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西南四省名校届高三下学期第三次大联考理科数学试题含答案解析
西南四省名校2022届高三下学期第三次大联考理科数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知复数z在复平面内所对应点的坐标为
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知集合
,
,则
为( )
A.
B.
C.
D.
3.第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式.在冬奥会的志愿者选拔工作中,某高校承办了面试工作,面试成绩满分100分,现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的是(每组数据以区间的中点值为代表)( )
A.直方图中b的值为0.025
B.候选者面试成绩的中位数约为69.4
C.在被抽取的学生中,成绩在区间
之间的学生有30人
D.估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5分
4.像2,3,5,7这样只能被1和它自己整除的正整数称为素数(也称为质数),设x是正整数,用
表示不超过x的素数个数,事实上,数学家们已经证明,当x充分大时,
,则利用此公式求出不超过10000的素数约有(
)( )
A.1085个B.1025个C.980个D.860个
5.在△ABC中,
,b=6,下面使得三角形有两组解的a的值可以为( )
A.4B.
C.
D.
6.朱世杰是历史上伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五向中有如下一段话:
“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,”其大意为“官府陆续派遣1864人修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人”,则派出总人数为708人时,共用时( )
A.7天B.8天C.9天D.10天
7.已知
,则
( )
A.
B.
C.
D.
8.某四棱锥的三视图如图所示(实线部分),图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积为( )
A.
B.5C.2D.
9.在抛物线
上有三点A,B,C,F为其焦点,且
,则
( )
A.6B.8C.9D.12
10.一个6位数的密码,第1位的数字为8,其余5个位置,每个数字都小于3,并且5个数字之和小于等于3,则满足条件的密码个数为( )
A.49B.50C.51D.52
11.已知正方体
的棱长为3,动点M在侧面
上运动(包括边界),且
,则
与平面
所成角的正切值的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
,若
恒成立,则a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知点M在曲线
上,且曲线C在点M处的切线方程为
,则点M的坐标是______.
14.已知向量
,
,且
,则
______.
15.双曲线
的左,右焦点分别为
、
,过点
的直线l交双曲线的右支于A、B两点,且
,
,则双曲线的离心率为______.
16.已知函数
的部分图象如图所示,将函数
的图象向右平移
个单位长度,得到函数
的图象,若集合
,集合
,则
______.
三、解答题
17.某学校为提升学生身体素质,准备在学校开展羽毛球体育活动.为了了解学生对羽毛球的喜爱程度,从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查,得到以下数据:
喜欢羽毛球
不喜欢羽毛球
男生
80
40
女生
30
50
(1)判断是否有99.9%的把握认为喜欢羽毛球与性别有关;
(2)从不喜欢羽毛球的同学中采用分层抽样的方式从中抽取9名同学,从这9名同学中随机抽取5名同学,则至少有3名女生的概率为多少?
参考公式及数据:
,
.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18.已知数列
满足
,且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
,求数列
的前2n项的和
19.如图,四棱锥
中,底面ABCD是直角梯形,AD⊥DC,
,平面PCD⊥平面ABCD,平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:
l⊥平面PCD;
(2)已知
,
,平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为30°,点Q是l上一动点,当直线PB与平面QCD所成角的正弦值为
时,求DQ的长度.
20.已知椭圆
的离心率为
,左,右焦点分别为
,
,在椭圆E上任取一点P,
的周长为
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设点P关于原点的对称点为Q,过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点,求
的取值范围.
21.已知函数
.
(1)当
时,若
满足
,讨论函数
的单调性;
(2)当
时,若
恒成立,试比较a和1.5625的大小.
参考数据:
,
,
,
.
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
,(
为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)已知点
,直线l与曲线C交于A,B两点,求
的值.
23.设函数
.
(1)求不等式
的解集;
(2)当
,若
恒成立,求
的最小值.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
先求得
,然后求得
,由此求得
.
【详解】
因为复数z在复平面内所对应的点为
,
所以
,故
,故
.
故选:
A
2.B
【解析】
【分析】
解不等式求得集合
,由此求得
.
【详解】
.
所以
,
由于
,
所以
.
故选:
B
3.C
【解析】
【分析】
利用频率之和为
求得
,由此判断A选项的正确性,根据中位数、平均数的求法判断BD选项的正确性,通过计算成绩在区间
之间的频数来判断C选项的正确性.
【详解】
对于A,∵
,∴
,故A正确;
对于B,设候选者面试成绩的中位数为x,则
,解得
,故B正确;
对于C,成绩在区间
的频率为
,故人数有
,故C错误;
对于D,
,故D正确.
