高考理科数学解析几何题型与方法.docx
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高考理科数学解析几何题型与方法
专题五:
高考理科数学解析几何题型与方法(理科)
一、考点回顾
1.直线
(1).直线的倾斜角和斜率
直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存
在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为x=a(a€R)•因此,
利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率
k存在与否,
要分别考虑
(2).直线的方程
a.点斜式:
y
y1
k(x
%);
b.截距式:
y
kxb;
C.两点式:
y
y1
x
d.截距式:
x
丄1;
b
y2
y1
X2
;
X1
a
e.一般式:
Ax
By
C
0,其中
1A、B不同时为
0.
(3)•两直线的位置关系
两条直线h,I2有三种位置关系:
平行(没有公共点);相交(有且只有一个公共点);重
合(有无数个公共点)•在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交
设直线11:
yn&x+d,直线丨2:
y=k2x+b2,贝U
h//丨2的充要条件是,且db2;li丄丨2的充要条件是k!
k2=-1.
(4).简单的线性规划.
a.线性规划问题涉及如下概念:
1存在一定的限制条件,这些约束条件如果由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等
式组来表示,称为线性约束条件.
2都有一个目标要求,就是要求依赖于x、y的某个函数(称为目标函数)达到最大值或
最小值.特殊地,若此函数是x、y的一次解析式,就称为线性目标函数.
3求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.
4满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
5所有可行解组成的集合,叫做可行域
6使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解
b.线性规划问题有以下基本定理:
1一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形
2凸多边形的顶点个数是有限的•
3对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到
C.线性规划问题一般用图解法•
2.圆
(1).圆的定义:
平面内到定点等于定长的点的集合(或轨迹)。
(2).圆的方程
a.圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2(r>0),称为圆的标准方程,
其圆心坐标为(a,b),半径为r.
特别地,当圆心在原点(0,0),半径为r时,圆的方程为x2y2r2.
b.圆的一般方程
x2y2DxEy
F
0(D2E2
4F>0)称为圆的一般方程,
其圆心坐标为(D,
E
E),半径为r
1D2
E24F.
2
2
2
当D2E24F=0
时,
方程表示一个点(
D
E
);
2
2
当D2E24Fv0时,方程不表示任何图形
c.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:
x
rcos
y
rsin
x22
x
a
b)r
y
b
222
xyr
(xa)2(y
(3).直线与圆
3.圆锥曲线
(1).椭圆
(B为参数)
rcos
(B为参数)
rsin
a.定义
定义1:
平面内一个动点到两个定点Fi、F2的距离之和等于常数(大于|FiF2|),这个
动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).
定义2:
点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常
c
数e=(0vev1)时,这个点的轨迹是椭圆.
a
b.图形和标准方程
y
is
Bi
0
K
一一"
Ei
豳-1
Ai
2y
2a
=1(a>b>0)
图8-1的标准方程为:
图8-2的标准方程为:
22
xy
2+2=1(a>b>0)
ab
c.几何性质
条件
{M|MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
_|MF1|IMF2I厂…
{M|点M到h的距离=点M到l2的距离=e,0VeV1}
标准方程
22
务与1(a>b>0)
ab
22
笃马1(a>b>0)
ba
顶点
A"—a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,—a),A2(0,a)
B1(—b,0),B2(b,0)
轴
对称轴:
x轴,y轴.长轴长£恠2|=2玄,短轴长|B1B2|=2b
焦占
八'、八、、
F1(—c,0),F2(c,0)
F1(0,—c),F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c(c>0),c2=a2—b2
离心率
c
e=二(0vev1)
a
准线方程
22aa
I1:
x—;12:
x—
cc
aa
I1:
y——;I2:
y——
cc
焦点半径
|MF1|—a+ex0,|MF2|—a—ex0
|MF1|—a+ey0,IMF2I—a—eyo
点和椭圆的关系
>外
22
耸1(X0,y°)在椭圆上
a2b2
v内
切线方程
(k为切线斜率22
y—kx±Uakb
(k为切线斜率)2,2y—kx±Vbka
x0xyoy—
2+.2—1ab
(x0,y0)为切点
xoxyoy—
.2+2—1ba
(x0,y0)为切点
切点弦方程
(x0,y0)在椭圆外
X0X丄y°y
2+u2—1
ab
(x0,y0)在椭圆外
xox丄y°y4u2+2—1ba
弦长公式
lx2xh1+k或Ay?
