必修四三角函数复习题.docx
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必修四三角函数复习题
必修四三角函数复习题
2017年05月09日三角函数复习题
•解答题(共16小题)
1.已知点P(3m,-2m)(m<0)在角a的终边上,求sina,cos
2.已知a为三角形一内角,且sina+COSa=丄.
5
(1)求
(2)求
a,tana.
tana的值;
3cos2CL-si
3.已知关于x的方程2x2-(_「;+1)x+m=0的两根为sin0>cos0
0€(0,
2n),求:
(1)
+
cos2a
sin9-cos9
cos9-sin9
的值;
(2)m的值.
4.已知函数f(x)=2_「;sin(n-x)cosx+2cos2x+a-1.
(I)求f(x)的最小正周期;
求a的值.
(U)若f(x)在区间[-丄,一]上的最大值与最小值的和为2,
63
5.已知函数f(x)=cos(2x-工)+2sin(x-—)sin(x^-).344
(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(U)讨论函数f(x)在区间[-召,手]上单调性并求出的值域.
6.已知函数f(x)=2cosx-1,x€R.
(I)求f(芈)的值;
(U)求函数f(x)的最小正周期;
(川)设g(x)=f(一-x)+.;cos2x,求g(x)的值域.
TT2
7.已知k是函数f(x)=2cosx+asin2x+1的一个零点.
•LiT
(I)求实数a的值;
(U)求f(x)的单调递增区间.
8.已知函数f(x)=2sin(
-2cosx,x€
(1)若sinx=—,求函数f(x)的值;
5
(2)求函数f(x)的值域和对称轴.
9•设函数二:
':
.:
'一工1—■:
二丁一丄:
二二
(I)求f(x)的定义域及最小正周期;
(U)求f(x)在区间[-冗,0]上的最值.
10.已知函数f(x)卫3sin2x-cos2x丄
22
(I)求函数f(x)=0时x的集合;
(U)求函数f(x)在区间[0,—]上的最小值.
11.
(1)设a,B为锐角,且sinQ=^-,CDSP二歸帀,求a+B的值;
510
(2)化简求值:
'匚-I一二「.
12.已知函数f(x)=Asin(3x+©)+B(A>0,®>0,|©|<一)的最大值为2^2,最小值为-丁乞周期为n,且图象过(0,-^扌).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
13.已知函数f(x)—sin23xcos©+cos2wxsin©丄cos(工+©)(0<©<
222
n),其图象上相邻两条对称轴之间的距离为n,且过点(寺).
(I)求3和©的值;
(II)求函数y=f(2x),x€[0,芈]的值域.
14.已知函数-「-':
■--
(I)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;
(U)求函数f(x)在区间[a上的最大值和最小值.
15•已知r=.■.:
IZl-Jzi/!
;.<:
.[匚二八:
匚二工:
,—门.•,…
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当[皆,詈]时,对任意的t€R,不等式mt2+mt+3》f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
16•已知.--..-ii-.y-:
:
z:
■:
■I:
zij.y-二二乂.r:
z1--.,-
(I)求f(x)的最小正周期和最大值;
(n)若—「,.丫_2__L-,画出函数y=g(x)的图象,讨论y=g(x)
-m(m€R的零点个数.
11
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X*-Jt1L"工
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2017年05月09日三角函数复习题
参考答案与试题解析
一•解答题(共16小题)
1.(2017春?
天桥区校级月考)已知点P(3m-2m)(m<0)在角a的终边上,
求sina,cosa,tana.
【分析】直接利用任意角的三角函数,求解即可.
【解答】解:
角a
的终边为点P(-3,4),所以x=3m,y=-2mr=-近习r,
sina=
tana=
;=/.1
7V13-13
cosCl2
_3
W13
_13
COSa=
r
2.(2017春?
金水区校级月考)已知a为三角形一内角,且sina+COSa二二
5
(1)求
(2)求
tana的值;
3cos2Cl十sinCL-sin°Cl
【分析】
(1)已知等式两边平方,利用同角三角函数间基本关系化简,求出
2sinacosa=-—,确定出sina与cosa的正负,再利用完全平方公式列出
25
关系式,求出sina与cosa的值,即可求出tana的值;
(2)将sina与cosa的值代入计算即可求出值.
【解答】解:
(1)已知等式sina+cosa=①,两边平方得:
5
2=1+2sinacosa=—,即2sinacosa=-,
(sina+cosa)
•••sina>0,cosa<0,即卩a
为钝角,
2
•••(sina-cosa)=1-2sin
49
acosa
25
即sina-cosa=
2,
联立①②,解得:
sina=
cosa=—
贝Utana=-丄;
25
31
(2)vsina=•••原式=
3.(2017春?
