最新范文高一数学知识点总结集合(共5页)3100字.docx
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高一数学知识点总结集合
XX高一数学集合知识点总结
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):
某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:
①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?
a和a?
a,二者必居其一)、互异性(若a?
a,b?
a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:
凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:
常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:
有限集,无限集,空集。
4)常用数集:
n,z,q,r,n*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:
若对x∈a都有x∈b,则ab(或ab);
2)真子集:
ab且存在x0∈b但x0a;记为ab(或,且)
3)交集:
a∩b={x|x∈a且x∈b}
4)并集:
a∪b={x|x∈a或x∈b}
5)补集:
cua={x|xa但x∈u}
注意:
①?
a,若a≠?
,则?
a;
②若,,则;
③若且,则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:
(1)与、?
的区别;
(2)与的区别;(3)与的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=aab;②a∪b=bab;③abcuacub;
④a∩cub=空集cuab;⑤cua∪b=iab。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a,a∩?
=?
,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪?
=a,a∪b=b∪a;
③cu(a∪b)=cua∩cub,cu(a∩b)=cua∪cub;
6.有限子集的个数:
设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
【例1】已知集合m={x|x=m+,m∈z},n={x|x=,n∈z},p={x|x=,p∈z},则m,n,p满足关系
a)m=npb)mn=pc)mnpd)npm
分析一:
从判断元素**区别入手。
解答一:
对于集合m:
{x|x=,m∈z};对于集合n:
{x|x=,n∈z}
对于集合p:
{x|x=,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以mn=p,故选b。
分析二:
简单列举集合中的元素。
解答二:
m={…,,…},n={…,,,,…},p={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
=∈n,∈n,∴mn,又=m,∴mn,
=p,∴np又∈n,∴pn,故p=n,所以选b。
点评:
由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:
设集合,,则(b)
a.m=nb.mnc.nmd.
解:
当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b
【例2】定义集合a*b={x|x∈a且xb},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a*b的子集个数为
a)1b)2c)3d)4
分析:
确定集合a*b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:
集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:
∵a*b={x|x∈a且xb},∴a*b={1,7},有两个元素,故a*b的子集共有22个。
选d。
变式1:
已知非空集合m{1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?
a∈m,那么集合m的个数为
a)5个b)6个c)7个d)8个
变式2:
已知{a,b}a{a,b,c,d,e},求集合a.
解:
由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.
【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?
4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?
2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:
∵a∩b={1}∴1∈b∴12?
4×1+r=0,r=3.
∴b={x|x2?
4x+r=0}={1,3},∵a∪b={?
2,1,3},?
2b,∴?
2∈a
∵a∩b={1}∴1∈a∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,
∴∴
变式:
已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.
解:
∵a∩b={2}∴1∈b∴22+m?
2+6=0,m=-5
∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵a∪b=b∴
又∵a∩b={2}∴a={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足:
a∪b={x|x>-2},且a∩b={x|1
分析:
先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。
解答:
a={x|-21}。
由a∩b={x|1-2}可知[-1,1]b,而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}
变式1:
若a={x|x3+2x2-8x>0},b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4},a∩b=φ,求a,b。
(答案:
a=-2,b=0)
点评:
在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:
设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。
解答:
m={-1,3},∵m∩n=n,∴nm
①当时,ax-1=0无解,∴a=0②
综①②得:
所求集合为{-1,0,}
【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。
分析:
先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解,再利用参数分离求解。
解答:
(1)若,在内有有解
令当时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:
若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:
解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
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