屮+
其中(x1,y1),(x2,y2)为割弦端点坐标,k为割弦所在直线的斜率
d.常用结论
2
x
①过椭圆—
a
b2
1的焦点的弦AB长的最大值为
2a,(长轴);最小值为
2b2
a
(过焦点垂
直长轴的弦)
2
②设椭圆
a
2
&1的两焦点分别为F1^2,P为椭圆任意一点,当/F1PF2最大时,
P为短轴端点
③椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c;椭圆上的点到焦点的最长距离为a+c
⑵双曲线
a.定义
定义1:
平面内与两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|FiF2|)的点的
轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)•
e(e>1)时,这
定义2:
动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数
个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)•
图8—3的标准方程为:
2x~~2a
2
与=1(a>0,b>0)
b
图8—4的标准方程为:
22
£—务=1(a>0,b>0)ab
c.几何性质
条件
P={M|MF1|-|MF2|=2a,a>0,2av|F1F2|}.
P{MI|MFi|IMF2I>
P{M|点m到J的距离点M到l2的距离e,}.
标准方程
22
X2—y2=1(a>0,b>0)ab
22
y2—x2=1(a>0,b>0)ab
顶点
A1(—a,0),A2(a,0)
A1(0,—a),a2(0,a)
轴
对称轴:
x轴,y轴,实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b
焦占
八'、八\、
F1(—c,0),F2(c,0)
F1(0,—c),F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c(c>0),c2=a2+b2
离心率
c
e=—(e>1)
a
准线方程
22
aa
l1:
X;l2:
X=—
cc
22
aa
I1:
y=—;I2:
y=^―
cc
渐近线方程
y=±x(或x2—y2=0)aa2b2
22
y=±^x(或爲—笃=0)
ba2b2
共渐近线的双曲线系方程
22
X2—y2=k(k工0)
a2b2
22
y2—x2=k(k工0)
a2b2
焦点半径
|MF11=exg+a,[MF?
]二ex0—夕,2
|MF11=ey0+a,
ImF21=丄巧0-—-a2
切线方程
(k为切线斜率)
b亠b
k>—或kv——x^xaynYa
y—kx工屮bka
(k为切线斜率)
a亠a
k>—或kv
YnybVxb
‘wy0y—a
2.2
ab
((x0,y0)为切点
0,八0八―1
2.2ab
((x0,y0)为切点
xy=a2的切线方程:
_Y°x=a2((x0,y0)为切点
2
切点弦方程
(Xo,yo)在双曲线外
X0Xy°y=
2.21
ab
(Xo,yo)在双曲线外
y0yX0X=
2.21
ab
弦长公式
|X2—X1^1+k2或|y1—『2|J〔+右
其中(X1,y1),(x2,y2)为割弦端点坐标,k为
割弦所在直线的斜率
d.常用结论
2b
(A,B在同
支上且过焦点垂直实轴的弦
0)的渐近线方程为
b2
),最小值为
22
Xy
1过双曲线—牙1的焦点的弦AB长的最小值为2a(A,B分别在两支上
ab
③双曲线上的点到焦点的最短距离为c-a
(3).抛物线
a.定义
平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点做抛物线的焦点,定直线I叫做抛物线的准线.
b•抛物线的标准方程,类型及几何性质,见下表:
||
1抛物线的标准方程有以下特点:
都以原点为顶点,以一条坐标轴为对称轴;方程不同,开口方向不同;焦点在对称轴上,顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离.
2p的几何意义:
焦点F到准线I的距离.
③弦长公式:
设直线为y=kx+b抛物线为y2=2px,|AB|=、、1k2
|X2-xii=.,1\>Iy2-yil
\k
焦点弦长公式:
|AB|=p+X1+X2
c.常用结论
1过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
2
2
y1y2=-p2
IAB恒过
设A(X1,y),1B(X2,y2)是抛物线y2=2px上的两点,则AB过F的充要条件是
3设A,B是抛物线y2=2px上的两点,0为原点,则0A丄OB的充要条件是直定点(2p,0)
(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点
叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用
e表示,当0vev1时,是椭圆,当
e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线.