故选:
C
4.A
【解析】
【分析】
根据
进行计算,从而确定正确选项.
【详解】
由题知:
.
故选:
A
5.C
【解析】
【分析】
由正弦定理即可求解.
【详解】
解:
由题意,根据正弦定理有
,所以
,
要使三角形有两组解,则
,且
,即
,
所以
,
所以a的值可以为
.
故选:
C.
6.B
【解析】
【分析】
根据已知条件可知每天派出的人数构成一个等差数列
,
利用等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】
由题意可知,每天派出的人数构成一个等差数列
,
其中首项
,公差
,
记数列
的前n项和为
,则
,
当
时,解得
.
故选:
B.
7.D
【解析】
【分析】
根据已知条件,求出
,利用正弦的二倍角公式及平方关系,
结合齐次式即可求解.
【详解】
由
,得
,
.
故选:
D.
8.C
【解析】
【分析】
根据三视图还原原图,结合锥体体积计算公式求得几何体的体积.
【详解】
根据三视图,还原后的图形如图所示,
,
,
,
,
平面ABCD,
,
.
故选:
C
9.D
【解析】
【分析】
设出
的坐标,根据
列方程,化简求得
,结合抛物线的定义求得
.
【详解】
依题意
.
设
,
,
,
,
,
,
,又
,故
,
∴
,∴
.
故选:
D
10.C
【解析】
【分析】
结合数字的限制条件进行分类讨论,由此求得满足条件的密码个数.
【详解】
其余5个数在0,1,2三个数中任取一个,要5个数字和小于等于3,则有以下情况:
五个0;四个0,一个1或2;三个0,两个1或一个1一个2;两个0,三个1.
总数为
.
故选:
C
11.B
【解析】
【分析】
找到点M在平面
的投影为点N,在平面平面
上,建立平面直角坐标系,求出点N的轨迹方程,进而数形结合求出
,从而求出答案.
【详解】
设点M在平面
的投影为点N,则
,所求线面角为
,则
,因为
,所以
,在平面
上,以A为坐标原点,AD为x轴,
为y轴建立平面直角坐标系,
则
,
,设
,
,化简得:
,
,故点N的轨迹为以
为圆心,半径为2的且位于第一象限的圆弧ST,如图所示,连接
,与圆弧ST相交于点
,此时
取得最小值,由勾股定理得:
,所以
,当点N与S重合时,
取得最大值,由勾股定理得:
,
则
,
.
故选:
B.
【点睛】
立体几何中轨迹问题,建立合适的坐标系,求出轨迹方程是解决问题的重要方法,将几何问题代数化,数形结合解决问题.
12.D
【解析】
【分析】
根据已知条件得出
在
时恒成立,利用
同构及不等式
当且仅当
时等号成立即可求解.
【详解】
由
,在
时恒成立,
所以有
在
时恒成立,
,
设
,则
令
,即
,解得
.
当
时,
;
当
时,
;
所以
在
上单调递增,在
上单调递减;
,即
当且仅当
时等号成立,
因为
,所以
,
,
,
因为
,∴
,
又
,
当且仅当
,即
时取等号,
,使得
,所以
,
即
,解得
.
所以a的取值范围为
故选:
D.
【点睛】
解决恒成立的关键是分离参数,进而转化为求函数的最值问题,而本题
可以同构然后利用不等式
当且仅当
时等号成立求解.
13.
【解析】
【分析】
根据切线的斜率求得切点的横坐标,进而求得切点的纵坐标,从而求得切点坐标.
【详解】
设
,
,
,即
,解得
,
代入切线方程得:
,
,故
.
故答案为:
14.2
【解析】
【分析】
利用向量垂直列方程,化简求得
的值.
【详解】
∵
,
,
∴
,
∵
,
∴
,
解得
.
故答案为:
15.
##
【解析】
【分析】
设出双曲线的焦距,利用双曲线定义结合三角形余弦定理列式计算作答.
【详解】
令
,则
,依题意,
,
,
等腰
中,
,而
,
在
中,由余弦定理
得:
,整理得:
,
即
,而
,解得
,
所以双曲线的离心率为
.
故答案为:
16.
【解析】
【分析】
根据图像求出g(x)的解析式,再求出f(x)解析式,求出A集合,根据集合交集运算法则计算即可.
【详解】
由图可知
周期
,∴
.
由
得
,∴
,
,
∵
,∴k取0,
,
∴
,
∴
,
∴
.
∴
,
,
∴
,∴
.
故答案为:
﹒
17.