万柏林区校级月考)已知关于x的方程2x2-(.二+1)x+m=0的两根为sin0、cos0,0€(0,2n),求:
.2A
san匕
sinQ-cos9
(2)m的值.
(1)
cos9-sin9
的值;
【分析】
(1)利用韦达定理求得sin9+cos0和
sin0cos0的值,再利用
同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
西+1
~~F
(2)把sin0+cos0=
两边平方,可求得
m的值.
【解答】解:
(1)由根与系数的关系可知sin0+cos
0=「
①,sin0cos0
②,
.CDS26
.sin26-cos26
cos9-sin9
sin6-cos6
2
sin
.2A
sinb
sin9-cos9
(2)由①式平方得1+2sin0cos0-…
0+cos0=——
1+m=—•m=-l
4.(2017?
天津)已知函数f(x)=2■:
sin(n—x)cosx+2cos2x+a—1.
(I)求f(x)的最小正周期;
(U)若f(x)
]上的最大值与最小值的和为
2,求a的值.
【分析】(I)利用倍角公式与和差公式可得:
函数f(x)=2+a.可
b
得f(x)的最小正周期T.
(II)由x€[—*^,半-],可得2x^^-W,可得虱口(刼+*-)€
[今,1].进而得出答案.
【解答】解:
(I)函数f(x)=^3sin(n-x)cosx+2cos2x+a—1^3sin2x+cos2x+a
=2二工丁+a
•••f(x)的最小正周期T=J=n.
(11)Vxe[「哥叩'HF"2唏汽〔跻中e[寺1】.
•f(x)e[a-1,a+2].
•a-1+a+2=2解得a=.
2
5.(2017?
可东区二模)已知函数f(x)=cos(2x-—
)+2sin(x-
)sin
12
【分析】(I)化简函数,再求函数f
(U)禾I」用正弦函数的性质,讨论函数
f(x)在区间[-
■TT
12
7T
~2
]上单调性并求
出的值域.
解
兀71K1
fCk)=cos(2x―亍)+2sintx一)sin&十-;厂)电「
sin2i+(sinx-cosx)
sinx+cosx
(
=--ij..」;=1i」=:
•••周期一二一二厂.
2
JIf兀丿严小
由2x
•函数图象的对称轴方程为
(U):
心
fCs)二:
si口(2
nHn
—在区间
]上单调递
/丄兀、
(x+—).
4
(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(U)讨论函数f(x)在区间[-
一,一]上单调性并求出的值域.
(X)的最小正周期和图象的对称轴方程;
减,
时,f(x)取最大值1.
6.(2017?
浙江模拟)已知函数f(x)=2cos2x-1,x€R.
(I)求f(工)的值;
(U)求函数f(x)的最小正周期;
(川)设g(x)=f(―-x)+;cos2x,求g(x)的值域.
4
【分析】(I)禾U用三角函数的恒等变换化简函数的解析式,从而求得f(―)
6
的值.
(U)根据函数的解析式以及三角函数的周期性,求得函数f(x)的最小正周
期.
(川)化简g(x)
【解答】解:
(I)
的解析式,根据正弦函数的值域求得
•••函数f(x)=2cos2x-仁cos2x,二f(丄)
g(x)的值域.
K1=cos—
3
=2cos2x-仁cos2x的最小正周期为
27U
=n.
x)=f(
x)+詁fcos2x=cos2
V-x)
故g(x)的值域为[-2,2].
7.(2017?
海淀区一模)已知.是函数f(x)=2cos2x+asin2x+1的一个零点.
(I)求实数a的值;
(U)求f(x)的单调递增区间.
【分析】(I)利用函数的零点的定义,求得实数a的值.
(U)利用三角恒等变化化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性求得
(x)的单调递增区间.
【解答】解:
(I)由题意可知f(-^-)=0,即f(-^)=2cos^TT'+asin+1=0,
即F(罟)吆(#)2碍廿匸0,解得亩出•
(n)由(I)可得
运虽卫时严恥加・屈或皿时紀乩口也十牛)+2,
函数y=sinx的递增区间为[2^7!
2k兀+*],k€Z.
