面对高考案例二次函数yax2bxc在给定区间上的最大小值问题.doc
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面对高考案例二次函数yax2bxc在给定区间上的最大小值问题.doc
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案例:
二次函数y=ax2+bx+c在给定区间上的最大(小)值问题
深圳市南山外国语学校:
郭建华
教学目的:
①使学生通过对知识的运用加深对知识的理解与掌握。
②在问题解决的过程中渗透数形结合的思想方法和运动、变化的观点。
③引导学生挖掘知识的作用,提高运用知识分析问题和解决问题的能力。
重点难点:
二次函数在闭区间上的最值的探求
教具:
多媒体
[教学背景]
函数的单调性是高中数学函数一章中一节相当重要的内容。
因为研究一个函数的性质往往离不开它的单调性。
而且利用函数的单调性,可以解决许多的问题,尤其是求函数在某区间上的最值问题。
学生在初中阶段接触最多,而且他们觉得比较难以理解的函数便是二次函数。
在初中阶段,学生熟记二次函数的最值计算公式,可以较快地求出二次函数在定义域R上的最大值或最小值。
但是当函数的定义域改变之后,学生往往对此熟视无睹,不知道定义域发生变化之后对值域会带到什么样的变化。
这说明学生对所背的公式并没有真正意义上的理解,从本质上讲是缺乏一种数形结合的思考问题的方法。
为了培养学生的数形结合的解题意识,也为了学生更好地理解函数单调性的作用,我在上完函数的单调性之后,补充了这样一节探究性的课。
一方面起到扩充知识的作用,提高学生对知识的应用意识;另一方面重在培养学生的探究意识,培养学生数形结合的思维方法。
[案例]
一、复习函数单调性的概念
①复述函数单调性的概念(学生完成)
②画图并结合你所画出的图象分别说明在某一个闭区间[a、b](b>a)上单调的函数其图象变化的趋势。
(分别画出在某一区间[a、b]上递增(减)的函数图象,指出图象的变化趋势)
③结合图象,请指出函数值变化的趋势,你能从中得到一些你认为有价值的结论吗?
从图
(1),f(x)在[a,b]上是增函数,则。
从图
(2),g(x)在[a,b]上是减函数,则。
注:
从图
(1),f(x)在[a,b]上是增函数,则f(a) 从图 (2),g(x)在[a,b]上是减函数,则g(a)>g(b)。 注: 从图 (1)可知f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a); 从图 (2)可知g(x)在区间[a,b]上的最大值为g(a),最小值为g(b) 所以,学习函数的单调性可以研究函数在某区间上的最大值和最小值。 设计意图: 温故而知新。 在复习旧知识的同时,引导学生思考并发现所学的知识函数单调性的意义和作用,提高学生的求知欲望和知识的应用意识。 二、复习二次函数y=ax2+bx+c在R上的最值 三、数学的应用 例1、求函数y=2x2-3x+5在[-2,2]上的最大值和最小值。 分析: 该问题表述的函数一定区间一定,引 导学生数形结合解决 解: 函数y=2x2-3x+5的 对称轴x=在区间[-2,2]内且靠近区间的右端点, 所以: 当x=时函数有最小值 Ymin= 当x=-2时函数有最大值 Ymax=19 例2、求函数y=-x2-4x+1在[-1,3]上的最大值和最小值。 分析: 该问题表述的函数一定区间一定,引导学 生数形结合解决 解: 函数y=-x2-4x+1的对称轴 x=-2在区间[-1,3]的左侧。 因此: 函数在[-1,3]上是单调减函数。 所以: 当x=-1时函数取最大值4, 当x=3时取最小值-20 例3、求函数y=x2+tx(-1的最小值 解题分析: 函数的解析式中含有参数t,而函数图象的对称轴是x=-t/2,对称轴相对于区间[-1,1]位置不定,因此应对t的不同取值进行讨论。 解: 函数y=x2+tx的对称轴是x=- (1)当对称轴x=-在区间[-1,1]的左侧时, 则-<-1即t>2时, 函数在区间[-1,1]上是增 函数。 所以,当x=-1时 y=1–t (2)当对称轴x=-在区间[-1,1]上时, 则-1-1即 -2t2时, 所以,当x=-时y=- 当对称轴x=-在区间[-1,1]的右侧时,则->1即t<-2时, 函数在区间[-1,1]上是减函数。 