最新人教版八年级数学上册全等三角形的判定ASAAAS学案.docx
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最新人教版八年级数学上册全等三角形的判定ASAAAS学案
新人教版八年级数学上册全等三角形的判定(ASA,AAS)学案
一、学习目标
1.掌握三角形全等的判定定理“角边角”与“角角边”,并能用数学符号语言表示这两个判定定理;
2.能利用这两个定理判定两个三角形全等,并能利用这两个定理进行简单的推理与计算.;
3.会选择合适的判定定理证明三角形全等.
二、知识回顾
我们已经学了哪几种判定三角形全等的方法?
请写出来:
SSS:
三边对应相等的两个三角形全等.
SAS:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
三、新知讲解
1.ASA
两角和它们的夹边 分别相等的两个三角形全等,简称角边角或ASA.
▲如下图,已知∠D=∠E,AD=AE,∠1=∠2.
求证:
△ABD≌△ACE.
证明:
∵∠1=∠2( 已知 )
∴∠1+ ∠CAD =∠2+ ∠CAD ( 相等的角加同一个角仍相等 )
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∠D=∠E( 已知 )
AD=AE( 已知 )
∠BAD=∠CAE (等量相加)
∴△ABD≌△ACE( ASA ).
2.AAS
两个角和其中一个角的对边 分别相等的两个三角形全等,简称角角边或AAS.
▲如图:
D在AB上,E在AC上,DC=EB,∠C=∠B.
求证:
△ACD≌△ABE.
证明:
在△ACD和△ABE中.
∠C=∠B (已知)
∠A=∠A( 公共角 )
DC=EB( 已知 )
∴△ACD≌△ABE( AAS ).
四、典例探究
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1.先用ASA证全等,再证边角相等
【例1】如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
BO=DO.
总结:
全等三角形的对应边相等,对应角相等,所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.
练1如图所示,在△ABC中,点O为AB的中点,AD∥BC,过点O的直线分别交AD,BC于点D,E,求证:
OD=OE.
2.先用AAS证全等,再证边角相等
【例2】如图所示,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:
AC=AD.
总结:
1.由“ASA”与“AAS”可知,两个三角形如果有两个角及任意一边对应相等,那么这两个三角形相等.
2.注意不用混淆“ASA”和“AAS”,“ASA”是两角及夹边对应相等,“AAS”是两角及一对边对应相等.
练2如图所示,C,F在BE上,∠A=∠D,AC∥DF,BF=EC.求证:
AB=DE.
3.灵活选用证明方法证(判断)全等
【例3】如图所示,已知∠B=∠DEF,BC=EF,要证△ABC≌△DEF,若要以“ASA”为依据,还缺条件_________;以“SAS”为依据,还缺条件_________;以“AAS”为依据,还缺条件_________.
总结:
1.到目前为止,我们学习了4种证明三角形全等的方法,分别是“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”.注意:
三角形全等的判定方法中不存在“角边边”“角角角”.
2.“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”这四种判断方法中,都要求有一组边对应相等.
3.在寻求全等条件时,要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线,以及平行线中包含的角的关系,垂直中包含的角的关系,以便顺利求解.
练3如图所示,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是().
A.AD=AEB.∠AEB=∠ADC
C.BE=CDD.AB=AC
五、课后小测
一、选择题
1.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,点D为BC中点,由点D分别向AB,AC作垂线段,则能够直接说明△BDE≌△CDF的理由是().
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
2.如图所示,已知∠A=∠D,∠1=∠2,若要使△ABC≌△DEF,还应给出的条件是().
A.∠B=∠EB.BC=EDC.AB=EFD.AF=CD
3.(2009年江苏)如图,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有().
A.1组B.2组C.3组D.4组
二、填空题
4.如图所示,AB∥CD,OB=OD,则由“ASA”可以直接判定△______≌△___________.
5.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是___________.
三、解答题
6.(2009年武汉市)如图所示,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:
△ABC≌△DEF.
7.如图所示,已知∠B=∠E,∠BAD=∠EAC,AC=AD,求证:
AB=AE.
8.如图所示,BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分别为点F,E,BF=DE,∠B=∠D,求证:
AE=CF.
9.如图,将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC,再过点O任意画一条与AC,BD都相交的直线MN,交点分别为M和N.试问:
线段OM=ON成立吗?
若成立,请进行证明;若不成立,请说明理由.
10.如图所示,直角三角形ABC的直角顶点C置于直线
上,AC=BC,现过A,B两点分别作直线
的垂线,垂足分别为点D,E.
