第二十章数据的分析.docx
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第二十章数据的分析
第二十章 数据的分析
1.进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义.
2.会计算加权平均数,理解“权”的意义,能选择适当的统计量表示数据的集中趋势.
3.会计算极差和方差,理解它们的统计意义,会用它们表示数据的波动情况.
1.探索并掌握平均数、方差的计算公式,会找一组数据的中位数、众数、极差,用样本估计总体,并解决生产、生活中的有关问题.
2.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动,经历数据处理的基本过程,体验统计与生活的联系,感受统计在生活和生产中的作用,养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.
1.能用计算器的统计功能进行统计计算,进一步体会计算器的优越性.
2.会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差,进一步感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想.
3.通过创设问题情境,激发学生自主探求的热情和积极参与的意识;通过合作交流,培养学生团结协作、乐于助人的品质.
本章属于“统计与概率”领域.对于“统计与概率”领域的内容,共有三章.这三章内容采用统计和概率分开编排的方式,前两章是统计,最后一章是概率.统计部分的两章内容按照数据处理的基本过程来安排.我们在7年级下册学习了“第10章数据的收集、整理与描述”,本章“数据的分析”主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法.
在前一章中,我们学习了收集、整理和描述数据的常用方法,将收集到的数据进行分组、列表、绘图等处理工作后,数据分布的一些面貌和特征可以通过统计图表等反映出来.为了进一步了解数据分布的特征和规律,还需要计算出一些代表数据一般水平(典型水平)或分布状况的特征量.对于统计数据的分布的特征,可以从三个方面来分析:
一是分析数据分布的集中趋势,反映数据向其中心值(平均数)靠拢或聚集的程度;二是分析数据分布的离散程度,反映数据远离其中心值(平均数)的趋势;三是分析数据分布的偏态和峰度,反映数据分布的形状.这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面.根据《标准》的要求,本章就从前两个方面研究数据的分布特征.
【重点】 平均数、众数、中位数、方差的定义及其应用.
【难点】 应用所学的统计知识解决实际问题.
1.注意与前两个学段相关内容的衔接.
本章在教学时,注意与前两个学段的衔接,将三个学段的相关内容,在分析数据的这个大背景下统一起来,在对学生已有的相关知识进行整理的基础上学习新的知识.例如,对于平均数、中位数、众数,本章就是在研究数据集中趋势的大背景下,在整理学生已有的关于这三种统计量的认识的基础上,学习加权平均数,研究如何根据统计量的特征选择适当的统计量描述数据的集中趋势等.这样的一种编写方式,将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体.因此,教学中要注意对已有知识的复习,在复习的基础上学习新内容,使学生对于分析数据的知识和方法形成整体认识.
2.准确把握教学要求.
本章要求通过较多实例,从不同的方面进一步感受抽样的必要性,并初步感受样本的代表性,体会不同的抽样可能得到不同的结果,能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等.因此,在本章教学时,要注意把握教学要求.
3.合理使用计算器.
信息技术的发展给统计学的研究带来很大变化,为统计工作的高效、准确提供了便捷的工具.对于计算器等现代信息技术对统计的作用,本章中,编写了使用计算器求一组数据的平均数和方差的内容作为必学内容,还编写了利用计算机求平均数、中位数、众数和方差等集中统计量的内容作为选学内容等.教学中要注意发挥计算器在处理数据中的作用,也要注意合理地使用计算器.
20.1数据的集中趋势
20.1.1平均数(2课时)
20.1.2中位数和众数(2课时)
4课时
20.2数据的波动程度
1课时
20.3课题学习体质健康测试中的数据分析
1课时
单元概括整合
1课时
20.1 数据的集中趋势
1.进一步掌握算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
2.理解中位数和众数的定义和意义,会求一组数据的中位数和众数,能结合具体问题解释中位数和众数的实际意义.
3.能分清平均数、中位数、众数三者的区别,根据实际问题情境选择适当的统计量表示数据的特征.
经历应用加权平均数对数据处理和探索中位数、众数的过程,体验对统计基本思想的理解过程.能运用数据信息的分析解决一些简单的实际问题.