由沪手<2廿罟<21^+牛,k€Z,
得k7vJ^_ 所以,f(x)的单调递增区间为^,k€乙 36 8.(2017? 河东区一模)已知函数f(x)=2sin(x+二)-2cosx,x€[芈,冗]. 62 (1)若sinx=2,求函数f(x)的值; 5 (2)求函数f(x)的值域和对称轴. 【分析】 (1)利用三角恒等变换化简函数f(x),根据x€[冷-,n]时sinx的 值求出f(x)的值; (2)根据f(x)的解析式求出x€[丄,冗]时的值域,求出f(x)在x€[--,n]内对称轴是x-呼. 【解答】解: (1)函数f(x)=2sin(x+—)-2cosx =2sinxcos+2cosxsin丄-2cosx 65 =、[』sinx-cosx =2sin(x- 7T 由x€[^,n],且sinx=」, 二cosx=-^l-sin2x •••函数f(x)=.「;sinx-cosx M詈(乍) 二•: ― 5; (2)由函数f(x)=2sin(x—? ),x€[ZL,冗], 二x—[丄,—], 一sin(x<)€啥,1], •••f(X)在x€[—,冗]的值域是[1,2]; 且f(x)=2sin (X-)对称轴是 6 x=kn k€Z, x€[—,n], •••对称轴是x=一. 3 9.(2017? 天津—模)设函数二[工m—■: 二二■—丄: 二二T'—-. (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (U)求f(x)在区间[-n,0]上的最值. 【分析】 (1)先将函数化简,再求f(x)的定义域及最小正周期; (2)f(x)在区间[-n,0]的单调性,再利用正弦函数的性质,即可求出最值 sirry-ccis 由邑』 4^2 fW=2siCOS^--COS 「上九得f(x)的定义域为{x|x工2n+4kn(k€Z)} 故f(x)的最小正周期为 (U)T-nWxW0,• 27T JL: 3 气26 】・即丁 : e[-TT, 3L fg)单调递減, 2JTJT 10.(2017? 平谷区模拟)已知函数f(x)=: 2 sin2x-cos2x+^ 2 (I)求函数f(x)=0时x的集合; (U)求函数f(x)在区间[0,—]上的最小值. 【分析】(I)禾I」用三角恒等变换化f(x)为正弦型函数,求出f(x)=0时x 的取值集合即可; —]时f(x)的取值范围,即可得出最小值.方法二: 根据正弦函数的单调性,求出x€[0, (U)方法一: 求出x€[0, 7T~2 【解答】解: (I)—-: --: ": ■1 B22222 =;: -〕: 一.11.: ,-.;•••(5分) 因为: f(x)=0时,二二二「二工一-.1, 6x迴吕 2 ]时f(X)的最小值即可. 7£ 所以函数f(x)=0时x的集合为 所以: 2x- =kn(k€Z),解得 12 k€Z; 丁丨】: 二丄一一-y・;•••(8分) (U)因为x€[0, 所以 所以 方法 7F 故函数f(x)在区间[0,—]上的最小值为 "• …..(13分) 方法二: •••当时2x-==-=,即卩x=0时,f(x)取得最小值-—, 61\6\2 故函数f(x)在区间[0,今]上的最小值为占.(13分) 11.(2017春? 成都期中) (1)设a,B为锐角,且 510 求a+B的值; (2)化简求值: 工: 「匚-i._U. 【分析】 (1)利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos (a+B)的值,结合a+B的范围,可得a+B的值. (2)利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式,求得所 给式子的值. 【解答】解: (1)Va为锐角, -vp为锐角, 込xW10_V5xV10=V2 510「5…一 Vio io a+p€(0, n),••a+p= sin50°) 2 sin50c*(cosLO*4\/3sinl0°) coe10° =sin50°? 2cosC60"-1(/)血10『 caslO cnslO =1. 12.(2017春? 新化县校级期中)已知函数f(x)=Asin(»+©)+B(A>0, 0,|©|<—)的最大值为2「,最小值为-「,周期为n,且图象过(0, (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 【分析】 (1)利用三角函数的最值求出A,B,利用函数的周期求出①,利用图象经过的点求出©,得到函数的解析式. (2)利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可. 【解答】(12分)解: (1)vf(x)=Asin(»+©)+B的最大值为2: 最小值为-.: , A二■'■,B=■'. 22 又Tf(x)=Asin(3x+©)+B的周期为n, =n,即3=2. (0 •f(x)—: : sin(2x+©)+'■ 2 「;sin 即sin …8' (2)令t=2x- 则 其增区间为: 又•••函数f(x)过(0,-丄),••• 13.(2017? 