图10
(1)请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明过程;
(2)若BE=3,DE=5,求AD的长.
典例探究答案:
【例1】【解析】先用“ASA”证明△ABC≌△ADC,得出AB=AD,再用“SAS”证明△ABO≌△ADO,可得出结论.
证明:
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(ASA).
∴AB=AD.
在△ABO与△ADO中,
△ACO≌△ADO(SAS).
∴BO=DO.
练1.【解析】∵点O为AB的中点,∴AO=BO.
∵AD∥BC,∴∠ADO=∠BEO,∠DAO=∠EBO.
在△AOD与△BOE中,
∴△AOD≌△BOE(AAS).
∴OD=OE.
【例2】【解析】先利用AAS证明两三角形全等,再根据全等三角形的性质得出AC=AD.
证明:
在△ACB与△ADB中,
∴△ACB≌△ADB(AAS).
∴AC=AD.
练2.【解析】先利用平行证明角相等,再用等量相减的思想证明BC=EF,应用AAS可得△ABC≌△DEF,进而得出结论.
证明:
∵AC∥DF,
∴∠ACE=∠DFB.
又∵∠ACE+∠ACB=180°,∠DFB+∠DFE=180°,
∴∠ACB=∠DFE.
又BF=EC,∴BF-CF=EC-CF,即BC=EF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴AB=DE.
【例3】【解析】已知一组角和一组边相等,要依据“ASA”证全等就要求夹已知边的另一组角相等,故填∠ACB=∠DFE;要依据“SAS”证全等就要求夹已知角的另一组边相等,故填AB=DE;要依据“AAS”证全等就要求另一组角相等,故填∠A=∠D.
答案:
∠ACB=∠DFE;AB=DE;∠A=∠D.
练3.【解析】选择A中的AD=AE,加上已知条件,可根据AAS证明△ABE≌△ACD;
选项B中给出∠AEB=∠ADC,加上已知条件,可得三对角相等,但三对角相等的三角形不一定全等;
选项C中的BE=CD,加上已知条件,可根据AAS证明△ABE≌△ACD;
选项D中的AB=AC,加上已知条件,可根据ASA证明△ABE≌△ACD;
故选:
B.
课后小测答案:
一、选择题
1.【解析】已知两角和其中一角的对边相等,故用AAS可证全等;
故选:
D.
2.已知两个角对应相等,只要再有任意一边对应相等即可;
故选:
D.
3.①满足SSS,可证全等;②满足SAS,可证全等;③满足ASA,可证全等;④是两边和其中一边的对角对应相等,两三角形不一定全等.
故选:
C.
二、填空题
4.AOB,COD.
5.【解析】∵∠AHE=∠CHD,利用和等角互余的两个角相等,
∴∠EAH=∠ECB
又∵∠AEH=∠CEB=90°
EH=EB
∴△AEH≌△CEB(AAS)
∴CE=AE=4,,EH=3,
∴CH=4-3=1
答案:
1
三、解答题
6.【解析】利用平行线,可得两同位角相等,再利用等量相加得BC=EF,即可证两三角形全等.
证明:
∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,
∴BC=EF.
在△ABC与△DEF中,
∠B=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠F,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
7.【解析】先证全等,再利用三角形的性质得出结论.
证明∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD.
∴∠BAC=∠EAD,
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(AAS).
∴AB=AE.
8.【解析】∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°.
在△BFA与△DEC中,
∴△BFA≌△DEC(ASA).
∴AF=CE.
∴AF+EF=CE+EF.
∴AE=CF.
9.【解析】OM=ON成立.理由是:
∵△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC,
∴△BOD≌△AOC.
∴∠A=∠B,AO=BO.
又∵∠AOM=∠BON,
∴△AOM≌△BON(ASA).
∴OM=ON.
10.【解析】
(1)△ACD≌△CBE,
证明:
∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°.
又∵AD⊥
,∴∠CAD+∠ACD=90°.
∴∠BCE=∠CAD.
∵BE⊥
,∴∠ADC=∠CEB=90°.
在△ACD与△CBE中,
∠CAD=∠BCE,∠ADC=∠CEB,AC=CB,
∴△ACD≌△CBE(AAS).
(2)由
(1)可知△ACD≌△CBE,
∴AD=CE,CD=BE,
∴AD=CE=CD+DE=BE+DE=3+5=8.
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- 新人 八年 级数 上册 全等 三角形 判定 ASAAAS