通过加权平均数、中位数和众数的学习,初步认识数学与人类生活的密切联系,感受数学结论的确定性,激发学生学好数学的热情,感受统计在生活中的应用,增强统计意识,培养统计能力.
【重点】 算术平均数、加权平均数的概念及计算,会求一组数据的中位数和众数,能结合实际情境理解其实际意义.
【难点】 理解平均数、中位数和众数这三个统计量之间的联系与区别,能根据具体问题选择适当的统计量分析数据信息并作出决策.
20.1.1 平均数
1.进一步掌握算术平均数、加权平均数的概念.
2.会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
经历应用加权平均数对数据处理的过程,体验对统计基本思想的理解过程.能运用数据信息的分析解决一些简单的实际问题.
通过加权平均数的学习,初步认识数学与人类生活的密切联系,感受数学结论的确定性,激发学生学好数学的热情.
【重点】
1.算术平均数、加权平均数的概念及计算.
2.掌握加权平均数的实际应用.
【难点】
1.体会平均数在不同情境中的应用.
2.应用加权平均数对数据做出合理判断.
20.1.1 平均数
第
课时
1.使学生理解数据的权和加权平均数的概念.
2.使学生掌握加权平均数的计算方法.
1.通过加权平均数的学习,经历运用数据描述信息,作出推断的过程,形成和发展统计观念.
2.通过加权平均数的学习,进一步认识数据的作用,体会统计的思想方法.
渗透数学公式的简单美和结构的严谨美,展示了寓深奥于浅显、寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美.
【重点】 会求加权平均数.
【难点】 对“权”的正确理解.
【教师准备】 教学中出示的课件和例题.
【学生准备】 预习课本内容.
刘木头开了一家小工厂,生产儿童玩具.工厂的管理人员由刘木头、他的弟弟及其他6个亲戚组成.工作人员由5个领工和10个工人组成.现在需要一个新工人,刘木头正在与一个叫小王的青年人谈招聘问题.刘木头说:
“我们这里报酬不错,平均每个人的薪金是每周300元,但在学徒期间每周是75元,不过很快就可以加工资.”
小王上了几天班以后,要求和厂长谈谈.小王说:
“你骗我,我已经和其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元.每人平均工资怎么可能是一周300元呢?
”
刘木头皮笑肉不笑地回答:
“小王,不要激动嘛!
每人平均工资确实是300元,不信你自己算一算.”刘木头拿出一张表,说道:
“这是我每周付出的薪金.我得2400元,我弟弟得1000元,我的6个亲戚每人得250元,5个领工每人得200元,10个工人每人得100元.总共是每周6900元,付给23个人,平均每人得300元,对吗?
”
“对,对,你是对的,每人的平均工资是每周300元.可你还是骗了我.”小王生气地说.
刘木头拍着小王的肩膀说:
“这我可不同意,你自己算的结果也表明我没骗你呀!
小兄弟,你根本不懂得平均数的含义,怪不得别人哟!
”
同学们,你能当个小法官来判一下谁说的对吗?
[过渡语] 前面我们学过算术平均数的计算,我们一起来探究加权平均数.
1.加权平均数
问题:
某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表:
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
15
0.15
B
7
0.21
C
10
0.18
这个市郊县的人均耕地面积是多少?
(精确到0.01公顷)
问题1
小明求得这个市郊县的人均耕地面积为:
==0.18(公顷).
你认为小明的做法有道理吗?
为什么?
组织学生讨论,教师参与,并适时指导:
(1)对“平均数”和“人均耕地面积”的准确理解;
(2)三个郊县人数的多少对人均耕地面积有无影响,分析小明同学的计算错误.
问题2
这个市郊县的总耕地面积是多少?
总人口是多少?
你能算出这个市郊县的人均耕地面积是多少吗?
引导学生列出正确算式,即这个市郊县的人均耕地面积为:
≈0.17(公顷).
问题3
三个郊县的人数(单位:
万)15,7,10在计算人均耕地面积时有何作用?