(1)有;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)计算
与表中数据比较即可求解;
(2)采用古典概型概率计算方法计算即可.
(1)
.
∴有99.9%的把握认为喜欢羽毛球与性别有关.
(2)
不喜欢羽毛球的同学中男女生比例为4:
5,
∴按照分层抽样方式抽取的男生有4人,女生有5人,
再从这9人中随机抽取5名学生,则至少有3名女生的概率为
.
18.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用累乘法求得数列
的通项公式;
(2)利用分组求和法求得
.
(1)
∵
,
,
,∴
,
∴
,
∴
,
,
,…,
,
将上述式子左右分别相乘得
,
∴
.
∵
满足上式,
∴
.
(2)
∵
,令
,
,
的前
项和为
,
的前
项和为
,
∴
,
,
∴
.
19.
(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)由面面垂直证明线面垂直,由线面平行的性质得到线线平行,进而证明出线面垂直;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解
(1)
∵
,平面
平面ABCD,且平面
平面
,
∴
平面PDC,
∵
,
平面PBC,
平面PBC,
∴
平面PBC,
∵平面
平面
,
平面PAD,∴
,
∴
平面PDC.
(2)
由
(1)知,
,
,且∠DPC为锐角,
∴∠DPC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角,即∠DPC=30°,
又∵PD=DC=2,∴∠PDC=120°,
由
(1)知
平面PDC,如图所示,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,在平面PDC内,与DC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系
,
∴
,∵
,∴
,
,
,
,
设
,∴
,
,
,
设平面
的法向量为
,
则有
,∴
,取
,则
,∴
,
设PB与平面QCD所成角为
,
∴
,
解得
,所以
.
20.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件求得
,由此求得椭圆E的标准方程;
(2)利用弦长公式求得
、
,结合二次函数的性质来求得
的取值范围.
(1)
由
的周长为
,得
,即
.①
又
.②
由①②解得:
,
.所以
.
故椭圆E的方程为
.
(2)
设
,
,
,
,
当直线AB的斜率为0时,得:
,
,
,
当直线AB的斜率不为0时,设直线
,直线
,
联立直线AB和椭圆E的方程,并消去x整理得:
,
,
由韦达定理得:
,
,
,
联立直线PQ和椭圆E的方程,并消去y整理得:
,
由韦达定理得:
,
,
,
所以
.
令
,则
,
综上,
的取值范围为
.
21.
(1)
时
单调递减;
时,
单调递增
(2)
【解析】
【分析】
(1)首先判断
在
上递增,由此得到
是
在
上的唯一零点,从而求得
的单调区间.
(2)当
时,由不等式
分离常数
,通过构造函数法,结合导数求得
.
(1)
,
因为
,所以
与
均单调递增,从而
是
上的增函数,又
满足
,
所以
是
在
上的唯一零点,
当
时,
,
单调递减;
当
时,
,
单调递增.
(2)
,
当
时,原不等式可转化为
,
令
,则
,
令
,则
,
当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,
∴
,又
,
由于
,
,
所以
在
上存在唯一零点
,
故当
时,
,
单调递减;
当
时,
,
单调递增.
故
,又
,即
,
∴
,
由于
,即
.
【点睛】
利用导数研究函数的单调区间、极值、最值,当求导一次无法解决问题时,可考虑利用二次求导来进行求解.
22.
(1)曲线C的普通方程为
,直线l的直角坐标方程为
.
(2)
【解析】
【分析】
(1)消去参数得到普通方程,利用公式将极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)写出符合要求的直线参数方程,利用t的几何意义求解答案.
(1)
已知曲线
(
为参数),则曲线C的普通方程为
.
直线l的极坐标方程为
,则直线l的直角坐标方程为
.
(2)
由于
在直线l上,可设直线l的参数方程的标准形式为
(t为参数),
代入曲线C:
,化简得:
,
,
设A,B对应的参数分别为
,
,则
,
,
由于
,故
,
所以
23.
(1)
(2)9
【解析】
【分析】
(1)利用零点分段法来求得不等式
的解集.
(2)画出
的图象,结合图象以及
恒成立求得
的最小值.
(1)
原不等式
,即为
,
当
时,
,解得:
,即
当
时,
,解得:
,即
,
当
时,
,解得
,即
,
综上所述,不等式
的解集为
.
(2)
,
函数
的图象如图所示,
由函数
的图象知各部分所在直线的斜率的最大值为4,且过点
,
故当且仅当
且
时,
在
恒成立,
因此
,当
,
时取等号.故
的最小值为9.
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