4.直线与圆锥曲线的位置关系:
(在这里我们把圆包括进来)
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a.直线与圆:
一般用点到直线的距离跟圆的半径相比
b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离
c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
(2)a求弦所在的直线方程
b.根据其它条件求圆锥曲线方程
(3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的直
线方程
(4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是
圆锥曲线上否存在两点关于直线对称)
5•二次曲线在高考中的应用
二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。
通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。
(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。
(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。
(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。
6.知识网络
曲线与方程—
直线
—直线的倾斜角和斜率
—直线方程的基本形式
—点和直线的位置关系
—两条直线的位置关系
L简单的线性规划
'—点斜式-一两点式
1—一般式在线上
在线外点到直线的距离
—重合丰士
—_平行—垂直
—相交父点
夹角
二元一次不等式表示平面区域线性规划
线性规划的实际应用
—圆的疋乂_标准式
-圆的方程
-一般式
匚参数式
_直线与圆的位置关系
厂位置关系
交点
厂相交I弦长
--相切圆的切线
丄相等
判定方法:
圆心到直线的距离d与半径R的比较
工外切、相交、内切、内含
圆锥曲线一一椭圆、曲线、直线一定义一标准方程
—性质:
对称性、焦点、顶点、
离率、准线、焦半径等
』线与圆锥曲线的位置关系
二、经典例题剖析
(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析,要求例题不得少于8个)
考点一曲线(轨迹)方程的求法
常见的求轨迹方程的方法:
(1)单动点的轨迹问题一一直接法(五步曲)+待定系数法(定义法);
(2)双动点的轨迹问题——代入法;
(3)多动点的轨迹问题——参数法+交轨法。
1.(哈九中)
22
VX设A(Xi,Vi),B(X2,V2)是椭圆一22
xb
1(ab0)上的两点,
满足(生,吐)(生,里)0,椭圆的离心率e
baba
2短轴长为2,
2
0为坐标原点
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;
(3)试问:
△AOB的面积是否为定值?
如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
解析:
本例
(1)通过e
2,及a,b,c之间的关系可得椭圆的方程;
2)从方
程入手,通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理;(3)要注意特殊与一般的
关系,分直线的斜率存在与不存在讨论。
答案:
(1)2b2.b
1,e
a2b2
2
椭圆的方程为乞
4
x2
(2)设AB的方程为
kx
y
由2
由y_
4
kx
、3
由已知
X1X2
T~
yy
a
(k2
X1X2
4)x22.3kx
1
4(kX1
0x1
X2
23k
k
X1X2
1
k2
3)(kx2
3)
(1
k2
)X1X2
4
X2)
k2
4
4(
k24
23kk24
4,解得k
(3)当
A为顶点时,
B必为顶点.S△aob=1
B不为顶点时,设AB的方程为y=kX+b
y
2
y
4
kXb
(k24)x22kbxb24
0得到x1
X2
2kb
x1x2
$
k24
X1X2
(kx1b)(kx2b)
X1X2■
0代入整理得
2b2
k2
112—
2|b||X1X212|b|(X1X2)4X1X21
|b|、4k24b216
k24
4k2
2|b|
所以三角形的面积为定值
点评:
本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质,二次方程的根与系数的关系、解析几何的基
本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。
2.(湖北省^一校)在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内
uuuuuuuuurruuuuuuuuuuuuuuuuu
两点G、M同时满足①GAGBGC0,②|MA|=|MB|=|MC|③GM//AB
(1)求顶点C的轨迹E的方程
_uuuruuuuuur
(2)设P、Q、R、N都在曲线E上,定点F的坐标为(2,0),已知PF//FQ,rf
uuuruuuuuur