所以,当x=1时y=1+t 例4求函数y=2x2+x-1在区间[t,t+2]上的最小值 解题分析: 题设所给的函数不变,但区间[t,t+2]含有参数t,函数图象对称轴相对区间[t,t+2]位置不定,因此要对t的取值不同进行讨论。 (利用几何和画板展示各种变化.) 解: 解: 函数y=2x2+x-1的对称轴是x= (1)当对称轴x=在区间[t,t+2]的左侧时,则t> 此时函数y=2x2+x-1在区间[t,t+2]上是增函数。 所以,当x=t时y=2t2+t-1 (2)当对称轴x=在区间[t,t+2]上时,则tt+2 即t时, 所以,当x=时y= (3)当对称轴x=在区间 [t,t+2]的右侧时,则t+2< 即t<时,函数在区间[t,t+2] 上是减函数。 所以,当x=t+2时y=2t2+9t+9 设计意图: 在这个环节设计了两种变化,一种是区间变化,函数图象不变(即对称轴不变)第二种是区间不变,函数图象变化(即对称轴变化)的最值问题。 一开始学生对这两种变化可能无从着手,一下子找不到解题的突破口。 在此我结合现代教育媒体,利用几何画板软件,将这两种变化清晰地反应出来,以启发学生的思考。 最后,在解答完毕之时,就是要让学生意识到这样一点,二次函数在某区间(不管区间是静止也好,变化的区间也好)上的单调性是由它相对于对称轴的位置决定的。 [按例点评] 几何画板能动态地保持图形内在的、恒定不变的关系和规律,在这节课中发挥了很大的作用,我将含参变量a的二次函数用几何画板画出它的图象,给出需要观察的区间,并用移动、跟踪轨迹等功能演示不同a值下的函数图象的连续变化,图象的直观性丰富了学生的想象,通过演示图形的变化得到分类的方法就顺理成章了。 使用计算机辅助教学,因其形象、运算快、图形准确,使传统教学极难突破的教学难点显得轻而易举。 再将问题引申、提高,给学生留下思维的空间,由他们独立解决,也就不难了。 (后附几何画板制作二次函数图象说明) [教学研究]利用几何画板画二次函数的图象 ----1.新建一个绘图,选择菜单栏里的“图表”,鼠标单击“建立坐标轴”。 ----2.选择工具栏里的“画点”工具,鼠标指针变成十字形,在坐标轴的横轴上点击一下,画出一个点,确保该点处在被选中状态,选择工具栏里的“标出文本&标签”工具,鼠标单击刚画出的点,将显示出该点的“标签”(假设为“C”)。 确保C点处于被选中状态,选择菜单栏里的“度量”,鼠标单击“坐标”,得到C点的坐标。 ----3.选择工具栏里的“选择&平移”工具,鼠标单击C点的坐标,使它处于被选中状态,再选择菜单栏里的“度量”,鼠标单击“计算…”,出现“计算器”窗口,用鼠标单击“数值”按钮,把鼠标放在“点C”上,选择x,然后用鼠标单击“计算器”窗口里“确定”按钮,这样我们就得到了C点的横坐标的度量值。 如果用鼠标拖动点C的话,你会发现它的横坐标的度量值在随之变化。 ----4.下面我们把界面稍微整理一下,用鼠标单击C点的坐标,使它处于被选中状态,然后同时按下Ctrl和H键,把C点的坐标隐藏掉。 再选择工具栏里的“标出文本&标签”工具,用鼠标双击C点横坐标的度量值,在出现的“度量值格式”窗口里选择“文本格式”,出现两个文本框,将左面文本框内的“X[C]=”改成“x=”,按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。 经过上面的工作,我们已经把二次函数的自变量构造出来了,下面我们再来构造二次函数的系数a、b、c。 系数a、b、c的构造过程是完全一样的,故我们只详细介绍系数a的构造过程。 ----5.选择工具栏里的“画点”工具,在坐标轴的横轴上画一个点,选择工具栏里的“标出文本&标签”工具,鼠标单击刚画出的点,将显示出该点的“标签”(假设为“D”)。 然后选择工具栏里的“选择&平移”按钮,按住Shift键,鼠标单击坐标轴的横轴,使D点和坐标轴的横轴同时处于选中状态(如果要选择多个对象,要先按住Shift键,再用鼠标进行选择。 若要取消对某个对象的选择,只需用鼠标再次单击该对象即可),选择菜单栏里的“作图”,鼠标单击“垂线”,这时一条垂直于坐标轴横轴且过D点的直线便被画了出来。 在这条直线上画出一个点,选择工具栏里的“标出文本&标签”工具,鼠标单击刚画出的点,将显示出该点的“标签”(假设为“E”),鼠标双击该点标签(字母“E”),在出现的“重设标签”窗口里,将“E”改为“a”,按下“重设标签”窗口的“确定”按钮。 