教师指出:
上面的平均数0.17称为三个数0.15,0.21,0.18的加权平均数.三个郊县的人数(单位:
万)15,7,10分别为三个数据的权.
追问:
你能正确理解数据的权和三个数的加权平均数吗?
在活动中教师应重点关注学生对数据的权及加权平均数的理解.
问题4
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则这n个数的加权平均数是多少?
教师引导学生从三个数据的加权平均数的计算方法中,归纳得出n个数的加权平均数的计算公式.
学生思考、总结归纳:
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则叫做这n个数的加权平均数.
[知识拓展]
(1)当所给的数据在一常数a上下波动时,一般选用='+a.一组数据x1,x2,…,xn的各个数据比较大的时候,我们可以把各个数据同时减去一个适当的常数a,得x'1=x1-a,x'2=x2-a,…,x'n=xn-a.于是x1=x'1+a,x2=x'2+a,…,xn=x'n+a.因此=(x1+x2+…+xn)=(x1'+x2'+…+xn')+·na='+a;
(2)平均数的大小与每个数据都有关系,它反映一组数据的集中趋势,是一组数据的“重心”,也是度量一组数据波动大小的基准;(3)加权平均数是算术平均数的特例.加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数,当加权平均数的各项权相等时,就变成了算术平均数.
2.例题讲解
一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各个成绩均按百分制,再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例,计算选手的综合成绩(百分制),进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示:
(单位:
分)
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
请确定两人的名次.
教师出示例题并指导学生阅读分析:
这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数,50%,40%,10%说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度,是三项成绩的权.
学生在阅读过程中明确下列问题:
(1)演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度用什么数据说明?
(2)要想决出两人的名次,必须求两人的总成绩,实质上是求这两名选手三项成绩的加权平均数.
学生根据加权平均数的计算公式先分别计算出两名选手的总成绩,教师进一步引导写出解答过程.
解:
选手A的最后得分是=90,
选手B的最后得分是=91.
由上可知选手B获得第一名,选手A获得第二名.
(1)加权平均数的意义:
在一组数据中,由于每个数据的权不同,所以计算平均数时,用加权平均数,才符合实际.
(2)数据的权的意义:
数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
(3)加权平均数公式:
20.1.1 平均数
第1课时
加权平均数例题
【必做题】
教材第113页练习第1,2题;教材第121页习题20.1第1题.
【选做题】
教材第122页习题20.1第5题.
.
学生在第二学段已学过平均数,初步了解了平均数的实际意义,这个课时将在此基础上,在研究数据集中趋势的大背景下,学习加权平均数,体会权的意义、作用,并进一步体会平均数是刻画一组数据集中趋势的重要的统计量,是一组数据的“重心”.
教材设计了以招聘英文翻译为背景的实际问题,根据不同的招聘要求,各项成绩的“重要程度”不同,从而平均成绩不同,由此引入加权平均数的概念.权的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”.为了更好地说明这一点,教科书设计了“思考”栏目和例1,从不同方面体现权的作用,使学生更好地理解加权平均数,体会权的意义和作用.
加权平均数不同于简单的算术平均数,简单的算术平均数只与数据的大小有关,而加权平均数则还与该组数据的权相关,学生对权的意义和作用的理解会有困难,往往造成数据与权混淆不清,只会利用公式,而不知加权平均数的统计意义.
本节课的教学重点是对权及加权平均数统计意义的理解;教学难点是对权的意义的理解,用加权平均数分析一组数据的集中趋势.
(2014·张家界中考)已知一组数据4,13,24的权数分别是,,则这组数据的加权平均数是________.
〔解析〕 由加权平均数计算公式得=4×+13×+24×=17.故填17.
(2014·乐山中考)下表是10支不同型号签字笔的相关信息,则1支签字笔的平均价格是 ( )
型号
A
B
C
价格(元/支)
1
1.5
2
数量(支)
3
2
5
A.1.4元 B.1.5元 C.1.6元 D.1.7元
〔解析〕 将表格中的数据代入加权平均数的公式即可.由题意得==1.6(元).故选C.