//FN且PF•RF=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值•
解析:
本例(
1)要熟悉用向量的方式表达点特征;
(2)
要把握好直线与椭圆的位置关系,
弦长公式,灵活的运算技巧是解决好本题的关键。
uuv
答案:
(1)设C(x,y),QGA
uuvuuuvuuv
GB2GO,由①知GC
uuuv
2GO,G为
△ABC的重心,
由②知M是厶ABC的外心,M在x轴上
由③知M
uuuu
由|MC|
uuur
|MA|
得"3)21
(x3)2
化简整理得:
x2
y21
(x丰0)。
(2)F(、、2,0
)恰为
x2
1的右焦点
设PQ的斜率为kz0且
心土辺,则直线PQ的方程为y=k(x-2)
2
由yk(x
x23y230
(3k21)x26.2k2x6k230
设P(X1,y1),Q(X2,y2)
贝VX1+X2=
6、2k2
3k21
6k23
X1•X2=2
3k21
则|PQ|=1k2•.、(为x2)24x^2
=,1k2
Q.2k2、2/6k23
'■(3k21)43k21
2、3(k21)
3k21
QRN丄PQ,把k换成
1得|RN|=23(k21)
k
3k2
|RN|
6(k2(3k2
1)2
1)(k23)
=2
-tV-)
3(k评10
3(k2右)
Qk2丄>2
k2
3
wS<2
2
又当k不存在或
10
8
8
F~S
±1时取等号)
Smax=2
Smin
点评:
本题考查了向量的有关知识,椭圆与直线的基本关系,二次方程的根与系数的关系及不等式,转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。
考点二圆锥曲线的几何性质
22
3.(2006年安徽省高考题)如图,F为双曲线C:
-y21a0,b0的右焦点P为双
ab
已知四边形OFPM
曲线C右支上一点,且位于X轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点
为平行四边形,PFOF
(I)写出双曲线C的离心率e与的关系式;
(n)当1时,经过焦点F且品行于op的直线交双曲线于
点,若AB12,求此时的双曲线方程o
分析:
圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。
注意灵活应用第二定义。
解:
•••四边形OFPM是Y,•••|OF||PM|c,作双曲线的右准线交PM于H,则
|PM||PH|
2
a
2,又ec
|PF|
两
|OF|
2
c2—
c
2
cc
2"~
c20_c2a
c
2
e2
2,e
e2
(□)当
1时,e
2a,b2
2
x
3a2,双曲线为2
4a3a
2
y21四边形
OFPM是
菱形,所以直线
OP的斜率为■,3,则直线AB的方程为y
3(x2a),代入到双曲线方程得:
9x2
48ax
60a20,
又AB
12,由AB
/.,(为X2)24%X2得:
122(48a)2460a,解得
Y99
9,则
4
227
b忆,所以
2
271为所求
4
点评:
本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。
2x(2006年湖北省高考题)设代B分别为椭圆—
a
2yb2
1(a,b0)的左、右顶点,椭圆长半
轴的长等于焦距,且x4为它的右准线
([)、求椭圆的方程;
(n)、设P为右准线上不同于点(4,o)的任意一点,
若直线AP,BP分别与椭圆相交于异
于A,B的点M、N,证明:
点B在以MN为直径的圆内
分析:
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识
进行推理运算的能力和解决问题的能力
解:
2
(I)依题意得a—2c,—4,解得a—2,c—1,从而b—.3
c
22
故椭圆的方程为—厶1
43
(n)解法1:
由(I)得A(-2,0),B(2,0)
设M(X0,y°)
3
TM点在椭圆上,二y°=(4—Xo2)①
4
又点M异于顶点A、B,.・.一2 P(4,-6y^) Xo2 UULW 从而BM=(xo—2,yo), uu BP=(2, 6yo Xo2 uuuu •••BM uu BP=2xo—4+ 2 6y。 Xo2 (Xo2—4+3yo2) Xo2 uuuuuuu5 将①代入②,化简得 BM•BP=-(2—Xo) 2 uuuuuun •••2—Xo>o,•BM•BP>o,则/MBP为锐角,从而/MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内解法2: 由(I)得A(—2,o),B(2,o)设M(Xi,yi),N(X2,y2), 则一2 22 依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差 2i2捲x2c、2/y1y2、212,2 BQMN= (2)+()[(Xi—X2)2+(yi—y2)2] 4 22 4 =(xi—2)(X2—2)+yiyi ◎ 又直线AP的方程为y=2),直线BP的方程为y=」^(x2), Xi2x22 6yi6y2 即y2=(X2 2)yi xi2x22 Xi 2
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