再选择工具栏里的“选择&平移”工具,鼠标单击刚画出的那条直线,然后同时按下Ctrl和H键,把直线隐藏掉。 选中a点,选择菜单栏里的“度量”,鼠标单击“坐标”,得到a点的坐标。 选中a点的坐标,选择菜单栏里的“度量”,鼠标单击“计算…”,出现“计算器”窗口,用鼠标单击“数值”按钮,把鼠标放在“点a”上,选择y,然后用鼠标单击“计算器”窗口里的“确定”按钮,这样我们就得到了a点的纵坐标的度量值,我们用它作为二次函数的系数a。 ----6.下面我们把界面稍微整理一下,把a点的坐标隐藏掉,选择工具栏里的“标出文本&标签”工具,用鼠标双击a点的纵坐标的度量值,在出现的“度量值格式”窗口里选择文本格式,出现两个文本框,将左面文本框内的“Y[a]=”改成“a=”,按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。 然后选择工具栏里的“选择&平移”按钮,按住Shift键,鼠标单击a点和D点,使a、D点同时处于选中状态,选择菜单栏里的“作图”,鼠标单击“线段”。 ----7.重复5、6步我们可以把系数b、c构造出来。 ----8.选择工具栏里的“选择&平移”按钮,按住Shift键,鼠标单击度量值x、a、b、c(确保别的对象不处于选中状态),选择菜单栏里的“度量”,鼠标单击“计算…”,在出现的“计算器”窗口里,鼠标单击“数值”按钮,选择“a”,鼠标单击“*”号按钮,鼠标单击“数值”按钮,选择“x”,鼠标单击“^”号按钮,鼠标单击“2”按钮,鼠标单击“+”号按钮,鼠标单击“数值”按钮,选择“b”,鼠标单击“*”号按钮,鼠标单击“数值”按钮,选择“x”,鼠标单击“+”号按钮,鼠标单击“数值”按钮,选择“c”,最后按下确定按钮,得到一个新的度量值。 选择工具栏里的“标出文本&标签”工具,用鼠标双击刚刚得到的度量值,出现“度量值格式”窗口,将左面文本框内的“a*x^2+b*x+c=”改成“y=”,按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。 ----9.选择工具栏里的“选择&平移”工具,按住Shift键,鼠标单击度量值x、y(注意顺序),选择菜单栏里的“图表”,鼠标单击“绘出(x,y)”,这样构造出一个新的点(如果该点没有出现在屏幕上,可以通过改变C点、a点、b点、c点的位置使它可见),选择工具栏里的“标出文本&标签”工具,用鼠标单击刚构造出的点,将显示出它的标签(假设为“J”)。 按住Shift键,选中J点和C点,选择菜单栏里的“作图”,鼠标单击“轨迹”后,二次函数的图象便会出现在屏幕上,可以试着拖动a点、b点、c点,观察一下二次函数的图象的变化情况。 如果图象不是很光滑的话,你可以选择菜单栏里的“显示”,然后鼠标单击“参数设置”,在出现的“对象参数选择”窗口里,鼠标单击“其他…”按钮,出现“高级参数选择”窗口,设置“轨迹上的样点数目”为100(最大值为999。 值越大,图象越光滑,但计算机的速度将变慢),按下“高级参数选择”窗口里的“继续”按钮,再按下“对象参数选择”窗口里的“确定”按钮,然后再重新构造轨迹。 ----10.下面我们再把界面稍微美化一下,你可以把C点、J点隐藏掉,把D、F、H的标签也隐藏掉。 再选中二次函数的图象,单击鼠标右键,设置它的“线型”为“粗线”,“颜色”为“红色”。 最后你可以用一个画图软件(如Winxp带的“画图”)为你的几何画板程序设计一个标题和操作提示,用剪切板把它们贴到你的几何画板程序中去。 完成的课件如下图所示: Inthemoderntime,mainlyinsmallandmedium-sizedenterprises,Foshansteelindustryisthespeeddevelopmentbyleapsandbounds,andhavemaderemarkableachievementsinupstream,butalsofacefactorsofproductionsuchasenergy,rawmaterialcost,continuouslyhighindirectlyleadtocostpressuresinironandsteel
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