高考全国卷一理科数学试题及答案.docx
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高考全国卷一理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷一理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1•答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2•作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4•考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x1},贝V
A.AIB{x|x0}B.AUBRC.AUB{x|x1}
D.AIB
2.
如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图•正方形内切圆中的黑色部分和白色
3.
设有下面四个命题
p3:
若复数z-i,z2满足z-iz2R,则z|z2;p4:
若复数zR,则zR.
其中的真命题为
A.P1,P3
B・P1,P4
CP2,P3
D.P2,P4
4.记Sn为等差数列
{an}的前n项和.若
a4a524,
48,则{an}的公差为
A.1
B.2
C.4
D.8
5.函数f(x)在(
)单调递减,且为
奇函数•若f⑴
1,则满足1f(x2)1
的x的取值范围是
A[2,2]
B-[1,1]
C[0,4]
D.[1,3]
7•某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,
正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形•该多面体的各个面中有若干个是梯形,这
些梯形的面积之和为
个单位长度,得到曲线C2
个单位长度,得到曲线C2
个单位长度,得到曲线C2
12
10•已知F为抛物线C:
y24x的焦点,
个单位长度,得到曲线C2
过F作两条互相垂直的直线li,l2,直线li与C交
于AB两点,直线12与C交于DE两点,贝U|AB+|DE的最小值为
A.
16
B.
14
C.12
D.10
11•设
xyz为正数,
且2x
3y
5;
',则
A.
2x3y
5z
B.
5z
2x
3y
C.
3y5z
2x
D.
3y
2x
5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣,
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的
答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是
20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推。
求满足如下条件
的最小整数N:
N100且该数列的前N项和为2的整数幕。
那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.
x2y1
14•设x,y满足约束条件2xy1,则z3x2y的最小值为
xy0
16•如图,圆形纸片的圆心为Q半径为5cm该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
DE、F为圆O上的点,△DBC△ECA△FAB分别是以BCCAAB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后,分别以BCCAAB为折痕折起△DBC△ECA△FAB使得DE、F重合,得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
(1)求sinBsinC;
18.
(12分)
(1)证明:
平面PABL平面PAD
(2)若PA=PD=AB=DCAPD90°,求二面角A-PBC的余弦值.
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个
零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)
之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;
(2)—天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
-1161162m
经计算得X厂x9.97,sJ—(xx)2」一(x216x2)20.212,
16i1Y16「巧6「
其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i1,2,,16.
用样本平均数x作为的估计值?
,用样本标准差s作为的估计值?
,利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除(?
3?
?
3?
)之外的数据,用剩下的数据
估计和(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(3Z3)0.9974,
0.9974160.9592,,0.0080.09•
20.(12分)
22
已知椭圆C:
务■y7=1(a>b>0),四点P(1,1),P2(0,1),P3(-1,、3),P4(1,
a2b22
)中恰有三点在椭圆C上.
2
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过F2点且与C相交于AB两点。
若直线F2A与直线F2B的斜率的和为-1,证明:
I过定点.
21.(12分)
已知函数f(x)ae2x(a2)exx
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
x3cos
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x3cos,(e为参数),直线l的参数方
ysin,
xa4t
程为(t为参数).
y1t,
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到I的距离的最大值为,17,求a.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)x2ax4,g(x)|x1||x1|
(1)当a1时,求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)>g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷一理科数学参考答案
项是符合题目要求的。
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
2
a
3sinA
1
由题意可得Sabc—bcsinA
2
22
化简可得2a3bcsinA,
根据正弦定理化简可得:
222
2sinA3sinBsinCsinAsinBsinC—。
3
(2)
由
sinBsinC
cosBcosC
因此可得B
化简可得tanC守
同理可得c.3,
(1)证明:
又ABPA,PAPDP,PAPD都在平面PAD内,
故而可得ABPAD。
又AB在平面PAB内,故而平面PABL平面PAD
(2)解:
不妨设PAPDABCD2a,
以AD中点O为原点,OA为x轴,OP为z轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标:
P0,0,、、2a,A2a,0,0,B,2a,2a,0,C、.2a,2a,0,
UUMuuuLUU*
因此可得PA2a,0,、・2a,PB、・2a,2a,2a,PC-2a,2a,2a
itur
假设平面PAB的法向量nx,y,1,平面PBC的法向量n2m,n,1,
很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为
19.(12分)
16个
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取
零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)
之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;
(2)—天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x—x9.97,sJ—(xx)2J—(x216x2)20.212,
16i1^16i1Y16「
其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i1,2,,16.