江西模拟)已知函数 (x) sin23xcos©+cos23xsin© cos (I)求3和©的值; ,其图象上相邻两条对称轴之间的距离为 n,且过点 即2kn-—<2x-丄W2kn+—,k€Z. 解得kn-—WxWkn 6 所以f(x)的单调递增区间为[k冗¥,k兀卄些],k€乙…12' (II)求函数y=f(2x),x€[0,丁]的值域. 【分析】(I)将函数进行化简,结合三角函数的图象和性质和已知坐标,即可 求函数3和©的值; (II)求出函数y=f(2x)的解析式,根据x€[0,—厂]求出函数y=f(2x)的范围,在求其范围内的最大值和最小值,即可得到值域. 【解答】 解: f(x)- 2 •sin23xcos©+cos3xsin© cos +©)(0v©v n), ? f(x) ? f(x) ? f(x) ? f(x) 二Lsin2 2 丄sin2 2 丄sin2 2 1. —sin 2 xcos xcos +cos23xsin*sin© 21 +sin©(cos3x「 3xsin© xcos (23X+©), (I)•••图象上相邻两条对称轴之间的距离为n,AT=2n, 又…t=I' T|如, ••.3二—丄, _2 1-sin (土1X +©), 解得: 图象过点( f(x)丄sin(x^^)或f(x) sin(-x+=^- 2|32 3 ); 结合正弦函数的图象和性质: 当 时,y取得最大值,即rlr.—-丄, 当s=-y-时,y取得最小值,即¥丸屮弓令X(」? )=#■, 所以函数y=f(2x),x€[0,丄]的值域为1F亠 14.(2017? 红桥区一模)已知函数|-'<■-——「一丄二「-二 (I)求函数 (U)求函数 f(x)的最小正周期与单调递减区间; 【分析】(I) 由三角函数化简可得 得,解不等式 +' <2x+1 .2kn+- 2 6 2 2kn f(x)=2sin(2x+- 可得单调递减区间; )+3,由周期公式可 (n)由x€[o,斗]结合三角函数的性质逐步计算可得2sin(2x 5],可得最值. 【解答】解: (I)化简可得--.■--_li.ULr.-J =J";? 2sinxcosx+2cos2x+2 =Jtsin2x+cos2x+1+2 )+3€[2, =2sin( +3, •函数f(x)的最小正周期T一=n, 由2kn+- 三2x+— |2 <2kn匕一 2 亠兀n+・ & •••函数的单调递减区间为[k 可得kn+- kn(k€Z); f(x)在区间〔0,芈]上的最大值和最小值. (n)vX€i—r, I 二2x • 1], sin(2x+——)€ •2sin(2x+——)€[-1,2], 6 •2sin(2x+一)+3€[2,5], 6 •••函数的最大值和最小值分别为5,2. 15.(2017? 海淀区校级模拟)已知 心(丁曲皿cosx+siiix),b=(2cosx,^inx-cosi! ),f(叢)帀 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当応【罟,帑-]时,对任意的t€R,不等式mt2+mt+3》f(x)恒成立,求实数m的取值范围. 【分析】 (1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式,进一步变函数为正弦型函数,最后求出单调区间. (2)根据函数与的定义域求出函数的值域,进一步利用恒成立问题,利用分类讨论的思想求出m的取值范围. ;iI■: ■: "): .」・, 【解答】解: (1) ~a=CV3sinx,casx+sinx),b=(2cosx, 二f(x)=2: ;sinxcosx+(cosx+sinx)(sinx-cosx)三iin2x-cos2x——2sin (2x— ), 令2kn TTTT 2x-<2kn+— 62 (k€Z), 解得: 冗, -L_+kn 所以: 函数f(x)的单调递增区间为: [—+kn, +kn](k€Z). 单调递减区间为[ +kn, 3 ⑵当圧签「筈]时, +kn] (k€Z). 2TT 3 对任意t€R,不等式mt2+mt+3》f(x)恒成立. 只需满足: mt+mt+3》f即mt2+mt+1》0即可. (X)max成立即可. ①当m=0时,恒成立 ②当m^0时,只需满足 ^>0 解得: 0vm<4 综合所得: 0wm^4. 16.(2017? 安徽二模)已知「-m: : =.I二迄二u二. (I)求f(x)的最小正周期和最大值; (n)若.■■■■-^―.—,画出函数y=g(x)的图象,讨论y=g(x)-m(m€R的零点个数. 11 .・・・■I■IIB"■| '] ■ : -7 ■J— ■■‘1 .1- ■'*■■■a41,- i4 1 >j! ■■■'■1■■■11-«1,iJ 「 ■I•■*・1・・||・■■. • >'iJ«.1 1 *4T'i' 【分析】(I)根据f(x)=2-1,,利用向量数量积的运算法则求解f(x)并化简,即可求得f(x)的最小正周期和最大值 (U)I工「I工.丫~.——-,利用“5点画法”画出函数y
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