1.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分,其中平时体育活动评估成绩占20%,期中成绩占30%,期末成绩占50%.则平时体育活动评估成绩、期中成绩、期末成绩的权分别为________、________和________.
2.学校把学生学科的期中、期末两次成绩分别按40%,60%的比例计入学期学科总成绩.小明期中数学成绩是85分,期末数学成绩是90分,那么他的学期数学总成绩是 ( )
A.85分 B.87.5分C.88分 D.90分
3.一家公司打算招聘一名部门经理,现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分,笔试占总成绩的20%,面试占30%,实习成绩占50%,各项成绩如下表所示:
(单位:
分)
应聘者
笔试
面试
实习
甲
85
83
90
乙
80
85
92
试判断谁会被公司录用,为什么?
课后作业
1.在中国好声音选秀节目中,四位参赛选手的各项得分如下表,如果将专业、形象、人气这三项得分按3∶2∶1的比例确定最终得分,最终得分最高的进入下一轮比赛,则进入下一轮比赛的是( )(每项按10分制)
测试内容
测试成绩
小赵
小王
小李
小黄
专业素质
6
7
8
8
形象表现
8
7
6
9
人气指数
8
10
9
6
A.小赵 B.小王 C.小李 D.小黄
2.学校广播站要招聘1名记者,小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试,成绩如下:
采访写作
计算机
创意设计
小明
70分
60分
86分
小亮
90分
75分
51分
小丽
60分
84分
72分
现在要计算3人的加权平均分,如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由3∶5∶2变成5∶3∶2,成绩变化情况是 ( )
A.小明增加最多 B.小亮增加最多
C.小丽增加最多 D.三人的成绩都增加
3.希望中学一个学期的数学总平均分是按下图进行计算的.该校李飞同学这个学期的数学成绩如下:
(单位:
分)
李飞
平时作业
期中考试
期末考试
90
85
88
则李飞这个学期数学总平均分为________.
4.学生的学科期末成绩由期考分数、作业分数、课堂参与分数三部分组成,按各占30%,30%,40%的比例确定.已知晓明的数学期考80分,作业90分,课堂参与85分,则他的数学期末成绩为________分.
5.小丽家上个月吃饭费用为500元,教育费用为200元,其他费用为500元.本月小丽家这三项费用分别增长了10%,30%和5%.小丽家本月的总费用比上个月增长的百分数是多少?
7.小李同学七年级第二学期的数学成绩如下表所示:
测验类别
平时
期中
考试
期末
考试
测验1
测验2
测验3
测验4
成绩(分)
88
92
94
90
92
89
如果学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算,那么小李同学该学期的总评成绩为多少分?
(四舍五入精确到1分)
8.老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:
作业占10%,测验占20%,期中考试占35%,期末考试占35%,小关和小兵的成绩如下表:
学生
作业
测验
期中考试
期末考试
小关
80
75
71
88
小兵
76
80
68
90
分别算出小关和小兵的总平均分.
20.1.1 平均数
第
课时
1.加深对加权平均数的理解.
2.会根据频数分布表求加权平均数,从而解决一些实际问题.
3.会用计算器求加权平均数的值.
经历探索加权平均数的应用过程,体验和理解统计的基本思想,学会频数分布表中应用加权平均数的方法.
乐于接触社会环境中的数学信息,了解数学对促进社会进步和发展人类理解精神的作用.
【重点】 能根据频数分布表利用组中值的方法应用公式计算加权平均数.
【难点】 对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解.
【教师准备】 教学中出示的教学图表和例题.
【学生准备】 预习教材内容.
为了解5路公共汽车的运营情况,公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量,得到下表:
载客量/人
组中值
频数(班次)
1≤x<21
11
3
21≤x<41
31
5
41≤x<61
51
20
61≤x<81
71
22
81≤x<101
91
18
101≤x<121
111
15
(1)这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少?
(2)从表中你能知道这一天5路公共汽车大约有多少班次的载客量在平均载客量以上吗?
占全天总班次的百分比是多少?
学生思考后,追问:
在求加权平均数时,各组的数据如何确定?
各组的权分别是什么?