用样本平均数x作为的估计值?
,用样本标准差s作为的估计值?
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除(?
3?
?
3?
)之外的数据,用剩下的数据
估计和(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(3Z3)0.9974,0.9974160.9592,■.0.0080.09•
解:
(1)PX11PX010.99741610.95920.0408
由题意可得,X满足二项分布x〜B16,0.0016,
因此可得EX16,0.0016160.00160.0256
(2)
1由
(1)可得PX10.04085%,属于小概率事件,
故而如果出现(3,3)的零件,需要进行检查。
2由题意可得卩9.97,卩0.212卩3卩9.334,卩3卩10.606,
故而在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据,因此需要进行检查。
此时:
I9.97169・2210.02,
15
0.09。
20.
(12分)
中恰有三点在椭圆
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过F2点且与C相交于AB两点。
若直线F2A与直线PB的斜率的和为
-1,证明:
I过定点.
根据椭圆对称性可得,
P1(1,1)P4(1,)不可能同时在椭圆上,
2
定同时在椭圆上,
代入椭圆方程可得:
b1,厶?
1a2,
a4
2
x
故而可得椭圆的标准方程为:
y21。
4
(2)由题意可得直线F2A与直线P2B的斜率一定存在,
不妨设直线PA为:
ykx1,F2B为:
y1kx
1.
联立
ykx1
2
x2
7y
假设
AXi,yi,
8k14k2
4k"__,4k21
22
4k1x8kx0,
x2,y2此时可得:
B
141k2
此时可求得直线的斜率为:
化简可得
②当k
21.(12分)
已知函数
f(x)
解:
y2
kAB
X2
2,此时满足
12k
y1
X1
AB两点重合,不合题意。
直线方程为:
4k24k1x
12k2
2xx
ae+(a-2)e-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若
f(x)有两个零点,求
(1)对函数进行求导可得
②当a0时,f'
②当a0时,
2
k
2
41k1
14k2
4k21
8k'
4k"1
12k
2时,y
a的取值范围.
2ae2x
x
ae1
x
ae
8k
4k21
14k2
4k21,
,因此直线恒过定点2,1。
xAxA
ae1e1。
0恒成立,故而函数恒递减
0xIn1,故而可得函数在
a
11、
ln上单调递减,在ln,上单调递增。
aa
(2)函数有两个零点,故而可得a
0,此时函数有极小值fln-
a
1
lna1,
a
要使得函数有两个零点,亦即极小值小于
1
故而可得lna1
a
0,令g
1
lna1,
a
对函数进行求导即可得到
g'
a1
2~
a
故而函数恒递增,
Ina
因此可得函数有两个零点的范围为
0,1。
(二)选考题:
共
10分。
请考生在第
22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第
■题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程]
(10分)
在直角坐标系
xOy中,曲线C的参数方程为
x3cos,
ysin,
(e为参数),直线I的参数方
程为
a4t
(t为参数).
1t,
(1)
若a=-1,求C与I的交点坐标;
(2)
若c上的点到I的距离的最大值为S7,
求a.
解:
将曲线C
2
x
的参数方程化为直角方程为y
9
2
1,直线化为直角方程为
(1)
当a1时,
代入可得直线为y
3,联立曲线方程可得:
y
4
x2
1
x
4
9y2
解得
25或
24
25
y3,故而交占为
21
25
24
24或
25
3,0
1-a的距离为
4
3cos
4sin
.17
a4|
17,
即:
3cos4sin
17,
化简可得17a
3cos
4sin
17
根据辅助角公式可得
13a
5sin
21a,
又55sin5,解得a8或者a16。
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)>g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围解:
2xx1
将函数gxx1x1化简可得gx21x1
2xx1
(1)当a1时,作出函数图像可得
fx
y
2x
点G
联立'
2可得
xx4
y
gx的范围在F和G点中间,
“」171
「171,因此可得解集为
(2)即fxgx在1,1内恒成立,故而可得x2ax42x22ax恒成
立,
根据图像可得:
函数yax必须在l1,l2之间,故而可得1a1。
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