第四章46正弦定理和余弦定理.docx
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第四章46正弦定理和余弦定理
§4.6 正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识.题型多样,中档难度.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)===2R
(2)a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC
变形
(3)a=2RsinA,b=2RsinB,
c=2RsinC;
(4)sinA=,sinB=,sinC=;
(5)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
(6)asinB=bsinA,
bsinC=csinB,
asinC=csinA
(7)cosA=;cosB=;cosC=
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinA a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 (1)S=a·ha(ha表示边a上的高); (2)S=absinC=acsinB=bcsinA; (3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 概念方法微思考 1.在△ABC中,∠A>∠B是否可推出sinA>sinB? 提示 在△ABC中,由∠A>∠B可推出sinA>sinB. 2.如图,在△ABC中,有如下结论: bcosC+ccosB=a.试类比写出另外两个式子. 提示 acosB+bcosA=c; acosC+ccosA=b. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.( × ) (3)在△ABC中,=.( √ ) (4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ ) 题组二 教材改编 2.[P10B组T2]在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形状为. 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB, 即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 即A=B或A+B=, 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 3.[P18T1]在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积为. 答案 2 解析 ∵=,∴sinB=1,∴B=90°, ∴AB=2,∴S△ABC=×2×2=2. 题组三 易错自纠 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形 答案 A 解析 由已知及正弦定理得sinC ∴sin(A+B) ∴sinAcosB+cosAsinB 又sinA>0,∴cosB<0,∴B为钝角, 故△ABC为钝角三角形. 5.(2018·桂林质检)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( ) A.有一解B.有两解 C.无解D.有解但解的个数不确定 答案 C 解析 由正弦定理得=, ∴sinB===>1. ∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在. 6.(2018·包头模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则C=. 答案 解析 由3sinA=5sinB及正弦定理,得3a=5b.又因为b+c=2a,所以a=b,c=b, 所以cosC===-. 因为C∈(0,π),所以C=. 题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 例1(2018·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos. (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. 解 (1)在△ABC中,由正弦定理=, 可得bsinA=asinB. 又由bsinA=acos,得asinB=acos, 即sinB=cos,所以tanB=. 又因为B∈(0,π),所以B=. (2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=, 得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=. 由bsinA=acos,可得sinA=. 因为a 因此sin2A=2sinAcosA=, cos2A=2cos2A-1=. 所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB =×-×=. 思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素; (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系. 跟踪训练1 (1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A等于( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA, ∵b=c,∴a2=2b2(1-cosA),又∵a2=2b2(1-sinA), ∴cosA=sinA,∴tanA=1,∵A∈(0,π),∴A=, 故选C. (2)如图所示,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为. 答案 解析 设AB=a,∵AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,∴AD=a,BD=,BC=.在△ABD中,cos∠ADB==,∴sin∠ADB=,∴sin∠BDC=.在△BDC中,=, ∴sinC==. 题型二 和三角形面积有关的问题 例2在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB. (1)证明: A=2B; (2)若△ABC的面积S=,求角A的大小. (1)证明 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB, 故2sinAcosB=sinB+sin(A+B) =sinB+sinAcosB+cosAsinB, 于是sinB=sin(A-B).
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