你能计算这天5路公共汽车平均每班的载客量吗?
1.根据频数分布表求加权平均数
[过渡语] 下面我们具体来看看刚才探究的问题.
学生思考、探索、交流,解决每个问题.
(1)知道了5路公共汽车每个运行班次的载客量.
(2)组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.
(3)第二组数据的频数是5.
(4)每组数据的平均值和组中值基本是一致的.
教师指点:
根据频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,例如在1≤x<21之间的载客量近似地看作组中值11,组中值11的权是它的频数3.因此这天5路公共汽车平均每班的载客量是=≈73(人).
用计算器求加权平均数的值
使用计算器的统计功能求平均数时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xk以及它们的权f1,f2,…,fk;最后按动求平均数的功能键(例如键),计算器便会求出平均数的值.
学生选择教材第114页中的探究进行练习,组内交流操作情况.
3.例题讲解
[过渡语] 下面我们一起来分析几个例子.
(教材例2)某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,结果如下:
13岁8人,14岁16人,15岁24人,16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数).
教师提问:
求跳水队运动员的平均年龄实际上是求哪些数据的加权平均数?
学生分析,此题中的问题实际就是求13,14,15,16这4个数的加权平均数,8,16,24,2叫做13,14,15,16的权.
解:
=≈14(岁).
[解题策略] 本题主要考查应用加权平均数解决实际问题,关键是弄清这组数据的权,并能运用加权平均数公式进行运算.
(教材例3)某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命,从中抽查了50只灯泡,它们的使用寿命如下表所示:
使用寿命x/h
600≤x<1000
1000≤x<1400
1400≤x<1800
1800≤x<2200
2200≤x<2600
灯泡只数
5
10
12
17
6
这批灯泡的平均使用寿命是多少?
〔解析〕 抽出的50只灯泡的使用寿命组成一个样本,可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命.求这个样本的平均使用寿命即是求这个样本的加权平均数,根据频数分布表提供的数据求出加权平均数即可.
解:
根据表可以得出各小组的组中值,于是==1672,
即样本平均数为1672.
因此,可以估计这批灯泡的平均使用寿命是1672h.
[归纳总结] 本题考查了用样本的平均数来估计总体的平均数.当所要考察的对象很多时,或者对考察对象带有破坏性时,统计中常常通过样本估计总体.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.在求n个数的平均数时,如果x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(其中f1+f2+…+fk=n),那么这n个数的平均数=也叫做x1,x2,…,xk这k个数的加权平均数,其中f1,f2,…,fk分别叫做x1,x2,…,xk的权.
2.运用频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,利用加权平均数公式计算即可.
20.1.1 平均数
第2课时
1.根据频数分布表求加权平均数 例1
2.用计算器求加权平均数的值例2
【必做题】
教材第115页练习第1,2题;教材第116页练习题.
【选做题】
教材第123页习题20.1第9题.
本节课内容主要是根据频数分布表求加权平均数,在解决此类问题时,涉及确定每一组的数据及每组中数据对应的权,然后根据加权平均数的计算公式计算平均数.
首先从生活实例引入,让学生探究求平均数实际就是求加权平均数,要求加权平均数必须确定每组的数据及每个数据的权,从而进一步引出组中值即是代表了每组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,最后利用加权平均数的计算公式求出平均数.体现了学生的探索、发现和计算的过程.解决问题的关键是正确理解组中值的意义及权的含义,教学中要注意加以引导.
本节的重点是根据频数分布表计算加权平均数,其难点就是理解用组中值代表每组的实际数据并确定每组数据的权.在教学过程中,从生活实例出发,通过逐步引导学生探究的方式,使学生理解并掌握确定每组数据的方法,并能确定每组数据的权,对于这种问题的解决方法,学生感到陌生,部分学生掌握上有一定的困难.所以,这里采取学生先独立思考、合作探究、讨论交流、计算分析等活动,最后,教师再给出总结,以便突破这一难点,激发学生学习数学的热情.
为了调查某一路口某时段的汽车流量,记录了15天同一时段通过
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- 第二十章 数据的分析 第二十 数据 分析