关键.
8.(2016•桂林)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<5B.k<5,且k≠1C.k≤5,且k≠1D.k>5
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根,结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,
∴
,即
,
解得:
k<5且k≠1.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键.
9.(2016•莆田)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的值,然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
∵△=a2+4>0,
∴,方程有两个不相等的两个实数根.
故选D.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
10.(2016•昆明)一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定
【分析】将方程的系数代入根的判别式中,得出△=0,由此即可得知该方程有两个相等的实数根.
【解答】解:
在方程x2﹣4x+4=0中,
△=(﹣4)2﹣4×1×4=0,
∴该方程有两个相等的实数根.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是代入方程的系数求出△=0.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键.
11.(2016•邵阳)一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值,根据△的正负即可得出结论.
【解答】解:
∵△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×1=1>0,
∴该方程有两个不相等的实数根.
故选B.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是求出根的判别式△=1.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的判别式的正负确定根的个数是关键.
12.(2016•泸州)若关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥1B.k>1C.k<1D.k≤1
【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac=4(k﹣1)2﹣4(k2﹣1)=﹣8k+8≥0,
解得:
k≤1.
故选:
D.
【点评】此题主要考查了根的判别式,正确得出关于k的等式是解题关键.
13.(2016•自贡)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m>1B.m<1C.m≥1D.m≤1
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,可知△≥0,从而可以求得m的取值范围.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣(m﹣2)]≥0,
解得m≥1,
故选C.
【点评】本题考查根的判别式,解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时,△≥0.
14.(2016•衡阳)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根,则k的值为( )
A.k=﹣4B.k=4C.k≥﹣4D.k≥4
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:
∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根,
∴△=42﹣4k=0,
解得:
k=4,
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
15.(2016•福州)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是( )
A.a>0B.a=0C.c>0D.c=0
【分析】根据方程有实数根可得ac≤4,且a≠0,对每个选项逐一判断即可.
【解答】解:
∵一元二次方程有实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4ac=16﹣4ac≥0,且a≠0,
∴ac≤4,且a≠0;
A、若a>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;
B、a=0不符合一元二次方程的定义,此选项错误;
C、若c>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;
D、若c=0,则ac=0≤4,此选项正确;
故选:
D.
【点评】本题主要考查根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
16.(2016•湘潭)抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )
A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)
【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.
【解答】解:
由y=2(x﹣3)2+1,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,1).
故选:
A.
【点评】此题考查二次函数的性质,解析式化为顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.
17.(2016•广州)对于二次函数y=﹣
+x﹣4,下列说法正确的是( )
A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值﹣3
C.图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7)D.图象与x轴有两个交点
【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式,再根据其解析式即可求解.
【解答】解:
∵二次函数y=﹣
+x﹣4可化为y=﹣
(x﹣2)2﹣3,
又∵a=﹣
<0
∴当x=2时,二次函数y=﹣
x2+x﹣4的最大值为﹣3.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的性质,求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.
18.(2016•南充)抛物线y=x2+2x+3的对称轴是( )
A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=2
【分析】先把一般式化为顶点式,然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程.
【解答】解:
∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的性质:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的顶点坐标是(﹣
,
),对称轴为直线x=﹣
.
19.(2016•荆门)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )
A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=7
【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值,再把m的值代入方程x2+mx=7,求出x的值即可.
【解答】解:
∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,
∴﹣
=3,解得m=﹣6,
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0,即(x+1)(x﹣7)=0,解得x1=﹣1,x2=7.
故选D.
【点评】本题考查的是二次函数的性质,熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键.
20.(2016•怀化)二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是( )
A.开口向上,顶点坐标为(﹣1,﹣4)B.开口向下,顶点坐标为(1,4)
C.开口向上,顶点坐标为(1,4)D.开口向下,顶点坐标为(﹣1,﹣4)
【分析】根据a>0确定出二次函数开口向上,再将函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标.
【解答】解:
∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1>0,
∴函数图象开口向上,
∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴顶点坐标为(﹣1,﹣4).
故选A.
【点评】本题考查了二次函数的性质,主要是开口方向与顶点坐标的求解,熟记性质是解题的关键.
二.填空题(共9小题)
21.(2016•长春)关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值是 1 .
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,可知其判别式为0,据此列出关于m的方程,解答即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,
∴△=0,
∴22﹣4m=0,
∴m=1,
故答案为:
1.
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根,则可得△=0,此题难度不大.
22.(2016•南京)设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根,且x1+x2﹣x1x2=1,则x1+x2= 4 ,m= 3 .
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣
=4,x1x2=
=m,将其代入等式x1+x2﹣x1x2=1中得出关于m的一元一次方程,解方程即可得出m的值,从而此题得解.
【解答】解:
∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根,
∴x1+x2=﹣
=4,x1x2=
=m.
∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1,
∴m=3.
故答案为:
4;3.
【点评】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是找出x1+x2=4,x1x2=m.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.
23.(2016•眉山)设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n= 5 .
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2,又知m是方程的根,所以可得m2+2m﹣7=0,最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n,最终可得答案.
【解答】解:
∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,
∴m+n=﹣2,
∵m是原方程的根,
∴m2+2m﹣7=0,即m2+2m=7,
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5,
故答案为:
5.
【点评】本题主要考查了根与系数的关系,解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式,结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答.
24.(2016•荆州)将二次三项式x2+4x+5化成(x+p)2+q的形式应为 (x+2)2+1 .
【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案.
【解答】解:
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=(x+2)2+1.
故答案为:
(x+2)2+1.
【点评】此题主要考查了配方法的应用,正确应用完全平方公式是解题关键.
25.(2016•吉林)若x2﹣4x+5=(x﹣2)2+m,则m= 1 .
【分析】已知等式左边配方得到结果,即可确定出m的值.
【解答】解:
已知等式变形得:
x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=(x﹣2)2+1=(x﹣2)2+m,
则m=1,
故答案为:
1
【点评】此题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
26.(2015•天水)一元二次方程x2+3﹣2
x=0的解是 x1=x2=
.
【分析】先分解因式,即可得出完全平方式,求出方程的解即可.
【解答】解:
x2+3﹣2
x=0
(x﹣
)2=0
∴x1=x2=
.
故答案为:
x1=x2=
.
【点评】此题考查了解一元二次方程,熟练掌握求根的方法是解本题的关键.
27.(2015•盘锦)方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是 x1=﹣2,x2=4 .
【分析】先移项,再提取公因式,求出x的值即可.
【解答】解:
原式可化为(x+2)(x﹣3)﹣(x+2)=0,
提取公因式得,(x+2)(x﹣4)=0,
故x+2=0或x﹣4=0,解得x1=﹣2,x2=4.
故答案为:
x1=﹣2,x2=4.
【点评】本题考查的是解一元二次方程,熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键.
28.(2016•河南)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .
【分析】把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可.
【解答】解:
∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,
∴代入得:
,
解得:
b=2,c=3,
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣(x﹣1)2+4,
顶点坐标为(1,4),
故答案为:
(1,4).
【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征的应用,能求出函数的解析式是解此题的关键.
29.(2015•邵阳)抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是 (﹣1,2) .
【分析】已知抛物线的解析式是一般式,用配
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